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【常考题】中考数学试题(带答案)

一、选择题
1．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：

分数分

人数人

70

1

80

3

90

100

1

x


已知该小组本次数学测验的平均分是
85
分，则测验成绩的众数是（ ）

A
．
80
分
B
．
85
分
C
．
90
分
D
．
80
分和
90
分

2．如图，
AB< br>是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端
B
出发，先沿水平方向向
右行 走
20
米到达点
C
，再经过一段坡度（或坡比）为
i=1
：
0.75
、坡长为
10
米的斜坡
CD
到达点
D，然后再沿水平方向向右行走
40
米到达点
E
（
A
，< br>B
，
C
，
D
，
E
均在同一平面
内） ．在
E
处测得建筑物顶端
A
的仰角为
24°
，则建筑物AB
的高度约为（参考数据：
sin24°≈0.41
，
cos24°≈ 0.91
，
tan24°=0.45
）（ ）


A
．
21.7
米
B
．
22.4
米
C
．
27.4
米
D
．
28.8
米

3．
2
的相反数是（ ）

A
．
2
B
．
2
C
．
1

2
D
．

1

2
4．如图，
AB
，
AC
分别是⊙
O
的直径和弦，
ODAC
于点
D
，连接
BD
，
BC
，且
AB10
，
AC8
，则
BD
的长为（ ）


A
．
25
B
．
4
C
．
213
D
．
4.8

5
．如图，在 直角坐标系中，矩形
OABC
的顶点
O
在坐标原点，边
OA
在
x
轴上，

OC
在
y
轴上，如果矩形
O A′B′C′
与矩形
OABC
关于点
O
位似，且矩形
OA′ B′C′
的面积等于矩
形
OABC
面积的
1
，那么点
B′
的坐标是（

）

4

A
．（－
2
，
3
）

3
）或（
2
，－
3
）

B
．（
2
，－
3
）
C
．（
3< br>，－
2
）或（－
2
，
3
）
D
．（ －
2
，
6．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%， 后又降价
10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商 品更
合算（ ）

A
．甲
B
．乙
C
．丙
D
．一样

7．某公司计划新建一个容积
V(m< br>3
)
一定的长方体污水处理池，池的底面积
S(m
2
)
与其深度
h
（
m
）之间的函数关系式为
S
V

h0

，这个函数的图象大致是（

）

h
A
．
B
．
C
．
D
．

8．“
绿水青山就是金山银山
”
．某工程队承接了< br>60
万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨
季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计 划提高了
25%
，结果提前
30
天完成了这一任
务．设实际工作时每 天绿化的面积为
x
万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）

A
．
C
．
6060
30

x(12 5%)x
B
．
D
．
6060
30

(125%)xx
60(125%)60
30

xx
6060(125%)
30

xx
9
．若正比例函数
y=mx
（
m≠0
），
y
随
x的增大而减小，则它和二次函数
y=mx
2
+m
的图象

< br>大致是（

）

A
．
B
．
C
．
D
．

10．某商品的标价为
200
元，< br>8
折销售仍赚
40
元，则商品进价为（

）元．

A
．
140
B
．
120
C
．
160
D
．
100

11．cos45°
的值等于
( )

A
．
2
B
．
1
C
．
3

2
D
．
2

2
12．已知实数
a
，
b
，若
a
＞
b
，则下 列结论错误的是

A
．
a-7
＞
b-7
B
．
6+a
＞
b+6
C
．
＞

a
5
b
5
D
．
-3a
＞
-3b

二、填空题
13．已知
x62
，那么
x
2
 22x
的值是
_____
．

14．如图所示，图①是一个三角形， 分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三
角形三边中点，得图③
……
按此方 法继续下去．


在第
n
个图形中有
______
个三角形（用含
n
的式子表示）

15
．如图，是将菱形
A BCD
以点
O
为中心按顺时针方向分别旋转
90°
，
180 °
，
270°
后形成的
图形．若∠
BAD=60°
，
AB=2
，则图中阴影部分的面积为

．

16．甲、乙两人在
1200
米长的直线道路上跑步，甲、 乙两人同起点、同方向出发，并分别
以不同的速度匀速前进，已知，甲出发
30
秒后， 乙出发，乙到终点后立即返回，并以原来
的速度前进，最后与甲相遇，此时跑步结束．如图，
y
（米）表示甲、乙两人之间的距离，
x
（秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示 整个跑步过程中
y
与
x
函数关系，那么，
乙到达终点后
__ ___
秒与甲相遇．


17．分式方程
32x
x2< br>+
2
=1
的解为
________
.

