渔翁对韵-高考数学

北 京 交 通 大 学
2007 -2008 学年第二学期《微积分》期中考试试卷
（考试时间120分钟）
班 级 姓 名 学 号

题号
得分
满分
一



30

二

12
三

8
四

8
五

14
六

10
七

8
八

10
总分

100
一、填空题（每空3分，共30分）
1．
设
z2xyf
< br>xy

,
且当
y1
时，
zx
2
3
，则
f

x


x
2
1
。
2．
设
zy
2
f

x
2
y
2

，其中
f

u

可微， 则
y
3．
设
uxy
z
，则
du

1,1,2


dx2dy
。
zz
x
2xy
。
xy

x

4．
设
zz

x,y

由
x
2
y
2
z
2
yf

所确定，其中
f
为可微函数，则

y


x

x

x

f

f
'

2y
yy

y

z


。
2z
y
5．
2x
2
y3z
2
15
在点

1,1,2

处的切平面方程是
4xy12z290
。
6．
函数
uxycosz
，则在点
M

2 ,1,0

处的
div

gradu


2 。


2
Ax,y,zx5

y3y z,5x3

xz2,2

xy4z
7．
设有向量 场




，且
A
的旋度

rotA0
，则


1 。
8．
若交换积分次序，则
A
1


dy< br>
0
132y
y
f

x,y

d x

dx

0
1x
2
0
f
< br>x,y

dy

dx

1
3
1< br>
3x

2
0
f

x,y
dy
。
x
2
y
2
22
23x4yds 
14a
。
1
，其周长为
a
，则

9 ．
设
c
为封闭曲线



c
43
222
10. 设
dz2xy3xdxx3ydy
，则
z
x
2
yx
3
y
3
C
。

二、(每题6分，共12分 )
zz
2
z
1. 设
zf

xlny,x y

,f
具有二阶连续偏导数，求
,,.

xyx y
2
zzx
f
1
'
lnyf
2
'
,f
1
'
2yf
2
'
,
xyy< br>

x

f
1
'

2
z
x

lny

f
11
f
122yf
22
解：

2y


f
21
xyyyy




1
'
xl ny


x

f
1
f
11


2ylny

f
12
2yf
22
.
yyy

2y
2．设函数
uf

x,y,z

，其中
ysinx
，
zz

x

由 隐函数
x,e,z0
所确定，函

数
f
和

都具有一阶连续偏导数，
解：
du
0
，求
.

z
dx
dudz
''y'
dz
f
1
'
f
2
'
cosxf
3
'
0
，即 ， 而

1
2x
2
ecosx
3
dxdxd x
''y'
2x
1
e
y
cosx
'
2
dzdu
'''
2x
1
ecosx
2
，所 以。
f
1
f
2
cosxf
3
''dx
3
dx
3

三、（8分）
设曲面
2x
2
3y
2
z
2
6,n
是曲面上点
P

1,1,1

处指向外侧的法线向量，求
（1）该点处的法线方程。
6x
2
8y
2

（2）函数
u
在
P
点处沿着
n
方向的方向导数和方向导数 的最大值。
z
解：（1）曲面在其任一点

x,y,z

处的法线向量可取为

2x,3y,z

，故
n
可取为
2,3,1

，
所以法线方程为

x1y1z 1

。
231
（2）向量
n
的方向余弦

cos

,cos

,cos





31

2
,,

，而

141414

6x
2
8y
2

uuu


6x18y

1

，所以
,,

,,



2
2222
z

xyz



z
6x8y
z
6x8y

A
2

uuuu628 3111
cos

cos

cos

 14
。
n
P
xyz
1414141414
7< br>
6

8

方向导数最大值为


14

14

14

22

2
2
37
。
7
z
2
四。 （8分）
在曲面
xy1
的位于第一卦限的部分上求一点，使该点处的切平面4
22
在三个坐标轴上的截距的平方和最小。
解：该曲面在
< br>x,y,z

处的切平面方程为
xXyY
z
Z1
，所以在坐标轴上的截距分别
4

2
114
1116z
2

2
为
,,
。令
F

x,y,z,



2

2

2



xy1

，解
xyz
xyz4


F

x


F


y< br>

F

z


F




2
2

x0
3
x
2

3
2

y0
y

11

得到

x,y,z



,,2

。
32

z

22


3
0
z2
z
2
22
xy10
4
< br>1。
I
2222
，其中
D:xy2,xy2x
。
xdxdy

五、计算下列积分
（共14分，每小题7分）
D< br>22


xy2,
解：两圆周的交点坐标为：

2
，即

1,1

,

1,1

。利用极坐标：
2


xy2x

I

4

cos

d



4
2cos

2
r
2
dr
2



4
cos

8cos
3

22d
< br>3
0

16
4
1

1cos4

12cos2



3

0
4

2

44


2332

< br>422

d



32


2222
2。设球体
xyzR
内任一点

x,y,z

处的密度



xyz

，计算该球体< br>2
的质量。
解：
M


xyz


2
dV


x
2
y
2
z
2

dV2


xyyz zx

dV


A
3

而由 对称性，


xyyzzx

dV0
，所以 < br>
22
4
M


xyz

dV

sin

d


d



4
d



R
5
。
000
5

2

2

R
六、(10分 )设二元函数
P

x,y

在
xOy
平面上具有连 续的一阶偏导数，曲线积
分

P

x,y

dx 2xydy
与路径无关，又对任意实数
t
，恒有
c

< br>求函数
P

x,y

.


t,1

0,0

P

x,y

dx2xyd y


1,t


0,0

P

x,y

dx2xydy.

解：由曲线积分与路径无关得：< br>
t,1

t
P
2y
，所以
P

x,y

y
2



x
< br>。又由
y
tt

1


x



dxt

0


x
< br>dx
，


0,0

P

x,y

dx2xydy

0
P

x,1

dx

0




1,t
< br>0,0

P

x,y

dx2xydy

P

x,0

dx

2ydyt



x

dx
。
2
000
t
2
1
00
1t1
所以
t



x

dxt



x

dx
，求导得：
1


t

2t
，所以< br>

x

2x1
，
P

x,y

y
2
2x1.

七、(8分 )计算曲面积分
I


8z1
xdydz4yzdzdx2

1z
2

dxdy


其中

是曲面
z1x
2
y
2
被平面
z3
所截部分的下侧。
22
解：补充曲面：在
z 3
上，
xy2
的部分，取上侧，记为
D
1
。
I


8z14z4z

dV


8z1

xdydz4yzdzdx2

1z
2

dxdy
D
1


dV


16

dxdy

d


rdr

D
00
2

23

1r2
dz162

34

222222
八、(10 分 )计算
I


yz

dx

2zx

dy

3xy

dz
，其中
L
是平面
L
xyz2
与柱面
xy1
的交线，从
z
轴正向看去，
L
为逆时针方向。
解：利用斯托克斯公式，取平面
xyz2
上被
L
所围的部分为
S
，取其方向向
上；
S
在
xOy
平面上的投影记为
D
，则
A
4

I


2y4z

d ydz

6x2z

dzdx

2x2y
dxdy
S



8x4y6z

dxdy


8x4y6

2xy


dxdy

SD
2


xy 6

dxdy12

dxdy24.
DD

A
5