内蒙古高考-商铺租赁合同

七年级上册
1．（2012•黑龙江）若（a﹣2）
2
+|b﹣1|=0， 则（b﹣a）
2012
的值是（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2012

【考查知识点】 非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
专题： 计算题．
【常见错误注意事项】 根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解题方法】 解：根据题意得，a﹣2=0，b﹣1=0，
解得a=2，b=1，
所以，（b﹣a）
2012
=（1﹣2）
2012
=1．
故选C．
【建议】 本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等 于0，
则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
2．（2013•绵阳）朵朵幼儿园的阿姨 给小朋友分苹果，如果每人3个还少3个，如果每人2个又多2个，
请问共有多少个小朋友？（ ）
A． 4个 B． 5个 C． 10个 D． 12个

【考查知识点】 一元一次方程的应用．
【常见错误注意事项】 设有x个小朋友，根据苹果数量一定，可得出方程，解出即可．
【解题方法】 解：设有x个小朋友，
由题意得，3x﹣3=2x+2，
解得：x=5．
故选B．
【建议】 本题考查了一元一次方程的应用，解题方法本题的关键是根据苹果的分配情况得
出方程．
3． 若a
2
+2ab=﹣10，b
2
+2ab=16，则多项式a
2+4ab+b
2
与a
2
﹣b
2
的值分别为（ ）
A． 6，26 B． ﹣6，26 C． 6，﹣26 D． ﹣6，﹣26

【考查知识点】 整式的加减—化简求值．
【常见错误注意事项】
将多项式合理变 形即可，a
2
+4ab+b
2
=（a
2
+2ab）+（b< br>2
+2ab）；a
2
﹣b
2
=（a
2
+2a b）
﹣（b
2
+2ab）．
【解题方法】
解：∵a
2
+2ab=﹣10，b
2
+2ab=16，
∴ a
2
+4ab+b
2
=（a
2
+2ab）+（b
2
+2ab），
=﹣10+16，
=6；
【建议】

∴a
2
﹣b
2
=（a
2
+2ab）﹣（b
2
+2ab），
=﹣10﹣16，
=﹣26．
故选C．
解题方法本题的关键是合理的将多项式进行变形，与已知相结合．
4．如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是﹣1，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．
（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？
（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．

（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所 对
应的数．

【考查知识点】 数轴；比较线段的长短．
专题： 数形结合．
【常见错误注意事项】 （1）由于OA=OB，可得点B所对应的数是点A所对应的数的相反数；
（2）先求出AB的距离，再根据速度=路程÷时间求解；
（3）先求出AC的距离，得到点C所对应的数，由KC=KA，得到点K所对应的
数．
【解题方法】
解：（1）∵OA=OB，点A所对应的数是﹣1，
∴点B所对应的数是1；

（2）[1﹣（1）]÷3=3÷3=1．
故该点的运动速度每秒为1．

（3）1×9=9，
9÷2=4.5，
∴点C所对应的数为﹣1+9=7，
点K所对应的数为﹣1+4.5=3．
故点C所对应的数为7，点K所对应的数为3．
【建议】 考查了数轴和路程问题，熟练掌握 数轴上两点间的距离的求法，本题虽有几题，
但基础性较强，难度不大．

5．某 工厂封装圆珠笔的箱子，每箱只装2000支，在一次封装时，误把一些已做标记的不合格的圆珠笔也
装 入箱里，若随机拿出100支圆珠笔，共做15次试验，100支中不合格的圆珠笔的平均数是5，你能估计箱子里混入多少不合格的圆珠笔吗？若每支合格圆珠笔的利润为0.50元，而发现不合格品要退货并每支赔
偿商店1.00元，你能根据你的估计推算出这箱圆珠笔是亏损还是赢利？亏损，损失多少元？赢利，利 润是
多少？

【考查知识点】 用样本估计总体．
专题： 计算题；应用题．
【常见错误注意事项】 由于随机拿出100支圆珠笔，共做15次试验，100支 中不合格的圆珠笔的平均数是
5，所以利用样本估计总体的思想能估计箱子里混入多少不合格的圆珠笔； 由于可
以估计箱子里混入多少不合格的圆珠笔，所以可以求出赔偿商店多少元，然后利用
每支合 格圆珠笔的利润为0.50元即可推算出这箱圆珠笔是亏损还是赢利．
【解题方法】 解：∵随机拿出100支圆珠笔，共做15次试验，100支中不合格的圆珠笔的平均数
是5，
∴根据用样本估计总体的思想估计箱子里混入有5×（2000÷100）=100支不合格的
圆珠笔 ；
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【建议】