2 x
18．当
m
____________
时
,
解分式方程
x5m

会出现增根．

x33x
19．如图，把三 角形纸片折叠，使点
B
，点
C
都与点
A
重合，折痕分别为< br>DE,FG
，若
C15

,AEEG2
厘米，
△ABC
则的边
BC
的长为
__________
厘米。


20．若式子
x3
在实数范围内有意义，则
x
的取值范 围是
_____
．

三、解答题
21．甲、乙两公司为
“
见义勇为基金会
”
各捐款
60000
元．已知甲公司的人数比乙公司 的人
数多
20℅
，乙公司比甲公司人均多捐
20
元．甲、乙两公司各 有多少人？

22．垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价 值，力争
物尽其用，为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某
校对本校甲、乙两班各
60
名学生进行了垃极分类相关知识的测试，并分别随机抽取了
15
份成绩，整理分析过程如下，请补充完整

（收集数据）

甲班
15
名学生测试成绩统计如下：（满分
100
分）
< br>68
，
72
，
89
，
85
，
82< br>，
85
，
74
，
92
，
80
，85
，
78
，
85
，
69
，
76，
80

乙班
15
名学生测试成绩统计如下：（满分
100
分）
< br>86
，
89
，
83
，
76
，
73< br>，
78
，
67
，
80
，
80
，79
，
80
，
84
，
82
，
80，
83

（整理数据）

按如下分数段整理、描述这两组样本数据

组别

班级

甲班

乙班

65
.
6
～
70
.
5

2

1

70
.
5
～
75
.
5

2

1

75
.
5
～
80
.
5

4

a

80
.
5
～
85
.
5

5

b

85
.
5
～
90
.
5

1

2

90
.
5
～
95
.
5

1

0


在表中，
a
＝ ，
b
＝ ．

（分析数据）

（
1
）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：

班级

甲班

乙班

平均数

80

80

众数

x

80

中位数

80

y

方差

47
.
6

26
.
2


在表中：
x
＝ ，
y
＝ ．

（
2
）若规定得分在
80< br>分及以上（含
80
分）为合格，请估计乙班
60
名学生中垃圾分类相< br>关知识合格的学生有 人

（
3
）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的情况较好，说明理由．

23．如图，点
B
、
C
、
D
都在⊙
O上，过点
C
作
AC
∥
BD
交
OB
延长 线于点
A
，连接
CD
，
且∠
CDB=
∠
O BD=30°
，
DB=
63
cm
．

（
1
）求证：
AC
是⊙
O
的切线；
（
2
）求由弦
CD
、
BD
与弧
BC
所 围成的阴影部分的面积．（结果保留
π
）


x
2
2x1x
.

24．已知
A
2
x1x1
（
1
）化简
A
；

（2
）当
x
满足不等式组


x10
，且< br>x
为整数时，求
A
的值
.

x30
< br>的铅笔斜靠
的边沿上，一端固定在桌面上，图
2
是示意图．

与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔
25．数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图
1
，将长为
在垂直于水平桌面
活动一

如图
3
， 将铅笔绕端点顺时针旋转，
的直尺

的中点与点重合．



数学思考

（
1
）设，点到的距离
的长是
_________
．

，的长是
________
；

①用含的代数式表示：
活动二

（
2
）①列表：根据（1
）中所求函数关系式计算并补全表格．

．．
②与的函数关系式是_____________
，自变量的取值范围是
____________
．





6

0

5

0.55

4

1.2

3.5

1.58

3

1.0

2.5

2.47

2

3

1

4.29

0.5

5.08

0


②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点
数学思考

．

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．

（
3
）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．



【参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除



一、选择题


1
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

先通过加权平均数求出
x
的值，再根据众数的定义就可以求解．

【详解】

3+90x+100=85
（
1+3+x+1
），

解：根据题意得：
70+80×
x=3

∴该组数据的众数是
80
分或
90
分．

故选
D
．

【点睛】

本题考查了加权平均数的计 算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列
出方程．通过列方程求出
x
是解答问题的关键．

2．A
解析：
A

【解析】

【分析】

作
BM
⊥
ED交
ED
的延长线于
M
，
CN
⊥
DM
于
N
．首先解直角三角形
Rt
△
CDN
，求出
CN< br>，
DN
，再根据
tan24°=
【详解】

作
BM
⊥
ED
交
ED
的延长线于
M
，
CN
⊥
DM
于
N
．

AM
，构建方程即可解决问题
.

