中产家庭-满月宴贺词

学
院
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班
级
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姓
名
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学
号-
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温州大学期中考试试卷

2015-2016 学年第 一 学期
考试科目
考试形式
题号
得分
运筹学B
试卷类型


总分
开卷（仅允许带教材）
考试对象
一

60
二

20
三

20





一、简答题（每小题10分，共60分）
1、
某企业在今后三年内有4种投资机会。第①种：三年内每年年初投
得分
资，年底可获利润20%，并将本金收回；第②种：第一年年初投资，第二年年底可获利润
50%，并 将本金收回，但该项目投资不得超过万元；第③种：第二年年初投资，第三年年
底收回本金，并获利润6 0%，但该项目投资不得超过万元；第④种：第三年年初投资，于
该年年底收回本金，且获利40%，但 该项目投资不得超过万元。现在该企业准备拿出万元
资金，问如何制定投资计划，使到第三年年末本利和 最大。为此，设
x
ij
为第
i
年投资到第
j
个方案 的资金，共6个决策变量。分析投资情况见下表。

年份 第一年初
①
x
11
出

投

资
②
x
12
出
额


③
x
23
出


④
x
34
出
入
入
入
①
x
31
出 入
第一年底
（第二年初）
入
①
x
21
出
第二年底
（第三年初）

入
第三年底


试根据上述决策变量和投资分析表写出该问题的线性规划模型。
解：

max z1.6x
23
1.2x
31
1.4x
34
(or 0.2x
11
0.2x
21
0.2x
31
0.5x< br>12
0.6x
23
0.4x
34
)

x
11
x
12
3


x
12
 2

x
21
x
23
1.2x
11
(or x
11
x
12
x
21
x
23
31.2x
11
)

s.t.

x
231.5

xx1.5x1.2x
1221

3134< br>
x
34
1


x
11
0,x
12
0,x
21
0,x
23
0,x
310,x
34
0


2、画出下列线性规划问题的图解法可行域。
maxz5x
1
2x
2

4x
1
x
2
20

xx 10


12
s.t.


x
1
x
2
2


x
1
0, x
2
0
解： < br>x
2
6
5
4
2
0
456
x
1



3、将下面的线性规划问题写成标准化形式。
maxz x
1
x
2
2x
3

2x
1
 x
2
5x
3
12

x2x7x6


123
s.t.


x
1
6x
3
4


x
1
0, x
2
0, x
3
0
解：

maxz x
1
'x
2
2x
3

2x
1
' x
2
5x
3
y
1
12

x'2x7x 6


123
s.t.


x
1
' 6x
3
y
2
4


x
1
'0, x
2
0, x
3
0, y
1
0, y
2
0


4、写出下列线性规划问题的对偶问题。
m axzx
1
x
2
2x
3

2x
1< br> x
2
5x
3
12

x2x7x6


123
s.t.


x
1
6x
3
4


x
1
0, x
2
0, x
3
0
解：
minw12y
1
6y
2
4y
3

2y
1
 y
2
y
3
1

y2y 1


12
s.t.


5y
17y
2
6y
3
2


y
10, y
2
任意, y
3
0


5、简述单纯形法和对偶单纯形的异同点，填入下表。
答：
相同点： 都含一个单位子矩阵，都要进行换基迭代，都用于求解线性规划问题的原问题。
不同点：

初始状态 常数列非负
算法结束
检验数全非正，结束计算
判断准则
检验数正者，入基，按照与常数列的
换基方法
最小比例选择出基变量 数的最小比例选择入基变量
常数列负者，出基，按照与检验
常数列全非负，结束计算
单纯形法 对偶单纯形法
检验数非正


6、下面命题是否正确解释理由。

（1）线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定为基可行解。
（2）单纯形法迭代计算中，必须选取同最大正检验数σ
j
对应的变量作为入基变量。
（3）线性规划问题增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小；减少一个约束条件，
可行域 的范围一般将扩大。
（4）如果线性规划问题的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解。 （5）如果
X
1
，
X
2
都是某个线性规划问题的最优解 ，则
X
=λ
1
X
1
+λ
2
X
1< br>（λ
1
，λ
2
是正实数）
也是这个问题的最优解。
答：
（1）不正确。在存在多个最优基解的情况下，它们的凸组合不是基解，但仍为最优解。
（2）不正确。只需选取正检验数σ
j
对应的变量入基，都可以使目标值增大。
（3）正确。增加约束的可行域是原可行域的子集。
（4）不正确。此时原问题还可能有无界解。
（5）不正确。
X
1
，
X
2
的凸组合才是最优解。

二、计算题（共20分）
得分
使用单纯形法求解下列线性规划问题，写出求解步骤，并给出：（1）最优解，（2）最优值。
maxzx
1
2x
2
x
3


2x
1
x
2
x
3
4


s..t

x
1
2x
2
6

x,x,x0

123
解：
参考步骤：
c
B

0
0
基
b

4
6
x
1

2
1
-1
x
2

1
2
2
0
1
0
0
1
0
x
3

1
0
1
1
0
1
1
0
0
x
4

1
0
0
1
0
0
1
0
-1
x
5

0
1
0
-12
12
-1
-12
12
-12
x
4

x
5

j

1
3
0
2
x
4

x
2

j
32
12
-2

1
3
1
2
x
3

x
2

j
32
12
-72

得最优解x*=(0,3,1)，最优值z*=7。

三、计算题（共20分）
得分
使用对偶单纯形法求解下列线性规划问 题，写出求解步骤，并给出：（1）最优解，（2）最
优值。
max z6x
1
3x
2
4x
3

3x
1
2x
2
 x
3
4


s.t.

4x
1
 x
2
4x
3
12

x,x,x0

123
解：
先引入2个人工变量，构造单位子矩阵：

max z6x
1
3x
2
4x
3< br>
3x
1
2x
2
 x
3
x
4
4


s.t.

4x
1
 x
2
4x
3
+x
5
12

x,x,x,x,x0

12345
初始单纯形表：
c
B

0
0
基
b

-4
-12
x
1

-3
-4
-6
x
2

-2
1
-3
x
3

-1
[ -4 ]
-4
x
4

1
0
0
x
5

0
1
0
x
4

x
5


因为(-4)(-4)=min{(-6)(-4), (-4)(-4)}，x
3
进基，x
5
出基：
c
B

0
-4

基
b

-1
3

x
1

[ -2 ]
1
-2
x
2

-94
-14
-4
x
3

0
1
0
x
4

1
0
0
x
5

-14
-14
-1
x
4

x
3


因为(-2)(-2)=min{(-2)(-2), (-4)(-94), (-1)(-14)}，x
1
进基，x
4
出基：
c
B

-6
-4

基
b

12
52

x
1

1
0
0
x
2

98
-118
-74
x
3

0
1
0
x
4

-12
12
-1
x
5

18
-38
-34
x
1

x
3


得最优解(x
1
, x
2
, x
3
)=(12, 0, 52)，最优值z*=-13。