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小学数学奥数基础教程(五年级)


本教程共30讲
质数与合数
自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：
第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。
第二类：只能被两个不同的 自然数整除的自然数。因为任何自然数都
能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能 被1和它
本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，„
第三类： 能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是
大于1，除了能被1和它本身整除外，还能被 其它一些自然数整除。这类
自然数叫合数。例如，4，6，8，9，15，„
上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是
合数。
例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？
分析与解：先把前100个自然数写出来，得下表：

1既不是质数也不是合数。

2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去；
3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去；
类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去；
把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。

经过以上的筛选，划去的都是合数， 余下26个数，除1外，剩下的
25个都是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，
43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
这些质数同学们应当熟记！
细心的同学可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什么不继续划去< br>11，13，„的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，
100以内11的 倍数应该是
11×A≤100（其中A为整数），

显然，A只能取2， 3，4，5，6，7，8，9。因为4=2
2
，6=2×3，8=23，
9=3
2
，所以A必是2，3，5，7之一的倍数。由此推知，11的倍数已全部
包含在2，3，5 ，7的倍数中，已在前面划去了。
要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小 到大
的自然数2，3，4，5，6，7，8，„，N-1去除N，其中只要有一个自然
数能整除 N，N就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。
能不能使试除的数少一点呢？由例1知 ，只要用从小到大的质数去除N
就可以了。例2给出的判别方法，可以使试除的数进一步减少。
例2 判断269，437两个数是合数还是质数。
分析与解：对于一个不太大的数 N，要判断它是质数还是合数，可以
先找出一个大于N且最接近N的平方数K
2
，再写 出K以内的所有质数。如
果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除
N，那么N是合数。
因为269＜17
2
=289。17以内质数有2，3， 5，7，11，13。根据能被
某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；2 +6+9=17，
所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除
26 9，所以269是质数。
因为437＜21
2
=441。21以内的质数有2， 3，5，7，11，13，17，19。
容易判断437不能被2，3，5，7，11整除，用13，1 7，19试除437，得
到437÷19=23，所以437是合数。

对 比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越
性。判别269，用2～268中所有的 数试除，要除267个数；用2～268中
的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数 。
例3 判断数11是质数还是合数？
分析与解：按照例2的方法判别这个13位 数是质数还是合数，当然
是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能
够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。
根据整数的意义，这个13位数可以写成：
11
=00+1111111
=1111111×（1000000+1）
=1111111×1000001。
由上式知，111111和1000001都能整除11，所以
11是合数。
这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。
例4 判定2
98
+1和2
98
+3是质数还是合数？
分析与解：这 道题要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。
我们在四年级学过a
n
的个位数 的变化规律，以及a
n
除以某自然数的余数
的变化规律。2
n
的个位 数随着n的从小到大，按照2，4，8，6每4个一
组循环出现，98÷4=24„„2，所以2
98
的个位数是4，（2
98
+1）的个位数
是5，能被5整除，说明（2
98
+1）是合数。
（2
98
+3）是奇数，不能被2整除； 2
98
不能被3整除，所以（2
98
+3）
也不能被3整除；（2< br>98
+1）能被5整除，（2
98
+3）比（2
98
+1）大 2，所以
（2
98
+3）不能被5整除。再判断（2
98
+3）能否 被7整除。首先看看2
n
÷7
的余数的变化规律：

因为98 ÷3的余数是2，从上表可知2
98
除以7的余数是4，（2
98
+3）除以7的余数是4+3=7，7能被7整除，即（2
98
+3）能被7整除，所以（298
+3）
是合数。

例5 已知A是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A。
分析与解：从最小的质数开始试算。
A=2时，A+10=12，12是合数不是质数，所以A≠2。
A=3时，A+10=13，是质数；A+14=17也是质数，所以A等于3是所求
的质数。
A除了等于3外，还可以是别的质数吗？因为质数有无穷多个，所以
不可能一一去试，必须 采用其它方法。
A，（A+1），（A+2）除以3的余数各不相同，而（A+1）与（A+10 ）
除以3的余数相同，（A+2）与（A+14）除以3的余数相同，所以A，（A+10），
（A+14）除以3的余数各不相同。因为任何自然数除以3只有整除、余1、
余2三种情况，所以在A ，（A+10），（A+14）中必有一个能被3整除。
能被3整除的质数只有3，因为（A+10）， （A+14）都大于3，所以A=3。
也就是说，本题唯一的解是A=3。

练习10
1.现有1，3，5，7四个数字。
（1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？
（2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？
2.a，b，c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。
3.A是一个质数 ，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数。试求出所
有满足要求的质数A。

5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数。
6.判断2
66
+3
88
是不是质数。

7.把一个 一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边，得到一个
三位数，这个三位数是a的87倍，求a和b 。
练习10

1.（1）11，13，17，31，37，53，71，73；
（2）137，173，317，157，571，751。
2.17，5，3。
提示：c小于9，否则a×b+c＞88。对c=2，3，5，7四种情况逐一
试算。
3.5。
提示：与例5类似。A+6，A+8，A+12，A+14分别与A+1，A+3，A+2，A+4除以5的余数相同。因为自然数除以5只有整除、余1、余2、
余3、余4五种情况 ，原来的四个数都是大于5的质数，不应被5整除，
只能是余1、余2、余3、余4，所以A=5。
4.2，7，13。

5.在高斯求和公式“和=（首项+末项）× 项数÷2”中，因为“项数”
＞2，所以“首项+末项”＞2。因为“和”是整数，所以“首项+末项”
与“项数”中必有一个能被2整除，且商不等于1。这就把“和”分解成
了两个大于1的整数的 乘积，说明“和”是合数。
6.不是。
提示：2
66
的个位数是 4，3
88
的个位数是1，（2
66
+3
88
）的个位数是 5，
能被5整除。
7.5和43。
解：由题意有，10b+a=87a，
10b=86a，
5b=43a。
因为5与43都是质数，所以a=5，b=43。