EM

在
Rt
△
CDN
中，∵
∴
CD=10
，

CN14

，设
CN=4k
，
DN=3k
，
< br>DN0.753
∴（
3k
）
2
+
（
4k）
2
=100
，

∴
k=2
，

∴
CN=8
，
DN=6
，

∵四边形
BMNC
是矩形，

∴
BM=CN=8
，
BC=MN=20
，
EM=MN+DN+DE=66
，

=
在
Rt
△
AEM
中，
tan24°
∴
0. 45=
AM
，

EM
8AB
，

66
∴
AB=21.7
（米），

故选
A
．

【点睛】

本题考查的 是解直角三角形的应用
-
仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角
形是解 答此题的关键．

3．B
解析：
B

【解析】

【分析】

根据相反数的性质可得结果
.

【详解】

因为
-2+2=0
，所以﹣
2
的相反数 是
2
，

故选
B
．

【点睛】

本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键
.

4．C
解析：
C

【解析】

【分析】

先根据 圆周角定理得∠
ACB=90°
，则利用勾股定理计算出
BC=6
，再根据垂 径定理得到
CDAD
【详解】

1
AC4
，然后利用勾股定理计算
BD
的长．

2
∵
AB
为直径，

∴
ACB90

，

∴
BCAB
2
AC
2
10
2
8
2
6
，

∵
ODAC
，

∴
CDAD
1
AC4
，

2
在RtCBD
中，
BD
故选
C
．

【点睛】

4
2
6
2
213
．

本题考查了圆周 角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半．推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90°
的圆周角所对的弦
是直径．也考查了垂径定 理．

5．D
解析：
D

【解析】

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一
条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。把一个图形变换成与之位似的图形是位似变
换。因此，< br>

∵矩形
OA′B′C′
与矩形
OABC
关于 点
O
位似，∴矩形
OA′B′C′
∽矩形
OABC
。

∵矩形
OA′B′C′
的面积等于矩形
OABC
面积的
1
1
，∴位似比为：。

4
2
∵点
B
的坐 标为（－
4
，
6
），∴点
B′
的坐标是：（－
2< br>，
3
）或（
2
，－
3
）。故选
D
。

6
．
C
解析：
C

【解析】

试题分析：设商品原价为
x
，表示出三家超市降价后的价格，然后比较即可得出答案．

解：设商品原价为
x
，

甲超市的售价为：
x< br>（
1
﹣
20%
）（
1
﹣
10%
）< br>=0.72x
；

乙超市售价为：
x
（
1
﹣
15%
）
2
=0.7225x
；

丙超市售价为：
x
（
1
﹣
30%
）
=70%x=0.7x
；

故到丙超市合算．

故选
C
．

考点：列代数式．

7
．
C
解析：
C

【解析】

【分析】

【详解】

解：由题意可知：
v0，h0

，

∴
s
v
(h0)
中，当
v
的值一定时，s
是
h
的反比例函数，

h
v
(h0)< br>的图象当
v0，h0
时是：“双曲线”在第一象限的分支
.

h
∴函数
s
故选
C.

8．C
解析：
C

【解析】

分析：设实际工作时每天绿化的面积 为
x
万平方米，根据工作时间
=
工作总量
÷
工作效率结合提前
30
天完成任务，即可得出关于
x
的分式方程．
< br>详解：设实际工作时每天绿化的面积为
x
万平方米，则原来每天绿化的面积为
平 方米，

x
万
125%
6060
60

125%

60
30
x
依题意得：，即
30< br>．

x
xx
125%
故选
C
．

点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决

问题的关键．

9．A
解析：
A

【解析】

【分析】

【详解】

∵正比例函数< br>y=mx
（
m≠0
），
y
随
x
的增大而减小 ，

∴该正比例函数图象经过第一、三象限，且
m
＜
0
，
∴二次函数
y=mx
2
+m
的图象开口方向向下，且与
y
轴交于负半轴，

综上所述，符合题意的只有
A
选项，

故选
A.

