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如水般的小学数学概
念教学

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如水般的小学数学概念教学
——以“面积的认识”一课为例
（管尤跃 云南省教育科学研究院 650223）
在《小学教学（数学版）》2008年第5期“教学如水”一文中我曾提到让
小学数学教学如水流淌一般的自然，只有回归自然的教学才是真正的教学、
本色的教学。小学数学教学中 就应该让数学概念的建构过程与学生的认知过
程水乳交融，如同水与万物之间密切关系般的自然。因为数 学概念是小学数
学学习的重要内容，概念教学是小学数学教学中的关键环节。
一、桃花潭水深千尺
小学数学教学不“小”，每一个内容，无论大小，都有着“桃花潭水深千 尺”
的数学知识背景。“面积的认识”是小学数学中“空间与图形”领域中至关重要的
一个内容 ：其一，它是建立在学生已经掌握了“一维”空间中长度的概念以及
认识了长方形和正方形等平面图形的 特征、认识周长以及会计算长方形、正
方形周长的基础之上的；其二，在小学数学中起到承上启下的作用 ，这是认
识“二维”空间的第一次接触，也是为今后认识“三维”空间做好准备；其三，在
螺旋 上升的认知中能正确区分“周长”与“面积”的含义，也为今后学习“面积”与
“体积”以及利用这些知 识正确地解决实际问题奠定坚实的基础。人民教育家
陶行知先生认为，“教的法子要根据学的法子，学的 法子要根据做的法子。事
怎样做便怎样学，怎样学便怎样教。” 正因为如此，这几个关键性的概念都< br>应该按照陶行知先生提出的“教学做合一”的思想进行教学，这既是教学的总
要求，又是最基本最 一般的教学方法。
基于此，我认为小学生数学概念教学的核心环节就是给学生足够的、充
分的 时间和空间，让学生经历数学概念的形成过程，教学中着重引导学生经
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历观察、操作实践、猜测、判断、归纳、类比、交流等数 学活动，充分体现
出概念本质特征的形成过程，体验概念的“再创造”的过程。
二、水碧山青知好处
在一次教学研究过程中，我们对学生学习“面积的认识”一课进行了前测
和后测，正如刘禹锡的诗句：“水碧山青知好处，开颜一笑问何人”，要弄清
楚教学中的问题最 好就是问学生。现将测试情况介绍如下：
1、在日常生活中，你听说过“面积”这个词语吗？（前测）
A、听说过 B没有听说过
检测情况：93%的学生选A；6%的学 生选B。反映出学生对“面积”的认识在生活
中是有这方面的知识经验的，无论是农村学生还是城市学生 ，从土地面积到住房面积，与
孩子们的实际是有联系的。
2、在你的脑海中，面积指的是什么呢?根据你的理解，写出面积的概念。（前测、后
测） < br>前测情况：10%的学生基本能正确理解“面积”的概念；16%的学生了解到一点
“面积”的内 涵；74%学生几乎对面积没有认识。后测情况：79%的学生能正确理解
“面积”的概念；5%的学生 还不了解面积的概念；16%的学生不能根据自己的理解写出
面积的概念。
3、在生活中，你看到过比较两个物体表面大小的事例吗？简单的说一说。（前测、
后测） < br>前测情况：6%的学生能正确举例；20%的学生举的例子有一点沾边；74%的学生不
会。后测 情况：78%的学生能根据本节课所讲内容举出比较面积的例子；12%的学生举
例出错；10 %的学生没有作答。
4、下面两个图形哪个大？请说明你的理由。（前测）
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A


(A) A >B (B) A =B (C) A检测情况：A(3.4%);B(1.7%) ;C(92%);D(1.7%).没做（1.7%）。“说明理由”一项
60%的学生会用观察法；1 7%的学生用周长比较；23%的学生没做答。
5、下面两个图形哪个大？请说明你的理由。（前测、后测）


A
B
(A) A >B (B) A =B （答案） (C) A前测情况：

B
A(16%);B(1.7%);C(73%);D(10%).没做（3.4%）43%的学生会用观 察法，知道转一下就
一样了；34%的学生用周长比较；23%的学生没做。
后测情况A(4 0%);B(40%);C(23%);D(17%).67%的学生会用观察法，知道转一下就一
样了 ；19%的学生用周长比较；14%的学生没做答。
6、下面两个图形哪个大？（ 是1
（前测、后测）














