精算师专业-道德讲堂心得体会

第一章 函数与极限
§1 函数
必作习题
P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17
必交习题
一、一列火车以初速度
v
0
，等加速度
a
出站，当速度达到
v
1
后，火车按等速运动前进；从
出站经过
T
时间后，又以等减速度
2a
进站，直至停止。
(1) 写出火车速度
v
与时间
t
的函数关系式；
(2) 作出函数
vv(t)
的图形。

















二、 证明函数
y



















x
在
(,)
内是有界的。
2
x1

三、判断下列函数的奇偶性：
(1)
f(x)xsin








2
1
；
x

2
x
1
(2)
f(x)
x
；
21








(3)
f(x)ln(xx
2
1)
。









四、 证明：若
f(x)
为奇函数，且在
x0
有定义，则
f(0)0
。

§2 初等函数
必作习题
P31－33 1，8，9，10，16，17
必交习题
一、 设
f(x)
的定义域是
[0,1]
，求下列函数的定义域：
(1)
f(e)
；




(2)
f(lnx)
；




(3)
f(arcsinx)
；




(4)
f(cosx)
。




二、(1)设
f(x)xln(1x)
，求
f(e







2
2x
x

)
；
(2)设
f(x1)x3x2
，求
f(x)
；






(3)设
f(x)




1
1
}
。
(x0,x1)
，求
f[f(x) ]
，
f{
f(x)
1x

三、设
f(x)< br>是
x
的二次函数，且
f(0)1
，
f(x1)f(x) 2x
，求
f(x)
。





















四、设
f(x)


2x,

x2,





















x0

x
2
x0
，
g(x)

,

x,
x0
x0
，求
f[g(x)]
。

§3 数列的极限
必作习题
P42 3 (3) (4)，4，5，6
必交习题
一、 写出下列数列的前五项
(1)
x
n








(2)
x
n








(3)
x
2n








1
sinn
3
；
3n

1
n1
2

1
n2
2

1
nn
2
；
11(1)
n
1，x
2n1

。
2nn
1(1)
n
二、已知
x
n

，用定义证 明：
limx
n
0

n
n

§4 函数的极限
必作习题
P50 1 (2) (4)，2(2)，3，4，7，9
必交习题
2x
2
2
4
。 一、用极限的定义证明：
lim
x1
x1





















二、用极限的定义证明：
lim
x
6x5
6
。
x

三、研究下列函数在
x0
处的左、右极限，并指出是否有极限：
(1)
f(x)













|x|
；
x


1x,x0

,x0
(2)
f(x)

0

1x
2
,x0













2
四、用极限的定义证明：
lim (x6x10)2

x2

§5 无穷大与无穷小 §6 极限运算法则
必作习题
P54-55 3，4，5； P63 1，2，3
必交习题
一、举例说明 (当
x0
时)：(1)两个无穷小的商不一定是无穷小；(2)无界量不一定为无
穷 大量。








二、求下列数列的极限：
(1)
lim (
n
12n1
)
=
n
2
n
2
n
2









5
n1
6
n1
(2)
lim
n
=
n
56
n









111(1)
n1

n1
)
= (3)
lim (1
n
3927
3

三、求下列函数的极限：
(1)
lim
x1
x1
=
x1





(xh)
3
x
3
(2)
lim
=
h0
h






(3)
lim (x(xa)x)
=
x







(4)
lim (
x1
13
)
=
3
1x
1x






(1a)x
4
bx
3
2
2
，求
a,b
。 四、设
lim
x
x
3
x
2
1

§7 极限存在准则 ，两个重要极限 §8
必作习题
P
71
1，2，4； P
74
1，2，3，4
必交习题
一、 求下列极限：
(1)
lim xsin
x
无穷小的比较
3
=
x


sin
2
xsin
2
a
(2)
lim
=
xa
xa



(3)
lim
x0
sin4x
1x1
=




x4

(4)
lim

x
x1





x1
=
(5)
lim

=
x0

1x





二、用极限存在准则求证下列极限：
(1)设
a
i
0(i1< br>～
m),
Mmax{a
1
,,a
m
}
； 证明：
1

1x

x
lim
n
a1
a
2
a
m
M

n
nnn

(2)设
x
1
3
，
x
n1

3(1x
n
)
(n1,2,)
。证明此数列收敛，并求出它的极限。
3x
n













k
三、确定
k的值，使下列函数与
x
，当
x0
时是同阶无穷小：
(1)






(2)
3x
2
4x
3
；






(3)
1tgx1sinx
。






四、已知
lim
x1
1
1x
；
1x

5
xab
1
，求
a和b
.
x
2
1
。

三、用极限定义证明：
(1) 若
x
n
a(n)
，则对任一自然数
k
，也有
x
nk
a(n)
；









(2) 若
x
n
a(n)
， 则
|x
n
||a|(n)
，并举例说明反之未必成立；









(3) 若
|x
n
|0(n)
，则
x
n0(n)
。









四、 设数列
{x
n
}
有界，又
lim y
n
0
，证明
lim x
n
y
n
0
。
nn

§9 函数的连续性与间断点
必作习题
P80 1，2，3
必交习题
一、当
x0
时下列函数
f(x)
无定义，试定义
f(0)
的值， 使
f(x)
在
x0
连续：
(1)
f(x)








(2)
f(x)sinxsin
1
。
1x1
3
1x1
；
x








二、指出下列函数的间断点并判定其类型：
(1)
f(x)









1x
；
3
1x

x
2
x
(2)
f(x)
；
2
|x|(x1)


1

(3)
f(x)
e
x1

ln(1x)











x0
。 1x0
e
x
b
三、确定
a和b
，使函数
f(x)
有无穷间断点
x0
；有可去间断点
x1
。
(xa)(x1)

















四、设函数
f(x)
在
(,)
上有定义，且对任何
x
1
,x
2
有
f(x
1
x
2
)f(x
1
)f(x
2
)
，
证明：若
f(x )在x0
连续，则
f(x)在(,)
上连续。

§10 连续函数的运算与初等函数的连续性
§11 闭区间上连续函数的性质
必作习题
P85-86 1，2，3； P91 1，2，3
必交习题
一、 欲使

ax
2
，x1

f(x)

1，x1


ln(bxx
2
)，x1

在
x1
处连续，求
a,b
。








二、求下列极限：
(1)
lim
ln(xa)lna
x0

x
=






(2)
lim (xe
x
1
x
x0
)
=







sin(x-

(3)
lim
3
)
x

3
12cosx
=

1
2
(4)
lim (cosx)
sinx
=
x0












5
三、证明方程
x3x
1至少有一根介于1和2之间。













四、设函数
f(x)
在区间
[0,2a]
上连 续，
f(0)f(2a)
，证明在区间
[0,a]
上至少存在一
点
x
0
使得
f(x
0
)f(x
0
a)< br>。