有关读书的格言-水泥厂实习报告

一九九九年全国高考数学试题
理科试题
一. 选择题:本题共有14小题; 第(1)一(10)题每小题4分,第(11)一(14)题每小题5分,共60分.
在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 如图,I是全集,M、P、S、是I的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( )
（A）
(MN)
S

（B）
(MP)S

（C）
(MP)S

（D）
(MP)S

（2）已知映射f:
A
B,其中，集合A{ 3,2,1,1,2,3,},集合B中的元素都是A中

元素在映射f下的象，且对任 意的a

A
,在B中和它对应的元素是{a},则集合B中
元

素的个数是 ( )
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x) ,f(a)=b,ab
0,则g(b)等于
( )







M








P


S






I
(A)a (B)a
-1
(C)b (D)b
-1

（4）函数f(x)=Msin(

x

)(

0)在区间
[a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)= M,则函
数g(x)=Mcos(

x

)在[a,b]上
( )
(A)是增函数 （B）是减函数 （C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值－M
（5）若f(x)sinx是周期为

的奇函数，则f(x)可以是
（A）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x
（6）在极坐标系中，曲线

4sin(


（A）直线


（C）点(2,

3

)关于
( )
（B）直线



3
对称
5

轴对称
6

)
中心对称 （D）极点中心对称
3
（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm的圆柱形器皿中，量得水面的 高度为６cm，若将这
些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）
(A)
63cm(B)6cm(C)2
3
18cm(D)3
3
12cm

（8）
若(2x3)
4
a
0
a
1
xa
2
x
2
a
3
x
3
a
4
x
4
,则（a
0
a
2
a
4
)
2
(a
1
a
3
)
2


1

的值为 （ ）
(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2
(9)直线
3xy230截圆x
2
y
2
4得的劣弧所对的圆心角为
（ ）
（Ａ）

6
(B)

4
(C)

3
(D)

2
(10)如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ
是边长为３的正方形ＥＦ ∥ＡＢＥＦ＝
3
,EF
与面ＡＣ
2
的距离为２，则该多面体的体积
（ ）
（A）
9
2
(B)5(C)6(D)
15

2



（11）若sin

tg

 ctg

(

(A)
(


2

2
),则


（ ）
(C)(0,)
4

,)
24

(B)(

4
,0)

(D)(,)

42
< br>（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，
它们 的侧面积的比为1∶2，那么R＝ （ ）
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）已知丙点M（1，
)、N(4,),
给出下列曲线方程：
22
5
4
5
4
①4x+2y-1=0 ②
xy 3
x
2
y
2
1
③
2
x
2y
2
1
在曲线上存在点P满足 ④
2
MPNP
的所有曲线方程是 （ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单 片软件和
盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
x
2
y
2
1ab0)的右焦点为F
1
，右准线为L
2.
若过
F
1
且垂直于x （15）设椭圆
2

2
（
ab
轴的弦的长等于点F
1
到L
1
的距离， 则椭圆的离心率是 。
（16）在一块并排10 垄的 田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，
为有利于作物生长，要求A、B两种作 物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种
（用数字作答）
（17）若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是
（18）

、

是两个不同的平面，m、n是平面

、

之外的两条直线。给出四个论断：
①
mn
②



③
n

④
m



2

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
三．解答题：本大题共6小题；共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（19）（本小题满分10）
解不等式
3log
a
x22lo g
a
x1(a.0,a1)

（20）（本小题满分12分）
设复数z＝3cos

i2sin

.求函数y

argz(0



2
)的最大值以
及对应的

值
(21)(本小题满分12分)
如图：已知正四棱锥ABCD－
A< br>1
B
1
C
1
D
1
,点E在棱D
1< br>D上，截面EAC
∥
D
1
B,且面EAC与底面ABCD所成的角为4 5

，
AB＝a
（1）求截面EAC的面积；
（3）求三棱锥B1
－EAC的体积。


（22）（本小题满分12分）
右图 为一台冷轧机的示意图。
冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从
一端输入，经过各对轧辊
逐步减薄后输出。
（1）输入钢带的厚度为

,输出钢带的厚度为

，
若每对轧辊的减薄率不超过
r
0
，问冷轧机至少需要
安装多少对轧辊？
（一对轧辊减薄率＝

（2）求异面直线A
1
B
1
与AC之间的距离；
输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度）

