夏天菜谱-黑龙江会计管理局

2018
年高考数学真题试卷（上海卷）
一、填空题
41
1.（2018•上海）行列式的值为 。
25
【答案】18
【解析】【解答】
41
=45-21=18
25
【分析】
ac
bd
=ad-bc交叉相乘再相减。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
2.（2018•
x
2
y
2
1
的渐近线方程为 。 上海）双曲线
4
1
x

2
【答案】
yx
2
y
2
1
，a=2，b=1。故渐近线方程为
y 
1
x
【解析】【解答】
4
2
x
2
y
2
b
【分析】渐近线方程公式。注意易错点焦点在x轴上，渐近线直线方程为
2

2
1
时，
yx
。
ab
a
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
3.（2018•上海）在（1+x）的二项展开式中，x²项的系数为 。（结果用数值表示）
【答案】21
【解析】【解答】（1+x）中有T
r+1< br>=
C
7
x
，故当r=2时，
C
7
=
7
7
rr2
76
=21
2
n
【分析】注意二项 式系数，与各项系数之间差别。考点公式

ab

第r+1项为T
r+1
=
C
n
a
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
rnrr
b
。 < br>（31，）
4.（2018•上海）设常数
aR
，函数
f(x)l og
2
(xa)
，若
（
的反函数的图像经过点，则
fx）
1

a= 。
【答案】7
（3 1，）
【解析】【解答】
（
的反函数的图像经过点，故
fx）
1+a =2所以a=2-1，故a=7.
【分析】原函数
33
f

x
过点
log
2

1a

=3，
（ 1，3）
，则
f

1

3
，
f

x

与反函数图像关于y=x对称，如：原函数上任意点

x0
,y
0

，则反函数上点为

y
0
,x
0


【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
（1i）z
5.（2018•上海）已知复数z满足
【答案】5
17i
（i是虚数单位），则∣z∣= 。
（1i）z
【解析】【解答】∵
17i

（1i）（1i）z
∴
2z=-6-8i

z=-3-4i



17i（


1i）
（1i
2
）z18i7i
2

故根据复数模长公式
z

3

2


4

=5
2
【分析】复数转化关系公式
i
2< br>1
，共轭复数去点模长公式
z
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
6.（2018•上海）记等差数列
【答案】14
【解析】【解答】a
3
=a
1
+2d=0
a
6< br>+a
7
=a
1
+5d+a
1
+6d=14
x
2
y
2

的前n项和为S，若
a₃0，a< br>8
a
7
14
，则S= 。

a
n


n7

a
1
4

a
1
2d0
故

，


d2
2a11d14


1
故
S
n
na
1

2
n

n1

S
n
4n2

2
2

n1

n
d

S
n
n
2
5n

故S
7
=7-5×7=14。
2

n< br>
n1

d
，求出【分析】等差数列的通项公式
a
n
a
1


n1

d
，等差数列前n 项和公式S=
na
1

2
n
a
1
，d。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
7.（2 018•上海）已知


，若幂函数
｛2，1，，，1，2，3｝递减，则α=_____
【答案】-1
【解析】【解答】a=-2时，
a=- 1时，
11
22
f(x)x
a
为奇函数，且在
（0， ）
上
f

