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高二数学期中测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )
1．设aA．a
2
2
B．b
2
2

C．a
2
2
2
2

答案 B
2．关于数列3,9， …，2187，…，以下结论正确的是(
A．此数列不是等差数列，也不是等比数列
B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列
C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列
D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列
解析 记a
1
＝3，a
2
＝9，…，a
n
＝2187，…
若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，
a
n
＝3＋(n－1)×6＝2187，∴n＝365.
∴{a
n
}可为等差数列．
若{a
9
n
}为等比数列，则公比q＝
3
＝3.
a
n
＝3·3
n
－
1
＝2187＝3
7
， ∴n＝7.
∴{a
n
}也可能为等比数列．
答案 B
3．在△ ABC中，若sin
2
A＋sin
2
B＝2sin
2
C，则 角C为(
A．钝角 B．直角
C．锐角 D．60°
)
)

解析 由sin
2
A＋sin
2B＝2sin
2
C，得a
2
＋b
2
＝2c
2< br>.
即a
2
＋b
2
－c
2
＝c
2< br>>0，cosC>0.
答案 C
4．设{a
n
}是公比为正数的等 比数列，若a
1
＝1，a
5
＝16，则数列{a
n
}
的前7项和为( )
A．63
C．127
B．64
D．128
解析 a
5
＝a
1
q
4
＝q
4
＝16，∴q＝2.
1－2
7
∴S
7
＝＝128－1＝127.
1－2
答案 C

5．一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折7次，这
时报纸的厚度和面积分别为( )
b
A．8a，
8

b
C．128a，
128

答案 C
6．不等式y≤ 3x＋b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而
点(4,4)在此区域内，则b的范围是( )
A．－8≤b≤－5
C．－8≤b<－5
B．b≤－8或b>－5
D．b≤－8或b≥－5
b
B．64a，
64

b
D．256a，
256

解析 ∵4>3×3＋b，且4≤3×4＋b，
∴－8≤b<－5.
答案 C

< br>

m－n≤2，
7．已知实数m，n满足不等式组

m＋n ≤3，


m≥0，
A．7，－4
C．4，－7
2m＋n≤4，

则关于x的方程
x
2
－(3m＋2n)x ＋6mn＝0的两根之和的最大值和最小值分别是( )
B．8，－8
D．6，－6
解析 两根之和z＝3m＋2n，画出可行域，当m＝1，n＝2时，
z
max
＝7；当m＝0，n＝－2时，z
min
＝－4.
答案 A
8．已知a ，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c成
ac
等差数列，则
x＋
y
的值等于( )

C．2
解析 用特殊值法，令a＝b＝c.
答案 C
9．制作一个面积为1m
2
，形状 为直角三角形的铁架框，有下列四
种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( )
A．
C．5m
B．
D．

D．1
解析 设三角形两直角边长为am，bm，则ab＝2，周长C＝a＋b
＋a
2
＋b
2
≥2ab＋2ab＝22＋2≈(m)．
答案 C
10．设{a
n
}是正数等差数列，{b
n
}是正数等比数列，且a
1
＝ b
1
，a
2n
＋
1
＝b
2n
＋
1 ,
则( )

A．a
n
＋
1
>b
n
＋
1

C．a
n
＋
1
n
＋
1

B．a
n
＋
1
≥b
n
＋
1

D．a
n
＋
1
＝b
n
＋
1

a
1
＋a
2n
＋
1
解析 a
n
＋
1
＝≥a
1
a
2n
＋
1
＝b
1< br>b
2n
＋
1
＝b
n
＋
1
.
2
答案 B
11．下表给出一个“直角三角形数阵”：
1
4

11
2
，
4

333
4
，
8
，
16

……
满 足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，
且每一行的公比相等，记第i行第j列的数 为a
ij
(i≥j，i，j∈N*)，则a
83
等于( )