∴（2000﹣100）×0.5﹣100×1=850元，
∴这箱圆珠笔是赢利850元．
此题主要考查了利用样本估计总体的思想，首先根据题意得到 样本平均数，然后利
用一般平均数即可得到总体平均数，最后利用已知条件即可解决问题．
七年级下册
1．（1）延长射线OM； （2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线 的一部分；（4）锐角一定小于它
的余角；（5）大于直角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐 角的余角的差是90°； （7）相等的两
个角是对顶角； （8）若∠A+∠B+∠C=180°，则 这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相
垂直．以上说法正确的有（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

【考查知识点】 对顶角、邻补角；直线、射线、线段；角的概念；余角和补角．
专题： 推理填空题．
【常见错误注意事项】 利用对顶角，邻补角，直线，射线，线段，角的概念，余角和补角等知识点逐项 进
行常见错误注意事项即可作出判断．
【解题方法】 解：（1）射线有起点，终点在无穷远处，无法延长，故（1）错误；
（2）角的定义是具有公共点的两条射线组成的图形．故（2）错误；
（3）在直线上画两点 ，两点之间的部分就是一条线段，在直线上画一点，这点把
直线分成两部分，这两部分就是两个相反方向 的射线．所以线段和射线都是直线的
一部分．故（3）正确；
（4）两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如45°+45°=90°，故（4）错误；
（5）根据直角的定义可知，大于直角而小于平角的角叫做钝角，故（5）错误；
（6）因为补角=180°﹣这个角，而余角=90°﹣这个角，故（6）项正确；
（7）相等的两个角有很多情况如是两条直线平行时，同位角相等等，故（7）错误；
（8）两个角的和等于180°就说这两个角互为补角，故（8）错误；
（9）根据角平分线的性质，互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故（9）正确．
所以③⑥⑨正确．
故选B．
【建议】 此题主要考查学生对对顶角，邻补角，直线 ，射线，线段，角的概念，余角和补角
等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但涉及到的知识点较多， 过于琐碎，很容
易混淆．
2．（2011•赣州模拟）如图，将直尺与一块直角三角尺叠放在 一起，在图中有标记的角中，所有与∠1互余
的角有（ ）

A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

【考查知识点】 余角和补角．
【常见错误注意事项】 本题要注意到∠1与∠4互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质．
【解题方法】 解：与∠1互余的角有∠4，∠5，∠6；一共3个．
故选B．
【建议】 本题主要考查了余角的性质，正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学
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习的一个基本要求．

3．（2012•滨湖区模拟）（﹣5）
2
的平方根是（ ）
±5
A． B． C． 5 D． ﹣5
±

【考查知识点】 平方根．
专题： 计算题．
【常见错误注意事
先求出（﹣5）
2
的值，再根 据平方根的定义得出±，求出即可．
项】
【解题方法】
解：∵（﹣5）
2
=25，
∴±=±5，
故选A．
【建议】
本题考查了对平方根的定义的应用，注意：a（a≥0）的平方根是，一个正数有两
个平方根，它们互为相反数．
4．若不论k取什么实数，关于x的方程
A．

B．

C．
（a、b是常数）的根总是x=1，则a+b=（ ）

D．


【考查知识点】 一元一次方程的解；解二元一次方程组．
专题： 计算题．
【常见错误注意事项】 把x= 1代入得出（b+4）k=7﹣2a，根据方程总有根x=1，推出b+4=0，7﹣2a=0，
求出即 可．
【解题方法】
解：把x=1代入得：﹣=1，
去分母得：4k+2a﹣1+kb﹣6=0，
即（b+4）k=7﹣2a，
∵不论k取什么实数，关于x的方程
∴，
﹣=1的根总是x=1，
解得：a=，b=﹣4，
∴a+b=﹣，
故选C．
本题考查了解二元一 次方程组和一元一次方程的解的应用，能根据题意得出关于a、
b的方程组是解此题的关键，此题是一道 比较好的题目，但有一点难度．
有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
≤a＜﹣
C．
﹣≤a≤﹣
D．
﹣＜a＜﹣
【建议】
5．（2003•泰安）关于x的不等式组
A．
﹣＜a≤﹣
B．
﹣

