解数学题的常用方法
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解数学题的常用方法
1、特殊值法
用具体的数替代式子中的字母，从而解决
问题，这种方法称为特殊值法。特殊值法主要用在选择题和填
空题。
例1 选择题
①化简
ab
2
(b<0)的结果正确的是（ ）
A、
ba
B、
ba
C、
ba
D、
ba
②下列运算正确的（ ）
23
A、
a
2
a
B、
a
3
a
C、
a
2
|a
2
|
D、
a
3
|a
3
|
③已知a是非零实数，则下列不等式一定成立的有（ ）
a
2
11
，
1a
2
0
，
1
1
1
，
a
1
≥2，|a-1|≤|a|+1
a
a
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
例2
已知关于x的一次函数y=ax-a+1和y=(a-1)x-a+2，它们的图象交点是 。
有些解答题使用特殊值法是不合适的。
22
例3
请你说明不论a取何值，代数式2(a-1)-(a-5)(a-3)-(a+2)的值总是-17。
22
错解：取a=0，原式=2-15-4=-17，所以不论a取何值，代数式2(a-1)-(a-
5)(a-3)-(a+2)的值总
是-17 特殊值法使用不当也会造成错误。
例4 已知非零实数x、y满足
xxy2y0
，则
x
=
。
y
错解：取x=4，y=1，则原式=4。
2、特殊位置法
有些几何
题的结果不受某些元素的位置所影响，我们可以将这样的元素移动到较为特殊的位置，从
而求出结果，这
种方法称为特殊位置法。特殊位置法往往适合于选择题和填空题。
例5 如图△ABC中，AB=A
C，∠A=30°，AB=2，D是BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么
DE+D
F= 。
例6 如图△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D在
AB上，E在BC上，DC=DE，
EF⊥AB于F。那么DF= 。
3、特殊图形法
有些几何题的结果不受某些图形的形状所影响，我们可以将这样的图形
变化成特殊图形，从而求出结果，这种方法称为特殊图形法。特殊图形法往
往适合于选择题和填空题。
例7
如图△ABC中，∠A=60°，BE、CE分别是∠ABC和∠ACD的平分线，则∠E的度数是
。
4、排除法
A
E
在n种可能的结果中，有n-1种的可能被
排除了，从而找到了正确的结果，
B
这种解题方法叫做排除法。
D
C
例8 如图Rt△ABC中，E在斜边上，D、F分别在AC、BC
上，四边形CDEF是正方形。若AC=b，BC=a，
那么正方形的边长是（ ）
A、
ab
B、
ab
abab
C、
2
ab
2
D、
ab
ab
ab
例9 如图是六个面分别涂有红、黄、蓝
、紫、绿、白六种颜色的一模一样的两个正六
面体，那么你可以知道一定相对的两个颜色是
。
1
5、面积法
利
用面积计算或面积的关系来解决非面积的问题，这种方法称为面积法。经验告诉我们，凡是求垂
线段的长
度或解决垂线段的关系往往可以用面积法，另外还可以用面积法解决线段相等的证明。
例10 如图
△ABC中，AB=AC，CH是高，D是BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
请说明
DE+DF=CH。
例11
如图矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为BC的中点。求D到AE的距离DF。
例12如图△ABC中，PA、PB分别平分∠BAC和∠ABC，PH⊥AB，垂足为H，
已知∠C=90°,BC=3，AC=4，求PH的长。
C
P
A
H
B
6、画图法
画图法指的是在函数问题中利用函数图象来解决问题的一种方法。
例13
已知直线y=-2x+4与直线y=3x-n的交点在第二象限，求n的取值范围。
例14 直线y=kx+b过点（2，-4），且与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，求其解析式。
7、计算法
某些几何问题虽然没有具体的数据，但可以设某些元素的量
为单位1（或用字母表示），通过对一些
角度、线段长度、面积等的计算来解决，这种方法称为计算法。
例15 如图，AB是⊙O的直径，l
1
，
l
2
是⊙O的
两条切线，且l
1
∥AB∥l
2
，若P是直线l
1
上一点，
直线
S
PA、PB交l
2
于点C、D，设⊙O的面积为S
1
，△PCD的面积为S
2
，则
1
=
S
2
（
）（A）π （B）
（C） （D）
248
例16
如图D在等腰三角形ABC的底边BC上，E在AC上，AE=AD，
请你说明∠BAD=2∠EDC。
8、列举法
有些数学问题因为它可能的结果不是很多，我们
就可以通过一一列举将它们全
部列举出来，然后验证哪些是满足题设条件的。这样解决问题的方法叫做列
举法。
例17 有一个两位数，十位数字比个位数字的2倍小1，将两个数字对调位置后，所得的两
位数比原数
小27，求原两位数。
例18
用21根火柴摆成一个等腰三角形，火柴不折断，一共可以摆出几种等腰三角形？
2
9、列表法
列表有两个好处，其一是显示数量关系，其二是便于搜索有用的信息。
例19 如图，1条
直线最多将圆分成2部分，2条直线最多将圆分成4部分，3条直线最多将圆分成7
部分，4条直线最多
将圆分成11部分，问10条直线最多将圆分成几部分？
例20 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地100台，上海厂可支援
外地
40台，现在决定给重庆80台，汉口60台．假定每台计算机的运费是：北京厂运到汉口需400
元，运到
重庆需800元；上海厂运到汉口需300元，运到重庆需500元。求出总运费最低的调运方
案，最低总运
费是多少元?