D．1
11238
解析 第1列为
4
，
2
＝
4
，
4
，…，所以第8行第1个数为
4
，又每
18111
一行都成等比数列且公比为
2
，所以a
83＝
4
×
2
×
2
＝
2
.
答案 C
y＋x－1≤0，


12．已知变量x，y满足约束条件
< br>y－3x－1≤0，


y－x＋1≥0，
最大值为( )
A．4 B．2

则z＝2x＋y的

C．1 D．－4
解析 先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．

由图可知，当直线 y＋2x＝0，经过点(1,0)时，z有最大值，此时z
＝2×1＋0＝2.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填
在题中横线上)
1 3.在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于
________．
解析 ∵B＝45°，C＝60°，∴A＝180°－B－C＝75°.
csinB1×si n45°6
∴最短边为b.由正弦定理，得b＝
sinC
＝
sin60°＝
3
.
6
答案
3

b
14．锐角 △ABC中，若B＝2A，则
a
的取值范围是__________．
解析 ∵△ABC为锐角三角形，


∴

π

0 <π－A－B<
2
，
ππ
∴A∈(
6
，
4
)．
bsinB
∴
a
＝
sinA
＝2cosA.
b
∴
a
∈(2，3)．
答案 (2，3)
π
02
，


∴

ππ

6
3
.
π
04
，


15．数列{a
n
}满足a
1
＝3，a< br>n
＋
1
－2a
n
＝0，数列{b
n
}的通项 公式满足
关系式a
n
·b
n
＝(－1)
n
(n∈N
*
)，则b
n
＝________.
解析 ∵a
1
＝3，a
n
＋
1
＝2a
n
，
∴数列{a
n
}为等比数列，且公比q＝2.
∴a
n
＝3·2
n
－
1
.
又a
n
·b
n
＝(－1)
n
.
n
－1
1
∴b
n
＝(－1)
n
·. a
n
＝
3·2
n
－
1
－1
n
答案
3·2
n
－
1
16．不等式ax
2
＋bx ＋c>0的解集为{x|－12
＋1)＋b(x－1)＋c>2 ax的解集为________．


－1＋2＝－
b
，
a
解析 由题意，得

c


－1×2＝
a
，
a<0，
< br>b＝－a，


则

c＝－2a，

a<0.

所求不等式可化为x
2
＋1－(x－1)＋(－2)<2x，
解得0答案 {x|0＜x＜3}
三、解答题(本大题共6个小题，共 70分．解答应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)

3
217．(10分)已知全集U＝R，A＝

x|－
4
x＋x＋1>0
，B＝{x|3x
2
－

4x＋1>0}，求
U< br>(A∩B)．

2
解 A＝{x|3x－4x－4<0}＝
x|－
3

，

2

1

B＝
x|x<
3
，或x>1

.
 

21
A∩B＝

x|－
3
3
，或1
，

21
U
(A∩B)＝{x|x≤－，或≤x≤1，或x≥2}．
33
18．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
B＋C8sin
2
－2cos2A＝7.
2
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值．
解 (1)在△ABC中，有B＋C＝π－A，
由条件可得4[1－cos(B＋C)]－4cos
2
A＋2＝7，
即(2cosA－1)
2
＝0，
1
∴cosA＝
2
.
π
又03
.

b
2
＋c
2
－a
2
11
(2)由cosA＝
2
，得< br>2bc
＝
2
，即(b＋c)
2
－a
2
＝3b c，则3
2
－(3)
2
＝3bc，即bc＝2.


b＋c＝3，

b＝1，

b＝2，
由

解得

或



bc＝2，c＝2，c＝1.