x

=x
-2
为偶函数，错误
f

x

=x
-1
（0，）
为奇函数 ，在上递减，正确
1

1
a=-时，
f

x
=
x
2
非奇非偶函数，错误
2
1
a=时，
f

x

=
x
2
非奇非偶函数，错误 < br>2
a=1时，
a=2时，
a=3时，
1
f

x

=x在
（0，）
上递增，错误
f

x

=x在
（0，）
上递增，错误 2
f

x

=x在
（0，）
上递增，错误
3
【分析】关于幂函数性质的考查，在第一项限a>0时，
则
f
< br>x


，a<0时，
f

x

< br>，若a>0为偶数，
f

x

为偶，若a为奇数，
f

x

为奇。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
8.（2018•上海）在平面直角坐 标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，
uuruuuruuur
且|
EF
|=2，则
AE
·
BF
的最小值为___ ___
【答案】-3
【解析】【解答】设E(0，y
1
)，F(0，y< br>2
)，又A（-1，0），B（2，0），
uuuruuur
所以
A E
=(1，y
1
)，
BF
=(-2，y
2
)
uuuruuur
AEBF
=y
1
y
2
-2 ①
uur
又|
EF
|=2，
故（y
1
-y
2
）=4
2
y
1
2
y
2
2
2y
1
y
2
4

3

又
y
1
2
y
2< br>2
≥
2y
1
y
2
，当
y
1
y
2
时等号不成立。
uuuruuur
2
故假设
y1
2y
2
代入①，
AE
·
BF
=
y
2
2y
2
23

【分析】本题主要考查向量坐标运算，基本不等式的运用，点与向量坐标互化。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
9.（2 018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中
随 机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）
【答案】
1

5
m21


n105< br>3
【解析】【解答】根据古典概率公式
P
【分析】五个砝码，从中随机选取三 个为
C
5
，三个砝码的总质量为9克，可种情况有5，3，1和5，2，
2
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
10.（ 2018•上海）设等比数列{
a
n
}的通项公式为a=q
n
n-1
（n∈N*），前n项和为S。若
lim
n
S
n
1

，
n
a2
n1
则q=____________
【答案】3
a
1
a
1
q
n
【解析】【 解答】
a
n1
q
，
S
n

1qn
，又
a
n
q
n1
∴
a
1
=1
a
1
a
1
q
n
Sn1q
n< br>1
故
lim

limlim
n
a
n
(1q)q
n
n
q
n

1q

2
n1
1
1
11
q
n
q 3
当|q|>1时，有
lim
n
1q1q2
1qn
当|q|<1时，
lim
n

(舍)
n< br>q

1q

a
1
a
1
q
n
【分析】
S
n

1q
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
（等比数列前n项和公式）
4

【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
11.（2018•上海）已知常数< br>a
>0，函数
2
x
1

6

f (x)
x


，若的图像经过点
p

p，

、
Q

q，
5

2ax

5

2
pq
36pq
，则
a
=______ ____
【答案】6
2
p
6ap5
①1
p

， 【解析】【解答 】
p
2ap526
2
q
1aq
②15
，
qq
2aq52
1

ap


a
2
pq1

2
p
6
故

pq


6

=1，
26

aq
6

2
q
又
2
pq
36 pq
，
a
2
pq
1
。 所以
36pq
所以
a
2
=36，
a
=6（
a
＞0）
【分析】函数赋值，分式，指数化简
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
12.（2018•上海）已知实数x ₁、x₂、y₁、y₂满足：
x
1
2
y
1
2
1
，
x
2
2
y
2
2
1
，
x
1
x
2
+y
1
y
2

1，
2
则
∣x
1
y
1
∣1∣x
2< br>y
2
∣1
+的最大值为__________
22
【答案】
32

2
【解析】【解答】设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
故有x+y=1，使A，B在圆上，
2
uuuruuur
11
又x
1
x
2
+y
1
y
2
=，得出
OA OB
，
22
故
AOB60
o
，
构造直 线x+y-1=0，故
x
1
y
1
1
2

x
2
y
2
1
2
变为A、B两点到直线x+y-1=0 距离和最大值。特殊位
置取最值，当AB平行l直线时取最值，又三角形ABO为等边三角形，故
ON
3
，
2
5

又
OM
001
2
2

2
，
故
x
1
y
1
1x
2
y
2
1
2

2
最大值为
32
。

【分析】运用构造法，极端假设法解答即可。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
二、选择题
13.（2018•上海）设P是椭圆
x ²y
5
+
²
3
=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（
A.2
2