10．B
解析：
B

【解析】

【分析】

200
元，由利润
=
售价
-
进价建立方程求出其解即设商品进价为
x
元，则售价为每件
0.8×
可．

【详解】

200
元，由题意得

解：设商品的进价为
x
元，售价为每件
0.8×
11．D
解析：
D

【解析】

【分析】

将特殊角的三角函数值代入求解．

【详解】

=
解：
cos45°
故选
D
．

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

2
．

2
12．D
解析：
D

【解析】

A.
∵
a
＞
b
，∴
a -7
＞
b-7
，∴选项
A
正确；

B.
∵
a
＞
b
，∴
6+a
＞
b+6
，∴选项B
正确；

C.
∵
a
＞
b
，∴
＞
，∴选项
C
正确；

D.
∵
a
＞b
，∴
-3a
＜
-3b
，∴选项
D
错误
.

故选
D.

a
5
b
5

二、填空题

13．4 【解析】【分析】将所给等式变形为然后两边分别平方利用完全平方公式
即可求出答案【详解】∵∴∴∴ ∴故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的
运算解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方 公式注意正确
解析：4

【解析】

【分析】

将所给等式变形为
x2
【详解】

∵
x
6
，然后两边分别平方，利用完全平方公式即可求出答案．

62
，

6
，

2
∴
x2
∴
x2



6

，

2
∴
x
2
22x26
，

∴
x
2
22x4
，

故答案为：
4

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，解 题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式
.
注
意正确的变形可以使得运算 简便
.

14．【解析】【分析】分别数出图①图②图③中的三角形的个数可以发现：
第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3如图③中三角形的个数为9=
4×3-3按 照这个规律即可求出第n各图形中有多少三角形【详解】分
解析：

4n3


【解析】

【分析】

分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三 角形的个数就
3-3
．按照这个规律即可求出第
n
各是
4
与 几的乘积减去
3
．如图③中三角形的个数为
9=4×
图形中有多少三角形．< br>
【详解】

分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，

1-3
；

图①中三角形的个数为
1=4×
2-3
；

图②中三角形的个数为
5=4×
3-3
；

图③中三角形的个数为
9=4×
…

可以发现，第几个图形中三角形 的个数就是
4
与几的乘积减去
3
．

按照这个规律，如果设 图形的个数为
n
，那么其中三角形的个数为
4n-3
．

故答案为
4n-3
．

【点睛】

此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题
目中给出的图形 ，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏
大，属于难题．

15．12﹣4【解析】【分析】【详解】试题分析：如图所示：连接ACBD交于点
E连接DFFM MNDN∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转
90°180°270°后形成的图形∠ BAD=60°AB=2
解析：
12
﹣
4
3

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：如图 所示：连接
AC
，
BD
交于点
E
，连接
DF
，
FM
，
MN
，
DN
，

∵将菱形ABCD
以点
O
为中心按顺时针方向分别旋转
90°
，
180°
，
270°
后形成的图形，∠
BAD=60°
，
A B=2
，

∴
AC
⊥
BD
，四边形
DNM F
是正方形，∠
AOC=90°
，
BD=2
，
AE=EC=
3
，

∴∠
AOE=45°
，
ED=1
，

∴
A E=EO=
3
，
DO=
3
﹣
1
，

∴
S
正方形
DNMF
=2
（
3
﹣
1）
×2
（
3
﹣
1
）
×
S
△< br>ADF
=
1
=8
﹣
4
3
，

2
1
×AD×AFsin30°=1
，

2
∴则图 中阴影部分的面积为：
4S
△
ADF
+S
正方形
DNMF< br>=4+8
﹣
4
3
=12
﹣
4
3
．< br>
故答案为
12
﹣
4
3
．


考点：
1
、旋转的性质；
2
、菱形的性质．

16 ．30【解析】【分析】由图象可以V甲＝9030＝3msV追＝90120-30＝1ms
故V乙＝ 1+3＝4ms由此可求得乙走完全程所用的时间为：12004＝300s则可以
求得此时乙与甲的距 离即可求出
解析：30