【考查知识点】
专题：
一元一次不等式组的整数解．
计算题．
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【常见错误注意事项】 先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范
围即可．
【解题方法】 解：由（1）得x＞8；
由（2）得x＜2﹣4a；
其解集为8＜x＜2﹣4a，
因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则，
解得﹣≤a＜﹣．
【建议】

故选B．
考查不等式组的解法及 整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同
大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大 小小解不了．
八年级上册
1．（2008•鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45 °，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长
度为（ ）
A．

C． D． 5


【考查知识点】 全等三角形的判定与性质．
【常见错误注意事项】 由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后求解．
【解题方法】 解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，
∵∠AHE+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠BHD=∠C，
∴△ADC≌△BDH，
∴BH=AC=4．
故选B．
【建议】 本题 考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
SSA、HL．由∠ ABC=45°，AD是高，得出BD=AD是正确解题方法本题的关键．

2．如图，在 边长为1正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只
蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（ ）

B． 4
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A． 2 B． 4 C． D．


【考查知识点】 轴对称-最短路线问题．
专题： 压轴题．
【常见错误注意事项】 延长DC到D'，使C D=CD'，G对应位置为G'，则FG=FG'，作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，
H对应的位 置为H'，则G'H'=GH，再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，则
H'E'=HE．由 两点之间线段最短可知当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最
小，再延长AB至K使BK= AB，连接E′K，利用勾股定理即可求出EE′的长．
【解题方法】 解：延长DC到D'，使CD=CD'，G关于C对称点为G'，则FG=FG'，
同样作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H对应的位置为H'，则G'H'=GH，
再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，

则H'E'=HE．
容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，
最小路程为EE'===2．
【建议】
故选C．
本题考查的是最短路线 问题，解题方法此题的关键是画出图形，根据两点之间线
段最短的道理求解．

3 ．（2002•广元）关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过（0，﹣2）点；②图象与x轴交点
是（﹣2，0）；③从图象知y随x增大而增大；④图象不过第一象限；⑤图象是与y=﹣x平行的直线 ．其
中正确说法有（ ）
A． 2种 B． 3种 C． 4种 D． 5种

【考查知识点】 一次函数的性质．
【常见错误注意事项】 根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解题方法．
【解题方法】 解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过（0，﹣2）
点，正确；
②当y=0时，y=﹣x﹣2中，x=﹣2，故图象过（﹣2，0），正确；
③因为k=﹣1＜0，所以y随x增大而减小，错误；
④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，正确；
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【建议】
⑤因为y=﹣x﹣2与y=﹣x的k值（斜率）相同，故两图象平行，正确．
故选C．
此题考查了一次函数的性质和图象上点的坐标特征，要注意：
在直线y= kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而
减小．
< br>4．如图直线l
1
：y=x﹣1与l
2
：y=ax+b的交点在y轴上 ，则不等式的解集为（ ）

A． 无解 B． x＞﹣1 C． 0＜x＜1 D． ﹣2＜x＜1

【考查知识点】 一次函数与一元一次不等式．
【常见错误注意事项】 求出不等式x﹣1＜0的解集，根据图象求出ax+b＜﹣1的解集，再求出不等式
组的解集即可．
【解题方法】 解：∵x﹣1＜0的解集是x＜1，
从图象可知ax+b＜﹣1的解集是x＞0，
∴不等式的解集为0＜x＜1，
【建议】

故选C．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，主 要考查学生的计算能力和观
察图形的能力，用了数形结合思想．
5．若多项式x
2
﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A． 2 B． 1 C． ﹣2 D． ﹣1

【考查知识点】 因式分解的意义．
【常见错误注意事项】 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x+b）利用多项式乘法法则展
开即可求解．
【解题方法】
解：∵（x﹣2）（x+b）=x
2
+bx﹣2x﹣2b=x
2
+（b﹣2）x﹣2b=x
2
﹣ax﹣1，
∴b﹣2=﹣a，﹣2b=﹣1，
∴b=0.5，a=1.5，
∴a+b=2．
故选A．
【建议】 本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．