B.2
3

C.2
5

D.4
2

【答案】C
【解析】【解答】
a5
，故
PF
1
PF
2
25
，
故答案为：C
【分析】椭圆定义
PF
1
PF
2
2a

【题型】单选题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
14.（ 2018•上海）已知
aR
，则“
a＞1
”是“
1
a＜1”的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
6
）

【答案】A
【解析】【解答】
11
1
，所以a＞1
或
a
<0，所以
1
不能直接推出
a＞1
，
aa
a＞1
能直接推出
1
1
，故“
a＞1
”是“
1
＜1”的充分非必要条件。
aa
故答案为：A。
【分析】根据小范围

大范围求解。
【题型】单选题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
15.（2018•上海）《九章算术 》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正
六棱柱的一条侧棱，如图，若 阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳
马的个数是（ ）

A.4
B.8
C.12
D.16
【答案】D < br>【解析】【解答】以AA
1
取矩形分别讨论，找到AA
1
所在矩形个数 ，并根据每个矩形可做4个阳马的基本
位置关系，可得答案为D。
故答案为：D。
【分析】以AA
1
为底边的直四棱锥，运用线面垂直关系判定的方法分析图形中基本元素及其相 互关系解
答即可。
【题型】单选题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
16.（2018•上海）设D是含数 1的有限实数集，
（
是定义在D上的函数，若
（
的图像绕原点逆
fx ）fx）
7

时针旋转
A.
π
后与原图像 重合，则在以下各项中，
（
的可能取值只能是（ ）
f1）
6
3

3

2
3

3
B.
C.
D.0
【答案】B
【解析】【解答】根据函 数性质定义，A，C，D在单位圆上取点后会出现一对多的情况舍去，故排除A，
C，D。
故答案为：B。
【分析】逆时针旋转重合，考虑极坐标可能，代值法求解。
【题型】单选题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
三、解答题
17.（2018•上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
【答案】由题意可知PB=4，又底面圆O半径 R=2，由勾股定理可知PO=
故V=
PB
2
OB
2
，故 PO=2
3
，
11
POS=2
33
3

4 =
83

。
3

（2）设PO=4，OA，OB是底面半 径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所
成的角的大小.
8

【答案】向量法求解，建立延OB方向为x轴，OA 方向为y轴，OE方向为z轴，O为原点的直角坐标系，
P(0，0，4)，M(1，1，0)，B(2 ，0，0)
uuur
uuur
故
MP
=(-1，-1，4)，OB
=(2，0，0)，
uuuruuur
uuuruuur
MPO B22

ruuur

故
cosMPOB
uuu< br>，
6
MPOB
21116



又异面直线夹角为

0,

，

2

故 MP与OB直线夹角为
arccos
2
6
。

【解析】【 分析】⑴考查空间几何体中圆锥的问题，涉及母线概念，和圆锥体积的计算，空间几何体的
体积和表面积 计算作为大纲的高频考点属于基础题型，要求熟练运用；⑵主要考查空间角的问题，计算
空间角可以采取 向量法或者几何方法，几何方法采用平移法解三角形。本题主要给出答案采取建立空间
直角坐标系设点的 方法。
【题型】综合题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
18.（ 2018•上海）设常数
aR
，函数
（
asin2x2cos
2
x

fx）
9

（1）若
（
为偶函数，求
fx）
a
的值；
22
【答案】若
（fx）
为偶函数，则
（f-x）
=
（fx）
，有asin(-2x)+2cos(-x)=asin2x+2cosx，
-as in2x=asin2x，
a
=0.
31
，求方程
（fx）12
在区间上的解。
［

，

］

（2）若
〔f〕
4
【答案】则
a
+1=
又




f
 
31
，故
asin

2cos
2

31
，
24

4

31
，
a< br>=
3
，
f

x

3sin2x2cos
2
x
，
有
f

x

12< br>3sin2x2cos
2
x12
，
3sin2x2cos2
x12
，化简为


2sin

2 x

2
，
6

11

5



2

xk

或xk
'