19．(12分) 递增等比数列{a
n
}满足a
2
＋a
3
＋a
4＝28，且a
3
＋2是a
2
和a
4
的等差中项．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若b
n
＝a
n
·log
1

a
n
，求数列{b
n
}的前n项和．
2
解 (1)设等比数列的公比为q(q>1)，
23


a
1
q＋a
1
q＋a
1
q＝28，
则有


32

aq＋aq＝2aq＋2，
11

1



a
1
＝2，
解得

或

1

q＝2，
q＝，


a
1
＝32，
2


(舍去)．
所以a
n
＝2·2
n
－
1
＝2
n
.
(2)b
n
＝a
n
·log
1

a
n
＝－n·2
n
，
2
S
n
＝ －(1·2＋2·2
2
＋3·2
3
＋…＋n·2
n
)， < br>2S
n
＝－(1·2
2
＋2·2
3
＋…＋(n－1) ·2
n
＋n·2
n
＋
1
)．
两式相减，得Sn
＝2＋2
2
＋2
3
＋…＋2
n
－n·2(n－1)·2
n
＋
1
－2.
20．(12分)配制两种药剂 ，需要甲、乙两种原料．已知配A种药
需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B种药需要甲料5毫克、乙料4 毫
克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A，B两种药至少各配一剂，
n
＋
1
21－2
n
＝－n·2
n
＋
1
＝－
1 －2

问A、B两种药最多能各配几剂


y≥1，
解 设A、B两种药分别能配x，y剂，x，y∈N，则

3x＋5y≤20，


5x＋4y≤25，
*
x≥1 ，

作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)， (2,2)，
(3,1)，(3,2)，(4,1)．

所以，在保证A，B两种药至少各配一剂的条件下，A种药最多配
4剂，B种药最多配3剂．
a＋b
21．(12分)在△ABC中，已知
a
＝
＝1－cos2C .
(1)试确定△ABC的形状；
a＋c
(2)求
b
的范围．
a＋b
sinB
解 (1)由
a
＝，
sinB－sinA
a＋b
b
得
a
＝，即b
2
－a
2
＝ab， ①
b－a
sinB
，且cos(A－B)＋cosC
s inB－sinA

又cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，
所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin
2
C.
sinA·sinB＝sin
2
C，则ab＝c
2
. ②
由①②知b
2
－a
2
＝c
2
，即b
2
＝a
2
＋c
2
.所以△ABC为直角三角形．
a＋c
(2)在△ABC中，a＋c>b，即
b
>1.
a＋c又
b
＝
a
2
＋c
2
＋2ac
≤ b
2
2a
2
＋c
2
b
2
＝
a ＋c
2b
2
b
2
＝2，故
b
的取
值范围为 (1，2]．
22．(12分)设{a
n
}是公差不为零的等差数列，S
n
为其前n项和，满
222
足a
2
2
＋a
3
＝a
4
＋a
5
，S
7
＝7.
(1)求数列{a
n
}的通项公式及前n项和S
n
；
a< br>m
a
m
＋
1
(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an
}中的项．
a
m
＋
2
解 (1)由题意，设等差数 列{a
n
}的通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1)d，(d≠0)．
222
由a
2
2
＋a
3
＝a< br>4
＋a
5
，知2a
1
＋5d＝0.①
又因为S
7
＝7，所以a
1
＋3d＝1.②
由①②可得a
1
＝－5，d＝2.
na
1
＋a
n
所以数列{a
n
}的通项公式a
n
＝2n－7，S
n
＝
2
＝n
2
－6n.
a
m
a
m
＋
1
a
m
＋
2
－4a
m
＋
2< br>－2
8
(2)因为＝＝a
m
＋
2
－6＋为数列{a< br>n
}中的
a
m
＋
2
a
m
＋
2
a
m
＋
2
项，故为整数，又由(1)知a
m
＋< br>2
为奇数，所以a
m
＋
2
＝2m－3＝±1，
am
＋
2
即m＝1,2.
a
m
a
m
＋
1
－5×－3
当m＝1时，＝＝－15.
a
m
＋
2
－1
8

显然它不是数列{a
n
}中的项．
a
m
·a
m
＋
1
－3×－1
当m＝2时，＝3
＝1.
a
m
＋
3
它是数列{a
n
}中的项．
因此，符合题意的正整数只有m＝2.