输入该对的带钢厚度
（2）已知一台冷轧机共有4台减薄率为20％的轧辊， 所有轧辊周长均为1600mm。若第
k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输 出的带钢上，疵
点的间距为
l
k
.为了便于检修，请计算
L
1
.L
2
L
3
并填入下表（轧钢过程中，带钢宽
度不变，且 不考虑损耗）
1
轧钢序列号k
疵点间距
L
（单位mm）

k
2

3

4
1600
(23)(本小题满分14分)
已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线。当

3

nyn1(n0,1,2)时，该图象是斜率为b
n
的线段（其中正常数b 1），
设数列{x
n
}由f(x
n
)n(n1,2,) 定义。
（1）求x
1
.x
2
.和x
n
的表达式；< br>（2）求f(x)的表达式，并写出其定义域；
（3）证明：yf(x)的图象与yx的图象 没有
横坐标大于1的交点

(24)（本小题满分14分）
如图，给出定点A（a, 0）(a>0 且a
1
和直线l: x=-1 ,B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C点，求点
C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线 类型与a值的关系。


文科试题
一选择题:本题共有14小题;第( 1)一(10)题每小题4分,第(11)一(14)题每小题5分,共60分.在
每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）如图,I是全集,M、P、S、是I的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( )
（A）
(MN)
S

（E）
(MP)S

（F）
(MP)S

（G）
(MP)S

（2）已知映射f:
A
B,其中，集合A{ 3,2,1,1,2,3,},集合B中的元素都是A中

元素在映射f下的象，且对任 意的a

A
,在B中和它对应的元素是{a},则集合B中
元

素的个数是 ( )
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x) ,f(a)=b,ab
0,则g(b)等于
( )







M








P


S






I
(A)a (B)a
-1
(C)b (D)b
-1

（4）函数f(x)=Msin(

x

)(

0)在区间
[a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)= M,则函
数g(x)=Mcos(

x

)在[a,b]上
( )
(A)是增函数 （B）是减函数 （C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值－M
（5）若f(x)sinx是周期为

的奇函数，则f(x)可以是

4

（A）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x
（6）曲线
x
2
y
2
22x22y0关于
（ ）
（A）直线
x2
轴对称 （B）直线y=-x轴对称
（C）点
(2,2)中心对称（D）点（－2，0）中心对称

（７）若干 毫升水倒入底面半径为２cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm，若将这
些水倒入轴截面是正三 角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）
(A)
63cm(B)6cm(C)2
3
18cm(D)3
3
12cm

（8）
若(2x3)
3
a
0
a
1
x a
2
x
2
a
3
x
3
,则（a
0
a
2
)
2
(a
1
a
3
)
2

的值为 （ ）
(A)－1 (B)1 (C)0 (D)2
(9)直线
3xy230截圆x
2
y
2
4得的劣弧所对的圆心角为
（ ）
（Ａ）

6
(B)

4
(C)

3
(D)

2
(10)如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ
是边长为３的正方形ＥＦ ∥ＡＢＥＦ＝
3
,EF
与面ＡＣ
2
的距离为２，则该多面体的体积
（ ）
（A）
9
2
(B)5(C)6(D)
15

2



（11）若sin

tg

 ctg

(

(A)
(


2

2
),则


（ ）
(C)(0,)
4

,)
24

(B)(

4
,0)

(D)(,)

42
< br>（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，
它们 的侧面积的比为1∶2，那么R＝ （ ）
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）给出下列曲线：
①4x+2y-1=0 ②
xy3
22
x
2
y
2
1
③
2
x
2
y
2
1
④
2
其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是 （ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单 片软件和
盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

5

x
2
y
2
1ab0)的右焦点为F
1
，右准线为L
2
.
若过
F
1
且垂直于x （15）设椭圆
2

2
（
ab
轴的弦的长等于点F
1
到L
1
的距离，则椭圆的离心率是 。
（16）在一块并排10 垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，< br>为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种
（用数字作答）
（17）若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是
（18）

、

是两个不同的平面，m、n是平面

、

之外的两条直线。给出四个论断：
①
mn
②



③
n

④
m


以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
三．解答题：本大题共6小题；共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（19）（本小题满分10）
解方程
3lgx23lgx40