八年级下册
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1．（2013•贵港）关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
C． m≥﹣1 D． m≥﹣1且m≠0 A． m＞﹣1 B． m＞﹣1且m≠0

【考查知识点】 分式方程的解．
【常见错误注意事项】
由题意分式方程的解为负数，解方程求出方程的解x，然后令其小于0，
【解题方法】
【建议】
解出m的范围．注意最简公分母不为0．
解：方程两边同乘（x+1），得m=﹣x﹣1
解得x=﹣1﹣m，
∵x＜0，
∴﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
∴﹣1﹣m+1≠0，
∴m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故选B． < br>此题主要考查分式的解，关键是会解出方程的解，此题难度中等，容易漏掉隐含条
件最简公分母不 为0．
2．（2012•岳阳）如图，一次函数y
1
=x+1的图象与反比例函数y
2
=的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x
轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D， 连接AO、BO，下列说法正确的是（ ）

A． 点A和点B关于原点对称 B．
当x＜1时，y
1
＞y
2

C．
S
△AOC
=S
△BOD

D．
当

x＞0时，y
1
、y
2
都随x的增大而增大

【考查知识点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【常见错误注意事项】 求出两函数式 组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图
象的特点即可判断B；根据A、B的坐 标和三角形的面积公式求出另三角形的面
积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．
【解题方法】
解：A、，
∵把①代入②得：x+1=，
解得：x
2
+x﹣2=0，
（x+2）（x﹣1）=0，
x
1
=﹣2，x
2
=1，
代入①得：y
1
=﹣1，y
2
=2，
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∴B（﹣2，﹣1），A（1，2），
∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；
B、当﹣2＜x＜0或x＞1时，y
1
＞y
2
，故本选项错误； < br>C、∵S
△AOC
=×1×2=1，S
△BOD
=×|﹣2|×|﹣1 |=1，
∴S
△BOD
=S
△AOC
，故本选项正确；
D、当x＞0时，y
1
随x的增大而增大，y
2
随x的增大而减小，故本选项 错误；
故选C．
【建议】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查 学生观察图象
的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，
是 一道具有一定代表性的题目．
3．（2011•红桥区一模）如图，点A的坐标为（﹣2，0），点B 在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点
B的坐标为（ ）

A．
（，）
B．
（，）
C． （0，0） D． （﹣1，﹣1）

【考查知识点】 一次函数综合题；垂线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理．
专题： 计算题．
【常见错误注意事项】 过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA 于D，当B和C重合时，线段AB
最短，推出AC=OC，求出AC、OC长，根据三角形面积公式求出 CD，推出CD=OD，
即可求出B的坐标．
【解题方法】 解：过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段
AB最短，
∵直线y=x，
∴∠AOC=45°，
∴∠OAC=45°=∠AOC，
∴AC=OC，
由勾股定理得：2AC
2
=OA
2
=4，
∴AC=OC=，
由三角形的面积公式得：AC×OC=OA×CD，
∴×=2CD，
∴CD=1，
∴OD=CD=1，
∴B（﹣1，﹣1）．
故选D．
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【建议】 本题考查了垂线段最短，等腰三角形性质，勾股定理，一次函数的性质等知识点的
应用，关键是得出当B和C重合时，线段AB最短，题目比较典型，主要培养了学
生的理解能力 和计算能力．

4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5 ，BD=12，中位线长为
积为S
1
，△COD的面积为S
2
，则= ．
，△AOB的面


【考查知识点】 梯形中位线定理．
【常见错误注意事项】 作BE∥AC，从而得到平行四边形ACEB，根据平行四边形的性质及中位线 定理可
求得DE的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE为直角三角形，根据面积公式
可求 得梯形的高，从而不难求解．
【解题方法】 解：作BE∥AC，
∵AB∥CE，
∴CE=AB，
∵梯形中位线为6.5，
∴AB+CD=13，

∴DE=CE+CD=AB+CD=13，
∵BE=AC=5，BD=12，由勾股定理的逆定理，
得△BDE为直角三角形，即∠EBD=∠COD=90°，
设S
△EBD
=S
则S
2
：S=DO
2
：DB
2

S
1
：S=OB
2
：BD
2

∴=
∵S=12×5×=30
∴=．
． 故本题答案为：
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【建议】 此题主要考查梯形的性质及中位线定理的综合运用．
5．已知正方形A BCD的边长是2，E是CD的中点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达E
点即停止运动 ，若点P经过的路程为x，△APE的面积记为y，试求出y与x之间的函数解析式，并求出
当y=时， x的值．


