滁洲学院-瑞士国际酒店管理大学

2013年大学物理B（上）期中考试试卷
适用专业 测绘学院2012级各专业
考试时长：90分钟
专业 班号 学号 姓名

1、（本题15分）一质量为m的质点在O- xy平面上运动，其位置矢量为


r

a
cos

ti

b
sin

tj
(SI)
式中a、b、

是正值常量，且a
＞
b． 试求：
（2）当质点从A点运动到B点的过程中，合外力所做的功；
（3）质点在任一时刻对于坐标原点的角动量。

（1）质点在任意时刻的速率v
，以及在A点(a，0)时和B点(0，
b
)时的速度
v
A< br>和
v
B
；

2、（本题15分）已知一质量为m的质点在 x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的
作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即fkx
，k是比例常数．设
质点在
xx
0
时的速率为v
0
，且向
x
轴正方向运动，（
x
0
、
v
0
均大于零）。试求
（1）质点能到达的最远位置坐标
x
max
；
（2）当质点在该 引力的作用下，由
x
0
处运动到
x
0
2
处时引力做 的功；
（3）若以
x
0
处为该引力场的零势能点，求质点在
x0
2
处的引力势能。

3、（本题15分）发射地球同步卫星时，先要 让卫星在
一个大的椭圆形转移轨道上运动若干圈，如图所示。
设卫星质量
m500k g
，椭圆轨道近地点的高度为
同步轨道
远
地
点
转移轨道
2
h
1

1400 km
，远地点的高度（也就是同步轨道的高
度）
h
2

36 000 km
。当卫星在转移轨道上运动到远
地点时再利用火箭推力使之进入同步轨道。已知： 地
球赤道半径
R6378 km
，地球质量
近地点
（结果保留3 位
M
5.98
10
24
kg，万有引力常量G

6.67

10

11
N

m
2

kg

2
。试求：
有效数字）
（1）以无限远处为引力势能的零势能点，求卫星在同步轨道上运动时的机械能。
（2）卫星 在转移轨道上运动时，它在近地点的速率
v
1
和远地点的速率
v
2< br>。

4．（本题12分）质量为
m
1
和
m2
的两物体A、B分别悬挂在
如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为
R和
r
，转动惯
量为别为
I
1
和
I
2< br>，轮轴上的摩擦可以忽略不计，轮与绳之间
没有相对滑动，轻绳不可伸长。试求两物体的加速度和 绳的张
力。

5. （13分）一个摆锤由一根长为
l
质量为m

的匀质细棒和
一个质量也为
m

的锤B固定铆接组 成，该摆锤能够在竖直
平面内绕O点无摩擦地转动，如图所示。质量为
m
的弹丸
A穿过摆锤后速率由
v
减小到
v2
。如果摆锤能在竖直平面
A
作一个完整的圆周运动，试求弹丸的最小速率
v
。

6、（本题1 5分）在光滑的水平桌面上有一个弹簧振子，振子质量
m100g
，弹簧的
劲度系数
k10Nm
，振幅为10cm。当
t0
时，位移为
x
0

5.0
cm，且向X轴正
方向运动。试求：
(1) 振子的振动表达式；
(2)
t1.0
s时，振子的动能及系统的总能量。

7、（本题15分）已知某平面简谐波沿X轴负向传
播，波速
u3.0< br>ms，周期
T2.0
。
t0 s
时刻
的波形如右图所示。试求：
（1）此波的波动表达式。
（2）P点的位置坐标
x
P
。



O
B
m
2

R

r

m
1

A
m

l

v
B

v2
y


10
2
m

32

O
•

P
x
m
1.0

2013年大学物理B（上）期中考试试卷及答案
适用专业 测绘学院2012级各专业
考试时长：90分钟
专业 班号 学号 姓名

1、（本题15分）一质量为m的质点在O-xy平面上运动，其位置矢量为 < br>

r

a
cos

ti
b
sin

tj
(SI)
式中a、b、

是正值常量，且a
＞
b． 试求：
（2）当质点从A点运动到B点的过程中，合外力所做的功；
（3）质点在任一时刻对于坐标原点的角动量。
1解：（本题15分）
（1）质点 在任意时刻的速率
v
，以及在A点(a，0)时和B点(0，
b
)时的速度< br>v
A
和
v
B
；