厘米）请说明你的理由。




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图（A） 图（B）
(A) A >B (B) A =B (C) A前测情况：A(8.3%);B(27%);C(53%);D(6.7%).没做（5%）。35%的学 生会用数方格
或面积公式进行比较；40%的学生利用周长比较；25%的学生不会比较。
后 测情况：A(12%);B(10%);C(76%);D(17%).没做（5%）。81%的学生会用数方格
或面积公式进行比较；10%的学生利用周长比较；9%的学生不会比较。
7、下面两个图形哪个大？你是怎么比较的？请说明你的理由。（前测、后测）





图（A）长5厘米，宽2厘米的长方形 图（B）边长为3厘米的正方形
(A) A >B（答案） (B) A =B (C) A前测情况：A(73%);B(5%);C(10%);D(3%).没做
（8%）。15%的学 生会用数方格或面积公式进行比
较；52%的学生利用周长比较；33%的学生不会比较。
后 测情况：A(86%);B(3.4%);C(6.8%);D(1.7%).没做（1.7%）62%的学生会 用数方格
或面积公式进行比较；31%的学生利用周长比较；7%的学生不会比较。
8、下图 为一张新书桌，现在想在桌面安上一块玻
问要买多大一块玻璃才能刚好覆盖住桌面？你需要测出哪
（前测、后测）
前测情况：22%的学生知到测出长和宽，但只是直觉。还不清楚是要测面积；38 %
的学生说要测出周长；40%的学生不会做。
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璃。请
些量？

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后测情况：59%的学生 知到测出需要测出面积，部分学生说要测出长和宽，部分学生
说利用数方格；12%的学生说要测出周长 ；29%的学生不会做（可能因为时间不够）。
（后测）比较下面三个图形面积的大小？请说明你的理由。




（A）A检测情况：A(17%);B(5.1%);C(19%);D(50% ).没做（8.9%）。55%的学生会用数方
格或观察进行比较，大部分学生用观察的方法；6.9% 的学生利用周长比较；3.8%的学生
不会比较。（注：没做（8.9%）是指没做选择部分的。后面的 剩下约34.3%是没有回答
““理由”的。）
（后测）下面两个图形中的方格大小均相等， 请把图（B）中的方格用线分成两部
分，使其中一部分的面积与图（A）相等。




图（A） 图（B）
检测情况：51%的学生会利用数方格来找到面积相等的部分，并能正确的画出线；
35%的学生虽然有意识利用数方格，但还不能灵活运用； 14%的学生不会做。






