【考查知识点】
专题：
【常见错误注意事项】
【解题方法】
分段函数；三角形的面积；正方形的性质．
计算题；动点型．
分为三种情况：当P在AB上，根据y=AP×AD，代入求出即可；当P 在BC上，
根据y=S
正方形
ABCD
﹣S
△ADE
﹣S< br>△CEP
﹣S
△ABP
，根据三角形的面积公式代入求出即
可；当P在 CE上，根据y=EP×AD，代入求出即可；把y=代入解析式，求出
x即可．
解：当P在AB上，即0＜x≤2时，如图1，y=AP×AD=×x×2=x；
当P在BC 上，即2＜x≤4时，如图2，y=S
正方形
ABCD
﹣S
△ADE
﹣S
△CEP
﹣S
△ABP
，

=2×2﹣×2×1﹣×1×（4﹣x）﹣×2×（x﹣2），
=﹣x+3；
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当P在CE上，即4＜x≤5时，如图3，y=EP×AD=×（6﹣1﹣x）×2=﹣x+5；

∴
当时，=x或=﹣x+3或=﹣x+5，
或． 解得：
【建议】 本题考查了分段函数，三角形的面积公式，正方形的面积等知识点的应用，关键
是根据题意求出所有情况 ，注意：①要分类讨论，②利用规则图形的面积求不
规则图形的面积的方法．

九年级上册
1．（2002•内江）已知a+b=﹣8，ab=8，化简= ﹣12 ．

【考查知识点】 二次根式的加减法．
【常见错误注意事项】 ∵a+b=﹣8，ab=8，∴a，b同为负数，化简原式，再代入求值．
【解题方法】 解：∵a+b=﹣8，ab=8，∴a，b同为负数，
故原式=b+a=（﹣），
即﹣
【建议】
=﹣×=﹣12．
解题方法此题的关键是要首先确定a，b的符号，再进行计算．注意整体代入思想
的运用．

2．如果方程x
2
﹣2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以 作为一个三角形的三边之长，则实数m的取
值范围是 ＜m≤1 ．

【考查知识点】
【常见错误注意事项】
根与系数的关系；根的判别式；三角形三边关系．
若一元二次方程有两根，则根的判别式△= b
2
﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，
求出m的取值范围．再根据根与系数的关系 和三角形中三边的关系来再确定m
的取值范围，最后综合所有情况得出结论．
第 11 页 共 23 页

【解题方法】
解：∵方程x﹣2x+m=0的两实根为a，b，
∴有△=4﹣4m≥0，
解得：m≤1，
由根与系数的关系知：a+b=2，a•b=m，
若a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，
则必有a+b＞1与|a﹣b|＜1同时成立，
故只需（a﹣b）
2
＜1即可，
化简得：（a+b）
2
﹣4ab＜1，
把a+b=2，a•b=m代入得：4﹣4m＜1，
解得：m＞，
∴＜m≤1，
2
故本题答案为：＜m≤1．
【建议】 主要考查一元二次方程的根的判别式与根的关系和一元二次方程根与系数的
关系、三角形中三边的关系．

3．（2002•南京）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的 中点，延长AF交⊙O于E，
CF=2，AF=3，则EF的长是 4 ．


【考查知识点】 相交弦定理；垂径定理．
【常见错误注意事项】 根据相交弦定理及垂径定理求解．
【解题方法】 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，
∴CG=GD，CF=FG=CG，
∵CF=2，∴CG=GD=2×2=4，FD=2+4=6，
由相交弦定理得EF•AF=CF•FD，
即EF===4，
【建议】
故EF的长是4．
此题很简单，解题方法此题的关键是熟知相交弦定理及垂径定理．
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．（2010•东台市 模拟）已知一元二次方程（m﹣3）x
2
+2mx+m+1=0有两个不相等的实数根，并且这 两个
根又不互为相反数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．

【考查知识点】 根的判别式；一元二次方程的定义；解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式．
第 12 页 共 23 页