（1）因为
r

acos

ti

b
sin

tj
(SI)



dr
所以
v

a

sin

t i

b

cos

t j
（ms） 2分
dt

v

2
v
x< br>2

v
y


a

sin

t

2


b

cos
< br>t


（ms） 1分
2
在A点(a，0) ，
cos

t1
，
sin

t0




v
A
b

j
2分
在B点(0，b) ，
cos

t0
，
sin

t1




v
B
a

i
2分
（2） 由质点的动能定理，合外力的功为：

AE
KB
E
KA



1
2
1
2
mv
B
mv
A

22
1
22
1
22
ma

mb

4分
22


（3）
L

r

mv
2分




acos

tibsin< br>
tj

m


a

sin
t

i

b

cos

t

j




mab

k
2分

2、（本题15分）已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力 的
作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即
fkx
，k是比例常数 ．设
质点在
xx
0
时的速率为
v
0
，且向
x
轴正方向运动，（
x
0
、
v
0
均大于零）。试 求
2

（1）质点能到达的最远位置坐标
x
max
；
（2）当质点在该引力的作用下，由
x
0
处运动到
x
02
处时引力做的功；
（3）若以
x
0
处为该引力场的零势能点 ，求质点在
x
0
2
处的引力势能。
dvdvk
mv
2
2分
dtdx
x
x
max
0
1mv
得：


2
dx


dv
2分
k
x
x
0
v
0
解：（1）由
fm
2kx
0
2分
2
2k

mx
0
v
0
k
（2） 因为
dA

f

dx

2
dx
3分
x
x
0
2
kk
所以 A


dA



2
dx

2分
x
0
x
x
0
解此方程得：
x
max

（3）由保守力做功=势能的减少量，可得

A

E
P

x
0


E
P

x
0
2


k
2分
x
0
其中
E
P

x
0
< br>和
E
P

x
0
2

分别是质点在< br>x
0
处和
x
0
2
处的引力势能，由题意，令
E
P

x
0

=0，得：

E
P

x
0
2

A
< br>3、（15分）发射地球同步卫星时，先要让卫星在一个
大的椭圆形转移轨道上运动若干圈，如图 所示。设卫
星质量
m
500kg，椭圆轨道近地点的高度为
远地点的高度（ 也就是同步轨道的高度）
h
1

1400km，
远
地
点
转移轨道
近地点
同步轨道
k
2分
x
0
h
2

36 000 km
。当卫星在 转移轨道上运动到远地点
时再利用火箭推力使之进入同步轨道。已知：地球赤
道半径
R 6378 km
，地球质量
M
5.98
10
24
kg ，万有引力常量
G

6.67

10

11
N

m
2

kg

2
。试求：（结果保 留3位有效数字）
（1）以无限远处为引力势能的零势能点，求卫星在同步轨道上运动时的机械能。

（2）卫星在转移轨道上运动时，它在近地点的速率
v
1
和远 地点的速率
v
2
。
解：（1）设卫星在同步轨道上运动时的速率为
v
t
，则
v
t
2
M
2
v

G

G

2分

m
t
2
R

h
2
R

h
2

R

h
2

1
2
Mm
所以机械能 ：
E

E
K

E
P

mv< br>t

G
3分
2R

h
2
GMm
2.3510
9
J
2分


2R

h
2
mM
（2）卫星在转移轨道上运动 时满足角动量守恒和机械能守恒，所以有

mv
1

Rh
1

mv
2

Rh
2
2分
1Mm1Mm
2
mv
1
2

G

mv
2
G
2分
2R

h
12R

h
2
解此方程得：
v
1


v
2


4．（本题12分）质量为
m
1
和
m
2
的两物体A、B分别悬挂在如图
所示的组合轮两端。设两轮的半径分别 为
R
和
r
，转动惯量为别
为
I
1
和
I
2
，轮轴上的摩擦可以忽略不计，轮与绳之间没有相对滑
动，轻绳不可伸长。试求 两物体的加速度和绳的张力。
解：两物体和组合轮的受力如图所示，由牛顿运动定律和转动定
律,可得：

m
1
gT
1
m
1
a
1
1分
B
m
2

GM
GM
R

h
2


6.58

10
3
ms
2分

2 R

h
1

h
2

R

h
1

R

h
1

1.21

10
3
ms
2分

2R

h< br>1

h
2

R

h
2

R

r

m
1

A
N

T
2
m
2
gm
2
a
2
1分
T
1
RT
2
r

I
1
I
2


2分
R

r

a
1
R

2分
T
2

B
m
2

P

T
1

m
1

A
m
1
g

m
2
g

a
2
r

2分
求解上述方程组，可得
m
1
R

m
2
r
gR
1分
22
I
1

I
2

m
1< br>R

m
2
r
m
1
R

m< br>2
r
a
2

gr
1分
I
1

I
2

m
1
R
2

m
2
r
2
a
1

I
1

I
2

m
2
r
2

m
2
Rr
T
1

m
1
g
1分
22
I
1

I
2

m
1< br>R

m
2
r
I
1

I
2< br>
m
1
R
2

m
1
Rr
T
2

m
2
g
1分
I
1

I
2

m
1
R
2

m
2
r
2
5. （13分）一个摆锤由一根长为
l
质量为< br>m

的匀质细棒
和一个质量也为
m

的锤B固定铆接 组成，该摆锤能够在
竖直平面内绕O点无摩擦地转动，如图所示。质量为
m
的
弹丸A穿过摆锤后速率由
v
减小到
v2
。如果摆锤能在竖
A
直平面作一个完整的圆周运动，试求弹丸的最小速率
v
。
解：摆锤对O轴的转动惯量为：

