寒假记事-中考物理压轴题

五年级数学拔尖提优训练（四）
1、某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数 不低于90分的人数占
的人数占
1
，得80～89分
7
1
1
，得70～79分得人数占，那么得70分以下的有________人。
2
311
1
解：有、、，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3 ]＝42
72
3
的倍数；
又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。
从而70分以下的有：42×

1


111



＝1人。
723

2、三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数 的乘积却能被第
三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？
4、解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5）
和的最小值为31。

3、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？
解：A-B =（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为
4 61。
4、有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质 数．那
么，这样的三个质数可以是 、 、 ．
【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意
1994+a+b+C=a·b·c．
取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数；
取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=
501
不是整数；
5
取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59．
故5、7、59是满足题意的三个质数．
2
2
5、在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：
①各数位上的数字之和等于43；
②能被11整除。
因为能被11整除的五位数很 多，而各数位上的数字之和等于43的五
位数较少，所以应选择①为突破口。有两种情况：
（1）五位数由一个7和四个9组成；
（2）五位数由两个8和三个9组成。

上面两种情况中的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根
据 被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是
16，那么差是11，就能被1 1整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979，
98989。
6、 下面 一个1983位数
33...3

44...4

中间漏写了一个数 字(方框),已知这个多位
991个991个
数被7整除，那么中间方框内的数字是_____ .
33…3□44…4

991个 991个
=33… 3

10
993
+3□4

10
990
+ 44…4

990个 990个
因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要
990个 990个

3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.

判断一个数能否被27或37整除的方法：
对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节 将其分成若干节，
然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个
数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。
判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：
为了叙述方便，将个位是9的数记为 k9（= 10k+9），其中k为自然
数。
对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数 后，再加上个位数的（k+1）
倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被 k9
整除；否则，这个数就不能被k9整除。

7、判断下列各数能否被27或37整除：
（1）2673135；（2）8990615496。
解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。
因为810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能
被37整除。
（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。

2，109大于三位数，可以再对2，109的各节求和，2+109=111。
因为111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不
能被27整除 ，进一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。
由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节
求和。
8、 （1）判断18937能否被29整除；
（2）判断296416与37289能否被59整除。
解：（1）上述变换可以表示为：




由此可知，296416能被59整除，372 89不能被59整除。一般地，每
进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到 小
于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。
9、
将4个不同的数字排在一起 ，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四
位数按从小到大的顺序排列的 话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4
整除的偶数；按从小到大排列的第五个 与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位
数中最大的一个。

【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d
那么从小到大的第5个就是dacb,它是 5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;
从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2
从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d +4；
因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么ab dc的末2位是
24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3
所以这24个四位数中最大的一个是7543。

10、一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的47 ，女同学的

人数超过总数的25 。问男女生各多少人？

【解】：男生超过总数的47就是说女生少个总数的37，这样女生的范围在25～37之间 ，
同理可得男生在47～35之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在2870～3070之间，< br>所以只能是29人，这样男生为41人。

11、某住宅区有12家住户，他们的门牌 号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连
续的六位自然数，并且每家的电话号码都能 被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数
字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能 被13整除，问：这一家的电话号码是
什么数？

【解】：
设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12
根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,…,12)因此x是1，2，….12的公倍数
[1,2,…..12]=27720
所以x=27720m
27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4
所以4m+9是13的倍数m=1,14,27….
第一家电话号码是27720m+1 m取14合适；
因此第一家电话号码是27720*14+1=388081
[拓展]：写 出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数„第11个是
12的倍数？

12、有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数， 2号说：
“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，„„，依次下去，每位同学都说，这个
数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都
对 ，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1
号写的数是 五位数，请求出这个数。（写出解题过程）

【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4， 5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的
不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就 与“只有编号相邻的两位同学说的不对”
不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。
其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同
学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数
由于上述十二个数的最小公倍数是60060
因为60060是一个五位数，而十二个数的其 他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就
是60060。