2

【常见错误注意事项】
（1）方程有不相等的实数根下必须满足△=b ﹣4ac＞0，又由两个根又不互为相反
数，二次项系数不为0，解得m的范围．
（2）找到m的最小正偶数值，即可得到方程，然后解方程．
【解题方法】 解：（1）方程有不相等的实数根，
△=b
2
﹣4ac=4m
2
﹣4（m﹣3）（m+1）＞0，
解得
∵两个根又不互为相反数，
解得m≠0，
故m且m≠0且m≠3．
（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，
m=2时，方程是：﹣x
2
+4x+3=0
解得
【建议】

本题重点考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题
目， 也是一个难度中等的题目．
5．图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3 放置，小直角三角形的斜边与
大直角三角形的一直角边重合．
（1）图3中，绕点D旋转小直 角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4，①求证：
DE=DF．②求证：AE< br>2
+BF
2
=EF
2
；
（2）在图3中，绕点C旋 转小直角三角形，使它的斜和CD延长线分别与交于点，如图5，证明结论：
AE
2
+ BF
2
=EF
2
仍成立．


【考查知识点】 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质．
专题： 几何综合题．
【常见错误注意事项】 （1）①连接CD，得出AD=CD，求出∠1=∠3，证出△CDF≌△AD E即可；②由
△CDF≌△ADE得出AE=CF，同理证△CED≌△BFD，推出BF=CE，在△ CEF中
根据勾股定理得出CE
2
+CF
2
=EF
2
，代入求出即可；
（2）把△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CGA，连接GE，求出∠GC E=∠ECF，
CG=CF，根据SAS证△CGE≌△CFE，推出GE=EF，根据勾股定理求出即 可．
【解题方法】 （1）①证明：如右图4，连接CD，
第 13 页 共 23 页

∵图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，
∴放置后小直角三角形的斜边正好是大直角三角形的直角边，
∴D为AB中点，CD⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，
∴∠4=∠A=45°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△CDF和△ADE中
，
∴△CDF≌△ADE，
∴DE=DF．

②证明：∵由①知△CDF≌△ADE，
∴CF=AE，
与①证明△CDF≌△ADE类似可证△CED≌△BFD，
得出CE=BF，
∵在△CEF中，CE
2
+CF
2
=EF
2
，
∴AE
2
+BF
2
=EF
2
．

（2）证明：把△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CGA，如右图5，连接GE，
∵根据旋转得出：CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，
∴∠GAE=90°，
∵∠3=45°，
∴∠2+∠4=90°﹣45°=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∵在△CGE和△CFE中
，
∴△CGE≌△CFE，
∴GE=EF，
∵在Rt△AGE中，AE
2
+AG
2
=GE
2
，
∴AE
2
+BF
2
=EF
2
．

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【建议】

本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，旋转 的性质的
应用，通过做此题培养了学生的常见错误注意事项问题和解决问题的能力，题目
具有一 定的代表性，是一道比较好的题目，注意：此类问题证明过程类似．


九年级下册
1．（2013•江都市模拟）将抛物线y=x
2
+2x+3所 在的平面直角坐标系中的纵轴（即y轴）向左平移1个单
位，则原抛物线在新的坐标系下的函数关系式是 y=x
2
+2 ．

【考查知识点】 二次函数图象与几何变换．
【常见错误注意事项】 求出平移前后的两个抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【解题方法】
解：抛物线y=x
2
+2x+3=（x+1）
2+2的顶点坐标是（﹣1，2），
纵轴（即y轴）向左平移1个单位，相当于抛物线向右平移1个单位，
顶点坐标为（0，2），
所以，抛物线在新坐标系下的函数关系式为y=x
2
+2．
故答案为：y=x
2
+2．
【建议】 本题考查了二次函数图象与几何变换 ，利用顶点的变换确定出函数解析式是此类题
目常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用，平移规律“左 加右减，上加下减”．
2．（2012•义乌市模拟）已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（﹣2 ，4），与x轴负半轴交于点A，对
称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥M A于点Q．
（1）抛物线解析式为 y=﹣x
2
﹣4x ．
（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为 （﹣，）、（﹣，） ．


【考查知识点】 二次函数综合题．
专题： 计算题；数形结合；分类讨论．
【常见错误注意事项】
（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）
2
+ 4，因为抛物线过原点，把（0，0）代入，
求出a即可．
（2）由于PQ⊥MA，即∠MQ P=∠MBA=90°；所以只要满足∠PMQ=∠MAB或
∠PMQ=∠AMB．
第 15 页 共 23 页