A

B
C



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结合这次实践 研究，仅就这次教学出现的问题反思：课中有学生回答
说，比较两个图形的面的大小，周长越长的图形面 积就越大。自此以后，一
直有学生这样认为，更为重要的问题是一节课后还有很多学生还是这样认
为。教学中本应水到渠成地让学生发现面积大小的比较是需要用统一标准
（面积单位）来度量的，结果 发现一维空间中“周长”的概念对于学生认识二
维空间的“面积”来说具有很强的负迁移作用，在平面图 形中可以直接用工具
（如直尺）来度量的“线”属于强刺激源，而只能通过间接度量的“面”属于弱刺< br>激源，另外长度的学习在前，学生在学习中就会潜意识地受到长度的影响，
总觉得周长越长的图形 的面积就越大似地。
三、风乍起，吹皱一池春水
针对这些情况，我们必须深入思考下面的几个问题：
问题1：学生对面的理解已经具有相当丰 富的直观感知，对“面积”的直观
认识也不乏有其感受，但对“物体的表面或图形的大小就是它们的面积 ”这样
的话学生能理解到什么程度？
问题2：学生已经建立了“一维”空间中长度、周长的 概念，这对学生学习
“二维”空间中面积的概念所具有的负迁移功能如何让其弱化至最小？
问 题3：如何让学生从面积概念的认识和理解过渡到对面积单位的产生
过程？比较两个图形（或物体表面） 的面积大小是不是必经过程？设计此环
节的目的和价值何在？
问题4：为学生提供多样的学具 操作来引导学生思考面积的大小需要统
一的单位来测量这个环节是摆设、作秀，还是别有用心？
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问题5：如何 才能做到让老师结合实际（教学水平、教学艺术、教学特
色）在多种多样的教学设计中选取比较适合于自 己的教学，让教学顺其自
然，水流成河？
韩愈在《答李翊书》中说：“水大而物之浮者大小毕 浮”，教学中的问题
就应该如大海中的水，能让浮者毕浮。面对如此多的质疑或问题，如何应
对 、分析和解决成为教学这部分内容最为关键的问题，今后学习“体积的认
识”的时候同样存在类似的问题 。全国著名特级教师华应龙老师写过一篇文章
“让学习像呼吸一样自然”，我想：学习如此，教学亦如此 ，教学设计的流畅
就应该像呼吸一样的自然，我再想：教学如水，像“冰山上的来客”一路奔流
而来，像山间水库般地静谧，还是像海水奔腾时的汹涌澎湃？
四、问渠那得清如许
教学也是 不怕疑问就怕无疑，朱熹在《观书有感》中有两句诗“问渠哪得
清如许，为有源头活水来”。教学之水， 犹如长江之水，有源头之水才能清如
许，我们不妨从以下几个方面来看：
（一）、关于面积。
仅就面积的概念来看，现行的几套小学数学教材的处理是有差异的，人
教版、新世纪版（北师大 版）、西师版是有结语的，而苏教版和青岛版是没
有结语的。表述方式上也是有区别的。人教版的是：物 体表面或封闭图形的
大小就是它们的面积；北师大版为：物体的表面或封闭图形的大小就是它们
的面积。西师版的是：物体表面或平面图形的大小叫做它们的面积。几个结
语的不同主要表现在“封闭图 形”和“平面图形”、“就是”和“叫做”这几个关键词
方面，当然使用某种教材教学时还得注意需要强 化和突出概念中的哪些内
容。不过要处理好“社会数学”（对面积的生活经验）与“学校数学”（面积概 念
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的理解）之间的关系，也就是指学生对面积的认识是一个渐进的过程，需要
不断地完善与丰富。
（二）、关于测试。
如果仅就上面的测试结果来看，其中反映出来的教学中的问题是不应该< br>出现的，甚至是不可原谅的，但是几次试教都出现这种情况就绝不是偶然，
虽不能说是必然，至少 可以说是自然。此次测试的成功之处在于：深入了解
了学生对认识面积前后的思维状况，暴露出学生思维 深处根深蒂固的认知对
新知学习的干扰，感受到学生认识事物前后不断更新、矫正的过程。测试不
仅仅是一种手段，一种了解学生思考问题的手段，也是一种工具，是诊断教
学的工具。
（三）、关于设计。
仅就此内容，几易其稿，先后完全不一样的教学设计使教学效果也大相< br>径庭，特别是对于面积概念的内涵和外延，学生理解的层次是千差万别的。
如引入环节的设计就分 别从教材主题图、生活中比手掌印、土地测量、图形
比大小等方面尝试过；“比一比，哪个图形面积大” 这个环节的设计最主要是
思考和尝试是否为学生提供学具、提供什么样的学具、如何组织引导学生操作学具；比较图形面积大小的方法（如观察、重叠、测量）有没有必要刻意
为之，是为了比较方法的 多样化还是对学生理解概念真有其用等等。
（四）、关于教学。
实际上，要想让教学如水， 不仅是流水般的自然，还应该成为滋润学生
心田的甘露，就应该让教学在精心的设计之下顺势而行、顺应 而生。结合学
生的认知水平，在前测和后测的基础上，灵活地设计教学，根据教学现实适
时地作 出应对和调整。关键是理清教学思路：
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面积的认识