10、运动法(极端原理)
通过
对某些几何图形的运动，达到解决问题的目的，这种方法称为运动法。运动法尤其在求某个变
量的取值范
围时显示出其强大的优点。
例21
如图四边形ABCD中，AB=4，BC=7，CD=2，AD=x，求x的取值范围。
例22
等腰梯形ABCD的周长为12，一个底角为60°，设较大的底边为x，
那么x的取值范围是
。
11、构造法
为了解决问题，需要重新构筑模型，编造出对我们有利的情景。这种方法叫做构造法。
例23
如图△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=AE，∠EAB=30°，求∠ECB的度数。
222
例24 如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E在BC上，∠DA
E=45°，请你说明DE=BD+EC。
12、实验法
还有一些数学问题可
以通过实验，也就是进行动手操作，从中寻找问题的本质，发现问题的结果。
这种方法称为实验法。
例25
如图AE、BE分别平分∠DAC和∠DBC,∠D=60°,∠C=30°，则∠E的度数是 。
例26
如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。
3
例27 如图，把一个正方形纸片三次对折后沿虚线剪下，则剩下的部分展开后的图形是(
)
沿虚线剪开
A
B C D
例28 印制一本书，为了使装订成书后页码恰
好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的
纸对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对
折三次为16页，……；然后再排页码．如果想设计一本
16页的毕业纪念册，请你按图1、
图2、图3(图中的1～16表示页码)的方法折叠，在图4中填上按这种
折叠方法得到的各页在该面相
应位置上的页码．
例29 大家都玩过七巧板吧，今天让你玩一玩四巧板。将一个正方形
硬纸板按如图的方法分成一样的直
角三角形，这样的四个三角形能拼成 种不同的梯形；
种不同的平行四边形（正方形不算）。
例30 如图，一张长方形纸条，长20cm，宽2cm，每
次都沿45°的斜线折叠，三次折叠后有CD=ED，
2号袋
1号袋
那么AB=
cm。
3号袋
4号袋
图3
例31 图
3
是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔
.
如果一
个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是
（
）
A
．
1
号袋
B
．
2
号袋
C
．
3
号袋
D
．
4
号袋
例32 将如图所示的圆心角为
90<
br>°的扇形纸片
AOB
围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径
OA
与
OB
重
合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（ ）
13、
反面考虑问题法
例33
已知直线y=-(a+1)x-a+2（a≠-1）过第三象限，求a的取值范围。
例34
28个人进行拳击对抗赛（每场输的人退出比赛），到最后决出冠军为止，一共需要进行几场比赛？
例35 （1）10个人中选9个有几种选法？
（2）圆上有10个点，以其中8个点为顶点作八边形，一共有 个八边形。`
例36 将一个正方体表面展开，至少要剪开几条棱？
14、重叠法
例
37、如图4，正方形的边长为20，以边长为直径，画4个半圆，求阴影部分的面积（精确到0.1）
4
例38、如图5，等腰△ABC中，高AD=4cm
，底边BC=6cm，以AD为直径画圆，分别以BD、CD为直径画半
圆，求图中阴影部分的面积。
例39、如图6，正方形ABCD的边长为8cm，分别以AB、AD为直径画半
圆，求图中两个阴影部分面积的
差的绝对值。
例40、如图7，△AB
C中，∠ACB=90度，D、E在AB上，AE=AC，BD=BC，求∠DCE的度数。
例41、如图8是某零件的平面图，图中每个角都是直角，图中的8条线段分别用8个小写字母表示，为
了测量这个图形的周长，只需测量图中8条线段中的哪几条？
例42、在57
个非零有理数中，正整数有3个，整数的个数比正数的个数的2倍少6个，负分数的个数
比正数的个数的
3倍少6个，求正数有几个。
5