，
k,k
'
Z
。 即
sin
< br>2x


6

2
2424

若 求该方程在
1325

1929

，


,


上的解，则
k

,,k

,

'

2424

2424

；k
'
=0或1
对应的x的值分别为

即
k 0或1
1113529

，

，

，

24242424
。
【解析】【分析】本题主要考查三角函数化简求值的问题；对于 三角函数考查同角变换公式中的降次公
式和辅助角公式。通过三角函数求特殊值的方法。对于本题还涉及 到利用函数奇偶性求函数解析式的问
题。
【题型】综合题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
19.（2018•上海）某群体的人 均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某
地上班族S中的成员仅以自驾或 公交方式通勤，分析显示：当S中
x%
自驾群体的人均通勤时间为

0x 100

的成员自驾时，

30,

f(x)

1800
2x90,

x

0＜x≤30，
30＜x＜100
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
【答案 】根据
2x+
f

x

分段通勤时间可知：当公交群体人的 通勤时间少于自驾时间有下列不等式
1800
-90>40(30x
10

有x-65x+900>0，(x-45)(x- 20)>0，故x>45或x<20(舍)，综上100>x>45，即45间少于自驾群体时间。
(2)求该地上班族S的人均通勤时间
（
的表达式；讨论< br>（
的单调性，并说明其实际意义。
gx）gx）
【答案】设该地上班族总人数 为n，则自驾人数为n·x％，乘公交人数为n·（1-x％），
2

30gngx ％+40gng(1x％)
，0＜x30

n

因此人均通勤时 间
g(x)

，整理
1800

(2x
x90)gngx％40gng(1x％)
,30＜x＜100

n

得
x

40-，0＜x30


10
，
g(x)


1
(x32.5)
2
36.875,3 0＜x＜100


50
则当
x
当

0 ,30

∪

30,32.5

，即
x

0,32.5

时，
g(x)
单调递减；
x(32.5,100)
时，
g(x)
单调递增。
实际意义：当有32.5％的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短。
适当 的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交
通拥堵 ，使得整体效率下降。
【解析】【分析】本题主要考查实际应用题的理解，对于实际应用题，注重理解 和阅读能力的考查，近
几年高考卷加强了对于读题能力的考查。本题主要是讨论现实生活中的出勤问题， 结合当前城市治理的
热点问题，注意在思考和下结论的时候应该考虑实际情况。
【题型】综合题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
20.（ 2018•上海）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线
：
，l与x轴交于点A，与

交于点B，P、Q分别是曲线

与线段AB上的动
y²8x（0xt，y0）
点。
(1)用t表示点B到点F的距离；
【答案】由题意可知如图

11

故设
A

t,0

，Bt,22 t，F

2,0



BF
BF

t2

8t


t2

2
2

BFt2

(2)设t=3，
∣FQ∣2
，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
【答案】由题中几何关系可知
又由几何关系可知t=3，
有
OFFQ
，又M为OQ中点，故
PFOQ
。
FQ2

AF1
，则
AQ3

故
Q3,3


3
，PF⊥OQ，则PF直线斜率K=-
3

3
2
则
PF:y3

x2

，联立曲线
P: y8x

0x3,y0


又QO直线斜率
K1

2

243

1

2

73
可知
P

,
，即
S
VAQP


3

3
。


33

236



( 3)设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在

上？若存在，求点 P的坐标；若不存
在，说明理由。
s
2
【答案】存在；假设存在，则设E
(,2s)(0s2t)

2
m
2
t=8时，P
(,2m)
，其中m∈[0，4]；Q (8，n)，其中n∈[0，8]；且s[0，4]，
2
uuuruuur
则在以F P、FQ为邻边的矩形FPEQ中，
FPgFQ=0
，
3m
2
1 2
即
(3m12)2mn0
n(m0)