（20）（本小题满分12分）
数列{a
n
}的前n项和记为S
n
.已知a
n
5S
n
3(nN).求

< br>lim(a
1
a
3
a
2n1
)的值< br>
n
（21）（本小题满分12分）
设复数z＝3cos
isin

.求函数ytg(

argz)
的

值

(22)(本小题满分12分)
如图：已知正四棱锥ABCD－
A
1
B
1
C
1
D
1
,点E在棱D
1
D上，截面EAC
∥
(0



2< br>)的最大值以
及对应
D
1
B,且面EAC与底面ABCD所成的角为4 5

，
AB＝a
（1）求截面EAC的面积；
（3）求三棱锥B1
－EAC的体积。


（23）（本小题满分12分）
右图 为一台冷轧机的示意图。
冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从
一端输入，经过各对轧辊
逐步减薄后输出。

（2）求异面直线A
1
B
1
与AC之间的距离；

6

（3）输入钢带的厚度为

,输出钢带的厚度为

，
若每对轧辊的减薄率不超过
r
0
，问冷轧机至少需要
安装多少对轧辊？
（一对轧辊减薄率＝
输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度
）

输入该 对的带钢厚度
（4）已知一台冷轧机共有4台减薄率为20％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm。 若第
k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵
点的间距 为
l
k
.为了便于检修，请计算
L
1
.L
2
L
3
并填入下表（轧钢过程中，带钢宽
度不变，且不考虑损耗）
1
轧钢序列号k
疵点间距
L
k
（单位mm）

2

3

4
1600

(24)（本小题满分14分）
如图，给出定点A（a, 0）(a>0且a
1
)和直线l:
x=-1 ,B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C
点，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线 类型与a
值的关系。



参考答案
（文、理科）
一．（1）C （2）A （3）A （4）C （5）B （6）B （7）B （8）A （9）C
（10）D （11）B （12）D （13）D （14）C
二．（15）
1
（16）12 （17）[9, +

)
2
(18)
m


,n

,


mn;或mn,m

,n








3log
a
x 20
2

3logx2(2logx1)
aa
三．（理

2log
a
x10
可

7

2
3
当a>1时得所求的解集是：
{xa
3xa
4
}{xxa}

3
2
当0＜a＜1 时得所求的解集是：
{xa
4
xa
3
}{x0xa}
（文）x=100
(20)(理)由0<



2
得tg

0

由z=3cos

i2s in

,得0argz

sin

2
及tg( argz)
2
3cos


2
3
tg


tg


2
tg

故tgy=tg(

argz)
3

1

1
2
3
tg
2

2
tg

2tg

∵
3
1
6
tg

2tg

≥2
6
∴
3
≤
tg

2tg

12
当且仅当
3

tg

2tg

(0


2
)时,即tg


6
2
时,上式取等号

故当

arctg
6
2
时,函数tgy取最大值
6
1 2

∵
y

arctgz故y(

6
2
,
2
).
∴y
max
arctg
12

(文)∵
a
ns
n
s
n1
(n1).a
1
s
1< br>
∴
a
n
a
n1
5(s
n
s
n1
)5a
n
即a
n

1 3
4
a
n1
又a
1
5s
1
3故a< br>1

4

故数列
a
31
2
1
,a
3
,a
5
a
2n1
是首项为a
1

4
,公比为(
4
)的等比数列

∴
3
lim(a
1
a
3
a
5
a2
4
4
n
n1
)
1
1
< br>5
.
16
(21)(理)(1)作辅助线如图所示:

8

S解得:
EAC

2
2
a

2
(2)可求得A
1
AD
1
D
(2) 求得< br>B
1
Q
(文)由0<


2a即为所求异面直线的 距离

3312
2
32
3
B
1
Da,故 V
B
1EAC
aaa

423224
得tg

0


2
由z=3cos

isin

,得0argz

2< br>及tg(argz)
sin

1
tg


3cos

3
1
tg

tg

23

故y=tg(

argz)