【解析】

【分析】

由图象可以
V
甲
＝＝
3ms
，
V
追
＝＝< br>1ms
，故
V
乙
＝
1+3
＝
4ms
，由此可求得乙走

完全程所用的时间为：
遇的时间．

【详解】

由图象可得
V
甲
＝
＝
300s
，则可以求得此时乙与甲的距离，即可求出最后与甲相
＝
3ms
，
V
追
＝＝
1ms
，

∴
V
乙
＝
1+3
＝
4ms
，

∴乙走完全程所用的时间为：＝
300s
，

3
＝
990m
．

此时甲所走的路程为：（
300 +30
）
×
此时甲乙相距：
1200
﹣
990
＝< br>210m

则最后相遇的时间为：
故答案为：
30

【点睛】

此题主要考查一次函数图象的应用，利用函数图象解决行程问题．此时就要 求掌握函数图
象中数据表示的含义．

＝
30s

17．【 解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘
以得：解得：检验：当时所以分式 方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式
方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式 方程求解解分
解析：
x1

【解析】

【分析】

根据解分式方程的步骤，即可解答．

【详解】

方程两边都乘以
x2
，得：
32x2x2
，

解得：
x1
，

检验：当
x1
时，
x21210
，

所以分式方程的解为
x1
，

故答案为
x1
．

【点睛】

考查了解分式方程 ，

1

解分式方程的基本思想是
“
转化思想
”< br>，把分式方程转化为整式方程
求解
.

2

解分式方 程一定注意要验根．

18．2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根 且使分式
方程的分母为0的未知数的值详解：分式方程可化为：x-5=-m由分母可知分式
方 程的增根是3当x=3时3-5=-m解得m=2故答案为：2
解析：2

【解析】

分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且 使分式方程的分母为
0
的未知
数的值．

详解：分式方程可化为：
x-5=-m
，

由分母可知，分式方程的增根是
3
，

当
x=3
时 ，
3-5=-m
，解得
m=2
，

故答案为：
2
．

点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：

①让最简公分母为
0
确定增根；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

19．【解析】【分析】过点E作交AG的延长线于H根据折叠的性质得到根据三
角形外角的性 质可得根据锐角三角函数求出即可求解【详解】如图过点E作交
AG的延长线于H厘米`根据折叠的性质 可知：根据折叠的性质可知：（
解析：
423

【解析】

【分析】

过点
E
作
EHAG
交
AG< br>的延长线于
H,
根据折叠的性质得到
CCAG15,

o
根据三角形外角的性质可得
EAGEGA30,
根据锐角三角函数求出< br>GC
,
即可求解
.

o
【详解】

如图，过点
E
作
EHAG
交
AG
的延长线于
H< br>，


C15

,AEEG2
厘米，
`

根据折叠的性质可知：
CCAG15,


o
EAGEGA30
o
,


AG2 HG2EGcos30
o
22
3
23,


2
根据折叠的性质可知：
GCAG23,


BEAE2,


BCBEEGGC2223423.
（厘米）

故答案为：
423.

【点睛】

考查折叠的性质，解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键
.

20．x≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围【详解
】解：若式子在实数范围内有意义则x+3≥0解得：x≥﹣3则x的取值范围是：x≥﹣
3故答案为： x≥﹣3【点睛】此题主要考查了二次根式
解析：
x≥
﹣
3

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的定义求出
x
的取值范围．

【详解】

.
解：若式子
x3
在实数范围内有意义，

则
x+3≥0
，

解得：
x≥
﹣
3
，

则
x
的取值范围是：
x≥
﹣
3
．

故答案为：
x≥
﹣
3
．

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．

三、解答题

21．甲公司有
600
人，乙公司有
500
人
.

【解析】

分析：根据题意，可以设乙公司人数有
x
人，则甲公司有
(1+20%)x
人；由乙公司比甲公司
人均多捐
20
元列分式方程 ，解之即可得出答案
.

详解：设乙公司有
x
人，则甲公司就有（< br>1+20
％）
x
人，即
1.2x
人，


根据题意，可列方程：

解之得：
x=500

经检验：
x=500
是该方程的实数根
.

22．【整理数 据】：
7
，
4
；【分析数据】（
1
）
85
，
80
；（
2
）
40
；（
3
）乙班的学生 掌握垃
圾分类相关知识的整体水平较好，见解析.

【解析】

【分析】

由收集的数据即可得；

（
1
）根据众数和中位数的定义求解可得；

（
2
）用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得；

（
3
）甲、乙两班的方差判定即可．

【详解】

解：乙班
75
.
5
～
80
.
5
分数段的学 生数为
7
，
80
.
5
～
85
.
5
分数段的学生数为
4
，

故
a
＝
7
，
b
＝
4
，

故答案为：
7
，
4
；

6000060000


=20

x1.2x