II
杆
I
锤

O
m

l

v
B

v2
14m

l
2
m

l
2
m

l
2
3分
33
以弹丸和摆锤作为一个系统，弹丸A在穿过锤B的瞬间，系统的角动量守恒，即

mvlm
v
l

I

0
4分
2
在摆锤上摆到最高点的过程中，假设角速度恰好为0，由机械能守恒，得

1
2
137
I

0
m

gl m

glm

g

2l

m

gl
4分
2222
4m

2gl
2分
m
由此可解的，弹丸的最小速度为

v


6、（本题15分）在光滑的水平桌面上有一个弹簧振子，振子质量< br>m100g
，弹簧的

劲度系数
k10Nm
，振幅为 10cm。当
t0
时，位移为
x
0

5.0
c m，且向X轴正
方向运动。试求：
(1) 振子的振动表达式；
(2)
t1.0
s时，振子的动能及系统的总能量。

解（1）由题意知，
A0.10 m


km100.1010rads
2分
又
t0
时
x
0
A
cos


0.05 m
1分

v
0
A

sin


0
1分
由此得

4

3
2分
所以振动方程为
x0.10cos

10t4

3

m
2分
（2）因为物体的振动速度为

vdxdt1.0sin

10t4
< br>3

ms
2分 1
2
1
mv
0.1

sin
2

10

4

3


4.99
< br>10
2
J
2分
22
11
222
总能量
EKA
10

0.1

5.0

10 J
3分
22
动能
E
K

注：因振动方程错误，导致动能求错时，若没有新的错误不扣分。

7、（本题15分）已知某平面简谐波沿X轴负向传播，
波速
u3.0< br>ms，周期
T2.0
。
t0 s
时刻的波形如
右图所示。 试求：（1）此波的波动表达式。（2）P点的
位置坐标
x
P
。
解：（1）由图可知，
A
1.0

10 m
，在坐标原点
x0
2
y


10
2
m

32

O
•

P
x
m
处，
t0 s
时刻
1.0


y

0,0

Acos

0
3A2
1分

v

0,0

A

sin

0

0
1分
由此可得

0


6
2分

所以波动表达式为：

y

x, t


Acos



2

< br>T

2


x

2分
t



0



u


cos



t

x3


6

m
2分

1.0

10
（2）由波形图可作出O点和P点在
t0 s
时刻的旋转矢量图，如图所示 2分
又P点振动相位超前，O点落后，即


又

uT6.0 ms
1分
所以
x
P
5

65.0 m
1分
另解：由波形图及波动表达式可知

P


O
2

x
P

5

3分
3
y

x
P
,0

1.010 cos


x
p
3

6

0
2分

2

A
P


A
O

y

v

x
P
,0

1.010

2

sin


x
p
3

6

0
2分
所以

x
p
3

63

2
2分
即
x5.0 m
1分

6、（本题20分）在光滑的水平桌面上有 一个弹簧振子，振子质量
m100g
，弹
簧的劲度系数
k10Nm
，振幅为10cm。当
t0
时，位移为
5.0
cm，且向X轴正
方向运动。试求：(1) 振子的振动表达式；(2)
t1.0
s时，振子的动能及系统 的总能
量；(3)振子由起始位置到第二次到达平衡位置（
x0
）时所需的时间。
解（1）由题意知，
A0.10 m


km100.1010rads
2分
又
t0
时
x
0
A
cos


0.05 m


v
0
A

sin


0

由此得

2

3
3分
所以振动方程为
x0.10cos

10t2

3

m
2分
（2）因为物体的振动速度为

vdxdt1.0sin

10t2
< br>3

ms
2分 1
2
1
mv
0.1

sin
2

10

2

3


2.25
< br>10
2
J
2分
22
11
222
总能量
EKA
10

0.1

5.0

10 J
3分
22
动能
E
K

注：因振动方程错误，导致动能求错时，若没有新的错误不扣分。 < br>（3）当振子由起始位置到第二次到达x=0处时，对应的旋


A
转 矢量由
A
0
转到了
2
处，如图所示 2分
所以：

t
10
t
即
t



A
0


A
2

11

2分
6
x

11

s
0.576 s
2分
60