1
2
3
1tg

tg

3tg

∵
2
3
3
tg

23
∴≤
3
tg

3
tg

tg

当且仅当
3

3
.
tg

(0

)时,即

时,y
max

tg

2 33
(22)(理)(1)厚度为

的钢带经过减薄率均为
r
0的n对轧辊后厚度为

(1r
0
)
n

为使输出钢带的厚度不超过

,冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足


(1r
0
)

即(1r
0
)
即
n
nn

两边取对数得:nlg(1r
0
)lg


lg

lg

lg

 lg

因此至少需要安装不小于的整数对轧辊

lg(1r
0
)lg(1r
0
)
(2)第三对轧辊出口疵点间距为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机
出口处两疵点间带钢体积相等,因宽度不变,有
1600L
3
(10< br>
2)

故
L
3

L
L< br>1600
2000(mm)同理L
2

3
2500(mm )L
2

2
3125(mm)

080808
填表如下:

轧钢序列号k
疵点间距
L
k
（单位mm）
(文)见理科第(21)题

1
3125
2
2500
3
2000
4
1600
9

(23)(理) (1)依题意
f(0)0,又由f(x1
)1,当0y1时,函数yf(x)的图象是斜率为b
0
1的线段,
故由
f(x
1
)f(0)
1得x
1
1.又由 f(x
2
)2,当1y2时,函数yf(x)的图象是
x
1
0
f(x
2
)f(x
1
)
11
b,即x2
x
1
得x
2
1
x
2
x< br>1
bb
1
又f(x
n
)n,f(x
n1
)n1,故x
n
x
n1
()
n1
,n1,2 ,
b
1
由b1,得
b
斜率为b的线段,故由
记x< br>0
0.由函数yf(x)图象中第n段线段的斜率为b
n1
,故得
f(x
n
)f(x
n1
)
b
n1
xn
x
n1

x
n
x
n1
< br>为等比数列,其首项为由此知数列1,公比为
1
b()
n1
11< br>b
x
n
1
n1

bb1
b
(2)当0y1,从(1)知yx,即当0x1时,f(x)x.
当nyn 1时,即当x
n
xx
n1
时,由(1)知
f(x)nb
n
(xx
n
),(x
n
xx
n1
,n1,2,3,)
1
b()
n1
b
为求f(x)的定 义域,须对x
n
(n1,2,3,)进行讨论.
b1
1
b()
n1
b
b
当b1时,limx
n
lim< br>nn
b1b1
当0b1时,n时x
n

综上所述:当b1时,f(x)的定义域为[0,
b
)
b1
当0b 1时,f(x)的定义域为[0,)
b
(3)先证明当b1,1x时,恒有f(x) x成立.
b1
b
对任意的x(1,),存在x
n
,使x
n
xx
n1
,此时有
b1
f(x)f(x
n< br>)b
n
(xx
n
)xx
n
(n1)
f(x)xf(x
n
)x
n
又f(x
n
)n 1
11

n1
x
n
b
b
故 f(x
n
)x
n
0,所以f(x)xf(x
n
) x
n
0,即有f(x)x成立
其次,当b1时,仿上述证明,可知当x1时, 恒有f(x)x成立
故函数f(x)的图象与yx的图象没有横坐标大于1的交点.
(文)同理科第(22)题
(24)依题意,记(-1, b) (b
R)
, 则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x,y),则有

10

0
xa,由OC平分
∠AOB,知点C到距离相等,根 据点到直线的距离公式得

y
ybx
1b
2
①
依题意设,点C在直线AB上,故有
y
b
1a
(xa)

由
xa0b
(1a)y
xa
② 将②代入①得
y
2
[1
(1a)
2
y
2< br>(xa)
2
][y
(1a)xy
xa
]
2
y[(1a)x
2
2ax(1a)y
2
]0

若
y0,则(1a)x
2
2ax(1a)y
2
 0(0xb)

若y=0,则b=0,∠AOB=

,
点C的坐标为(0, 0),满足上式.
综上得出点C的轨迹方程为
(1a)x
2
2ax (1a)y
2
0(0xa)
(ⅰ)当a=1时,轨迹方程化为
y
2
x(0xa)
③
(x
a
)
2
(ⅱ) 当a

1时,轨迹方程化为
1a
y
2
a
< br>2
1(0xa)
(
1a
)
2
a
1 a
2
所以,当0当a>1时,方程④表示双曲线一支的弧段.
(完).

④
11