我是谁为了谁依靠谁-人教版四年级上册数学教案

5．7 用二元一次方程组确定一次函数表达式

1．能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．(难点)



一、情境导入
在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之 间近似满足一次函数关
系．下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：
蟋蟀所叫次
数
温度(℃)
…
…
84
15
98
17
119
20
…
…
(1)你能根据表中数据确定该一次函数的关系式吗？
(2)如果蟋蟀1分钟叫了63次，那么该地当时的温度约为多少摄氏度？

二、合作探究
探究点一：利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
已知直线l
1
经过点A(0，3)及点B(3，0)，l
2
经过点M(1，2)及点N( －2，－3)．求
l
1
、l
2
的交点坐标．
解析：先用待定系数法确定l
1
、l
2
的表达式，再列方程组求解．
0＋b
1
＝3，

k
1
·

b< br>1
＝3，

解：设直线l
1
的方程为y＝k
1
x＋b
1
，则解得



3k
1
＋b< br>1
＝0，

k
1
＝－1.
故有l
1
：y＝－x＋3，即x＋y＝3.①
设直线l
2
的方程为y＝k
2
x＋b
5
2
，则


k
2
＝
3
，

k
2
＋b
2
＝2，

解得< br>

1

－2k
2
＋b
2
＝－3.


b
2
＝
3
.
1

51
故有l
2
：y＝
3
x＋
3
，即 5x－3y＋1＝0.②

x＋y＝3，

x＝1，
由①②得方程 组

解得



5x－3y＝－1.

y ＝2.
故直线l
1
、l
2
的交点坐标是(1，2)．
方法 总结：先用待定系数法求出两条直线的表达式，再把它们组成二元一次方程组求
解．也可以用图象法解题 ，但代数法要比图象法解题准确．

探究点二：利用二元一次方程组与一次函数解决实际问题
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行，假
设他们都保 持匀速行驶，则他们各自与A地的距离s(千米)都是时间t(时)的一次函数，已
知1小时后乙距离A 地80千米，2小时后甲距离A地30千米．问甲、乙两人出发后多
长时间相遇．
解析：甲、 乙两人相遇时，他们与A地距离相等，结合函数图象经过点坐标(0，0)，
(2，30)，(0，10 0)，(1，80)分别运用待定系数法确定甲、乙的函数表达式．根据函数表
达式，构造方程组求解， 可得出交点坐标，即是两人出发的相遇时间．
解：根据题意画图，如图．设乙的函数表达式为s＝kt ＋b.把t＝0时，s＝100；t＝1

b＝100，
时，s＝80代入s＝kt＋ b，联立方程组解得

所以s＝－20t＋100.

k＝－20.
设甲的函数表达式为s＝mt.
把t＝2时，s＝30代入s＝mt，得m＝15，所以s＝15t.
20

t＝

7
，

s＝15t，
联立这两个函数表达式，得< br>
解得


300

s＝－20t＋100，
s＝
7
.

20

因此甲、乙两人出发
7
小时后相遇．

方法总结：利用二元一次方程(组)与一次函数图象的联系解决实际问题， 如果确定交
点坐标，那么常用两个函数表达式构造方程组求解．

探究点三：利用二元一次方程组和一次函数解决几何问题
在平面直角坐标系中，直线l1
经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l
2
经过原点，且
与直线l
1
交于点(－2，a)．
2

(1)试求a的值；
(2)试问(－2，a)可看成是怎样的二元一次方程组的解？
(3)设交点坐标为P，直线 l
1
与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看．

解析：(1 )利用待定系数法先求出直线l
1
的关系式，因为点(－2，a)为l
1
和l
2
的交点，

x＝－2，
所以把

代入直线l1
的关系式，可求出a；
y＝a

(2)要想知道(－2，a)是怎样 的二元一次方程组的解，已知(－2，a)是直线l
1
和直线l
2
的交点坐标 ，故需求出直线l
2
的关系式；
(3)在直角坐标系内画出直线l
1
的图象，利用三角形面积计算公式，进一步求出△APO
面积．
解：(1)设直线l
1
对应的函数关系式为y＝k
1
x＋b. 
2k
1
＋b＝3，

k
1
＝2，

由题意，得解得

故直线l
1
对应的函数关系式为y＝2x－1.< br>
－k
1
＋b＝－3，

b＝－1.

x＝ －2，
又因为点(－2，a)是直线l
1
和直线l
2
的交点，所以把

代入y＝2x－1，得a＝2×(－

y＝a
2)－1＝－5.
(2)设直线l
2
对应的函数关系式为y＝k
2
x(因为直线l2
过原点)．因为(－2，－5)是直线

x＝－2，
5
l1
和直线l
2
的交点，故把

代入y＝k
2
x ，解得k
2
＝
2
.

y＝－5
5
故直线 l
2
对应的函数关系式为y＝
2
x.

5x－2y＝0，
故(－2，－5)可看成是二元一次方程组

的解．

2x－y＝ 1
1
(3)在平面直角坐标系内画出直线l
1
，l
2
的图象 如图，可知点A(0，－1)，故S
△APO
＝
2
×1×2＝1.
方法总结：此题在待定系数法的应用上有所创新，并且把一次函数的图象和三角形面
积巧妙地结合起，既 考查了基本知识，又不局限于基本知识．三、板书设计
利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤：


三、板书设计
利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤：
3

1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：y＝kx＋b(k≠0)；
2．将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
3．解这个二元一次方程组得k，b的值，进而得到一次函数的表达式．


通过教学，进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相
互转化．通过对本 节课的探究，培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力．


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