2m
2
又n∈[0，8]，解得m∈（0，2）
uuur
uuur
123m
2
s
2
m
2
故
FQ
= （6，n）=
(6,)PE(,2s2m)

2m22
12


s
2
m
2
6
< br>4
2

22
25
2
得到方程组：

，解得
m12
（舍）或
m
，故
m

25
5

123m
2s2m


2m所以
P(
245245
,)
；当
P(,)
时，以FP、 FQ为邻边的矩形FPEQ，并有点E在

上。
5555
【解析】【分析】 本题主要考查圆锥曲线中的椭圆问题，⑴涉及的是点到点的距离公式，运用公式解答
即可；⑵涉及面积最 值问题，面积问题往往需要进行等效转换，转换为弦长或者点到直线距离问题，是
作为距离的问题的加深 ；⑶考查存在性问题，存在性问题往往涉及到运动问题，对于运动问题应当注意
抓住变量。
【题型】综合题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
21.（ 2018•上海）给定无穷数列
{a
n
}
，若无穷数列{b
n
}满足：对任意
nN*
，都有
|b
n
称
{b
n
}与{a
n
}
“接近”。
(1)设
{a
n
}
是首项为1，公比为
并说明理由； a
n
|1
，则
1
的等比数列，
b
n
2
a
n1
1
，
nN*
，判断数列
{b< br>n
}
是否与
{a
n
}
接近，
1
< br>1

【答案】由题意
a
1
1,q，故a
n


2

2

又
b
n
则n1

a
n1
1
，故
b
n

1
1

2
n

b
n
a
n

111
11
2
n
2
n1
2
n1
又
即
1
1
1＜1
，故
＞0< br>n1
n1
2
2
b
n
a
n
＜1
，故

b
n

与

a
n

接近

(2)设数列
{a
n
}
的前四项为：a
1
=1，
a
2
=2，
a
3
=4，< br>a
4
=8，{b
n
}是一个与
{a
n
}接近的数列，记集合
M={x|x=b
i
，i=1，2，3，4}，求M中元素的 个数m；
【答案】由题意分析可知
M

x|xb
i
, i1,2,3,4


b
1
1＜10＜b
1
＜2

b
2
1＜11＜b
2
＜3

b
3
4＜13＜b
3
＜5

b
4
8＜17＜b
4
＜9

13

根据范围分析
b
4
可能出现
b
1
 b
3
b
2
或b
1
，根据元素互异性
b
4
M,b
3
M
，又
b
1
与b
2
可能出现
b
1
=b
2
情况，也
b
2
情况 ，故根据互异性，M中元素个数为3个或4个

(3)已知
{a
n
}
是公差为d的等差数列，若存在数列{b
n
}满足：{b
n
}与< br>{a
n
}
接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…
b
201< br>-b
200
中至少有100个为正数，求d的取值范围。
【答案】

a
n

为等差数列，又
b
n
与
a
n
接近，有
b
n
a
n
＜1

1
则
1a
n
＜b
n
＜a
n
又
1a
n1
＜b
n1
＜a
n1
1< br>
a
n
1＜b
n
＜1-a
n

故
d
当
d
2＜b
n1
b
n
＜2 d

2时,b
k1
b
k
0,k1,2,... ,200,
即
b
2
b
1
,b
3
b2
,...,b
201
b
200
中没有正数；当
b< br>1
,b
2
,...b
201
＞-2时，存在使得
d< br>b
2
b
1
＞0,b
3
b
2
＜0 ,b
4
b
3
＞0,b
5
b
4
＜0,. ..,b
200
b
199
＞0,b
201
b
2 00
＜0
，即有100个
正数，故
d
＞-2。
【解析】【 分析】本题涉及到数列中的新定义问题，对于新定义问题，应当结合题意求解；本题主要讨
论接近的概念 ，⑴基础，涉及定义运用证明，⑵结合集合考查，涉及集合中元素互异性问题；⑶涉及接
近问题中的极限 讨论思想需要进一步思考。
【题型】综合题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

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