【解题方法】
①∠PMQ=∠AMB时，先找出点B关于直线MA的对称点（设为点C），显 然有
AC=AB=2、MC=MB=4，可根据该条件得到点C的坐标，进而求出直线MC（即直
线MP）的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；
②∠PMQ=∠MAB时，若设直线 MP与x轴的交点为D，那么△MAD必为等腰三
角形，即MD=AD，根据此条件先求出点D的坐标， 进而得出直线MP的解析式，
联立抛物线的解析式即可得解．
解：（1）∵过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）
2
+4，
将x=0，y=0代入可得：4a+4=0，
解得：a=﹣1，
∴抛物线解析式为：y=﹣（x+2）
2
+4，
即y=﹣x
2
﹣4x；

（2）∵PQ⊥MA
∴∠MQP=∠MBA=90°；
若△MPQ、△MAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：
①∠PMQ=∠AMB，此时MA为∠PMB的角平分线，如图①；
取点B关于直线MA的对称点C，则AC=AB=2，MC=MB=4，设点C（x，y），有：
，解得（舍），
∴点C的坐标为（﹣，）；
，）得： 设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（﹣2，4）、（﹣
，解得
∴直线MP：y=x+
联立抛物线的解析式，有：
，解得，
∴点P的坐标（﹣，）；
②∠PMQ=∠MAB，如右图②，此时△MAD为等腰三角形，且 MD=AD，若设点
D（x，0），则有：
（x+4）
2
=（x+2）2
+（0﹣4）
2
，解得：x=1
∴点D（1，0）；
设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（﹣2，4）、D（1，0）后，有：
第 16 页 共 23 页

，解得：
∴直线MP：y=﹣x+
联立抛物线的解析式有：
，解得：，
∴点P的坐标（﹣，）
，）、（﹣，
）．
）． 综上，符合条件的P点有 两个，且坐标为（﹣
故答案：（1）y=﹣x
2
﹣4x；（2）（﹣，）、（﹣，
【建议】 该题虽然是一道填空题，但难度不亚于压轴题；主要的难度在于第二题，在“相似三角形→相等角→确定关键点→得到直线MP解析式”的解题思路中，综合了相似三
角形、等腰三角 形的性质、轴对称图形、坐标系两点间的距离公式、函数图象交点
坐标的求法等重点知识，这就要求同学 们有扎实的基础功底和良好的数形结合的思
考方法．
3．（2011•枣阳市模拟）如图，△ ABC中，AB=9，AC=6，E是AC上一点，AE=4，F是AB上一点，当
AF= 6或 ，由A、E、F三点组成的三角形与△ABC相似．
第 17 页 共 23 页

【考查知识点】 相似三角形的判定与性质．
专题： 计算题；分类讨论．
【常见错误注意事项】 假设由A、E、F三点组成的三角形与△ABC相似．利 用其对应边成比例即可求得，
分AF与AB是对应边和AF与AC是对应边两种情况进行讨论．
【解题方法】 解：当△AFE∽△ABC时，
∴
∴
=，
=，
∴AF=6，
当△AEF∽△ABC时，
∴
∴
=，
=，
∴AF=．
故答案为：6或．
【建议】 此题主要考查相似三角形 的判定与性质这一知识点，此题要采用分类讨论的思
想．特别AF与AC是对应边这种情况，学生容易忽 视，因此解题方法此题时要注
意写好相似三角形的各个对应点，例如当△AFE∽△ABC时，当△AE F∽△ABC
时，因此此题属于易错题．
4．（2012•南平模拟）如图，有一块含30° 的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三
角板ODC的斜边OC的长相等，把该套 三角板放置在平面直角坐标系中，且．
（1）若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A ′，
试求图中阴影部分的面积（结果保留π）．


【考查知识点】 反比例函数综合题；三角形的面积；含30度角的直角三角形；扇形面积的计算；
解直角三角形．
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专题： 计算题．
【常见错误注意事项】
（1）根据tan30°=，求出AB， 进而求出OA，得出A的坐标，设过A的双
曲线的解析式是y=，把A的坐标代入求出即可；
（2）求出∠AOA′，根据扇形的面积公式求出扇形AOA′的面积，求出OD、DC
长，求出△OD C的面积，相减即可求出答案．
【解题方法】
（1）解：∵∠ABO=90°，OB=3
∴tan30°=，
，∠AOB=30°，
∴AB=3，
∴OA=2AB=6，
∴A的坐标是（3，3），
设过A的双曲线的解析式是y=，
把A的坐标代入得：k=9
∴双曲线的解析式是y=
，
．