认识物体的面
物体的面有大有小
封闭图形的大小
面积的含义
面积的含义
比较物体表面的大小
观察
比大小
统一测量标准
重叠
测量
（五）、关于问题。
问题1：对于学生对面的理解已经具有相 当丰富的直观感知，对“物体的
表面或封闭图形（平面图形）的大小就是（叫做）它们的面积”这种描述 性的
语言，学生基本上是能理解的，但是这句话对于学生真正理解“面积”的概念
在突出和强化 其内涵方面是很有价值的，如果不注重处理好操作和理解过程
仅仅一句话是没有多少实际意义的。 问题2：学生已经建立了“一维”空间中长度、周长的概念，尽量弱化其对
学生学习“二维”空间中 面积的概念所具有的负迁移功能使之最小。需要一个
过程，教学如水之流淌需要一个过程，一个兼容、流 失、蒸发、补充的过
程。陶行知先生如是说：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学
生学。”叶圣陶先生也曾指出：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱
导。”要使负迁移功能失效 或低效的最好的方法就是因势利导。根据教学生成
设计一组或者一系列的情境让其辨识，以尽力帮助学习 解决认知冲突的问
题。
问题3：让学生经历从面积概念的认识和理解过渡到对面积单位的产生
过程，就是认真履行概念教学注重“概念形成过程”的要求。在教学中设计“比
较两个或几个图 形（或物体表面）的面积大小”应该是必经过程，设计这个环
节的目的和价值最主要就是体现在：落实教 材安排的 “物体有面——每个面
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都有大小——面的大小是面积——比较面积的大小——多种比较方法 ——统
一的标准”线索；通过比较的过程，让学生在数学活动中得到经验的培养，在
如何选择度 量方式的过程中使大家都体会到方法的多样性。
问题4：为学生提供多样的学具操作来引导学生思考面 积的大小需要统
一的单位来测量这个环节虽不能说是独具匠心，当然不是摆设、作秀，这是
一种 数学思想方法——化归思想的体现，化归思想就是化未知为已知、化繁
为简、化难为易，在此，将所要比 较的图形的面积采取大化小的方法，只是
在实际的教学中学生真的是不可能想到用小长方形、小三角形、 圆形、正方
形来测量，但是学生参与这个探索和研究的过程是很有价值的，“别有用心”
之处在 于让学生体验到测量工具的别样导致测量方法的优劣，感受到不管用
什么工具度量能做到密铺和统一是测 量面积最为有价值的好方法。
问题5：在教学中老师如何设计出结合自身实际（教学水平、教学艺术、教学特色）的教学，如何在多种多样的教学设计中选取比较适合于自己
的教学，让教学顺其自然 ，如水般地渗透到能渗透之地，关键在于“预则立不
预则废”，教学的务实设计、教学目标的制定、教学 方法的选取等因素直接制
约着概念教学的成败，正如华东师范大学张奠宙教授所说：定义很重要，但不是所有的定义都重要，如此看来，教学概念亦如此，遵循学生认知规律的
教学才是适合于自己的教 学。
小学数学中的概念具有下面的特点：准确、简练、严密、抽象、概括性
强。当然不是每个 概念都同时具有这几点，小学数学“空间与图形”领域中的
几个的概念值得我们去深入研究，如线段、射 线和直线；长度的认识；体积
和容积等，一线教师最大的困惑就在于：面对这些生活中就自然形成的描述
性的概念，要讲清楚非常困难（甚至自己也不清楚），也把握不好应该讲到
什么程度。
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五、水光潋滟晴方好
“教学如水，水是由氢和氧两种元素组成的，教学是由教和学两个方面有
机结合而成的。”“教学如水，水是自然界中一种极普通、极常见的物质，无
形无色也无味。水 的性质如此，教学的性质亦如此。因其无形，才可以无孔
不如地滋润学生的心田；因其无色，才可以了无 痕迹地洗净眼中的灰尘；因
其无味，才会不知不觉地渗透相对苍白的灵魂。”小学数学概念教学亦如水，
在动与静之间寻找位置。教学中建议采取这样的教学策略：

情境实例
抽象
概括
下定义(释义)
讲性质
概念 鉴别巩固 应用

从具体的情境引入概念，通过一系列的实践活动，使外部的操作活动与
内部的智力活 动紧密结合，逐步概括、抽象、内化，形成数学概念，引导学
生在经历数学概念的形成过程中不但要充分 了解它的内涵和外延，也要让学
生在此基础之上灵活掌握并熟练运用，学生的数学活动经验得到加强，还 应
该使学生在此过程中感受到数学知识之间联系性，在数学思考方面得到发
展。
“水 光潋滟晴方好，山色空蒙雨亦奇。”让小学数学教学概念教学在水
光山色中显其本色。荀子语：“源清则 流清，源浊则流浊”，我想，概念教
学的思路清楚了，就一定会如水一般自然的流淌。



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