（2）解：∵∠AOA′=90°﹣30°=60°，OA=6，
∴扇形AOA′的面积是：=6π，
， ∵△DOC是等腰直角三角形，OC=3
∴sin45°=
∴DC=OD=
，
，
∴△ODC的面积是：×OD×DC=×=，
∵阴影部分的面积等于扇形的面积减去△ODC的面积，
∴阴影部分的面积是6π﹣
【建议】
．
本题考查的知识点是求扇形的面积 、求三角形的面积、解直角三角形、含30度角
的直角三角形，主要考查学生运用这些性质进行计算的能 力，题目具有一定的代
表性，难度也适中，是一道比较好的题目．

5．（201 3•泉州质检）抛物线y=x
2
﹣4x+k与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y 轴交于点C
（0，6），动点P在该抛物线上．
（1）求k的值；
（2）当△POC是以OC为底的等腰三角形时，求点P的横坐标；
（3）如图，当点P在直 线BC下方时，记△POC的面积为S
1
，△PBC的面积为S
2
．试问S< br>2
﹣S
1
是否存
在最大值？若存在，请求出S
2
﹣S
1
的最大值；若不存在，请说明理由．
第 19 页 共 23 页

【考查知识点】 二次函数综合题．
【常见错误注意事项】
（1）把点C的坐标代入已知函数解析式y=x
2
﹣4x+k来求k的值；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性质可知，点P是线段OC的垂直平分线与抛物
线的交点；
（3）需要分类讨论，如图2、图3，根据点P所处的位置不同，可求得S
2
﹣S1
=﹣
m
2
+6m=﹣（m﹣2）
2
+6，然后由抛物 线的开口方向，顶点坐标可以求得它的最
值．
【解题方法】
解：（1）⊙抛物线y=x
2
﹣4x+k经过点C（0，6）
∴×0
2
﹣4×0+k=6
解得k=6；

（2）如图 1，过OC的中点D作y轴的垂线，当△POC是以OC为底的等腰三角
形时，由OD=×6=3可知， 点P的纵坐标为3．
由（1）可知，抛物线的解析式为y=x
2
﹣4x+6，
令y=3得x
2
﹣4x+6=3，解得x=4
∴点P的横坐标为4

（3）∵由（1）可知，抛物线的解析式为y=x
2
﹣4x+6
令x=0，得y=6；令y=0，得x
2
﹣4x+6=0，
解得 x
1
=2，x
2
=6．
∴点A、B、C坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，6），则OA=2，OB=OC=6
设点P为（m，m
2
﹣4m+6），当点P在直BC下方时0＜m＜6，
过点P作PE⊥y轴于E，作直PG⊥x轴于G．
当2≤m＜6时，如图2，
第 20 页 共 23 页

；

PE=m，PG=m
2
+4m﹣6，S
2
=S
四边形
COPB
﹣S
△POC
，
∵S
四边形
COPB
=S
△BOC
+S
△POB
=×OB×（OC+PG）=﹣m
2+12m，
2S
1
=OC×PE=6
∴S
2
﹣S< br>1
=S
四边形
COPB
﹣2S
1

=﹣+12m﹣6m=﹣m
2
+6m；
当0＜m＜2时，如图3．
PE=m，PG=m
2
+4m﹣6，S
2
=S
△BOC
+ S
△POB
﹣S
1

同理可求S
2
﹣S
1
=﹣m
2
+6m
综上所述，当0＜m＜6时，S
2
﹣S
1
=﹣m
2
+6m= ﹣（m﹣2）
2
+6．
∵抛物线S
2
﹣S
1
=﹣ （m﹣2）
2
+6的开口方向向下，
∴当m=2时，它有最大值．
∵m=2满足0＜m＜6，
∴当m=2时，S
2
﹣S
1
存在最大值6．


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本题综合考查了等腰三角形的性质、待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积
的 求法．解题方法（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．
第 22 页 共 23 页
【建议】