一中-河北省银行业协会

郑州轻工业学院
2005-2006学年第一学期高等数学 期中考试试卷

一、
是非判断题,正确的在括号内打√,错误的在括号内打×
（每题2分，共10分）

1、若数列
{x
n
}
收敛，数列
{y
n
}
发散，则数列
{x
n
y
n
}
发散． （ ）
2、
limf(x)
存在的充分必要条件是
limf(x)< br>和
limf(x)
都存在． （ ）
x
xx 
3、
limxsin
x0
11
limxlimsin 0
． （ ）
x
x0x0
x
4、
lim
x
1
． （ ）
x
sinx
5、若
f(x)
在闭区间
[ a,b]
上有定义，在开区间
(a,b)
内连续，且
f(a)f(b)0
，
则
f(x)
在
(a,b)
内有零点． （ ）

二、填空题（每题2分，共10分）

f(3h)f(3)
1、已知
f'(3)2,
则
lim
．
h0
2h
1
2、
y

x
n
arctan
，则
y'|
x1

．

3、曲线
ye
x
在点 __ 处的切线与连接曲线上两点
(0,1),(1,e)
的弦平行．
4、函数
yln[arctan(1x)]
，则
dy
．
5、
x0
时，
1cosx
是
x
的 阶无穷小．

三、单项选择题（每题2分，共10分）
1、数列有界是数列收敛的 ( )．
(A) 充分条件；（B）必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件．
2、
f(x)
在
xx
0
处有 定义是
limf(x)
存在的 ( )
xx
0
(A) 充分条件；（B）必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件．
(x1)
2
x1
,g(x)
3、若 函数
f(x)
2
，则（ ）
x1x+1
(A)
f(x)g(x)
； （B）
limf(x)g(x)
；
x1
(C)
limf(x)limg(x)
； (D) 以上等式都不成立．
x1x1

1

4、下列命题中正确的是 ( )
(A)无穷大是一个非常大的数； （B）有限个无穷大的和仍为无穷大；
(C)无界变量必为无穷大； (D) 无穷大必为无界变量．
1
5、
lim(1)
n1000
的值是 ( )
n
n
(A)
e
； （B）
e
1000
； (C)
ee
1000
； (D)其他值．
四、计算下列极限（每题6分，共18分）
ln(1x
2
)
；
3、
limx
x
． 1、
lim(x1x1)
；2、
lim

x
x 0
secxcosx
x0

22
五、计算下列各题（每题6分，共18分）
1
ye
sin
2
1
x

xlnt
d
2
y
dy
，求
dy
；2

，求；3 , 求。
xarctan yy
2
3
dx
dx

yt
x
2
1
六、（本题8分）判断函数
y
2
在
x1,x2
点处的间断点的类型，如
x3x2
果是可去间断点，则补充或改变定义使其连续．
七、（本题8分） 验证拉格朗日中值定理对函数
y4x
3
5x
2
x2
在
[0,1]
上的
正确性。

八、（本题9分） 设函数
f(x)
在
[0,x](x0)
上连续 ，在
(0,x)
内可导，且
f(0)0
，证明在
(0,x)
内至少存在一点

，使得
f(x)(1

)ln(1x)f '(

)
．
九、（本题9分） 注水入深8米，上顶直径为8米的正圆锥行 容器中，其速度
为4米
3
分，当水深为5米时，其表面上升的速度是多少？．













2

2005-2006学年第一学期高等数学试卷A
试卷号：A20060108（1）

一、是非判断题,正确的在括号内打√,错误的在括号内打×
（每题2分，共10分）

1、
f(x)
在
x
0
有定义，且
lim f(x)f(x
0
)
，则
f(x)
在
x
0
在连续． （ ）
xx
0
2、
f'(x
0
)[f(x
0
)]'
． （ ）
3、若
x
0
是
f(x)
的极值点，则必有< br>f'(x
0
)0
． （ ）
4、
(

f(x)dx)'

f'(x)dx
． （ ）
15、

sin
2
xdxsin
3
xc
． （ ）
3

二、填空题（每题3分，共15分）

f(x )
1、
limA
，其中
f(0)0
且
f'(0)
存在，则
A
．
x0
x
2、
yx
3
2x1
在
(,)
内有 个零点．
3、
lim
ln(3x1)

．
x0
6x
4、函数
f(x)x
3
2x1
在区间 单调增加．
5、

sin2x
dx
．
1sin
2
x

三、单项选择题（每题3分，共15分）
1、数列极限
limn[ln(n1)lnn]
( )．
n
(A) 1； （B）-1； (C)

； (D)不存在但非

．
2、
F(x)
和
G(x)
是
f(x)
函数的任意两个原函数，则下式成立的是 ( )
(A)
F(x)cG(x)
；（B）
F(x)G(x)c
；(C)
F(x)G(x)c
； (D)
F(x)G(x)c
．
3 、函数
f(x)
的
n
阶（
n2
）泰勒公式中
(x x
0
)
2
项的系数是 ( )
(A)
f ''(x
0
)
f''(

)
1
,

在
x
与
x
0
之间． ；（B）； (C)
f''(x
0
)
； (D)
2!
2!
2!

3


ta nkx

,x0
4、设函数
f(x)

x
, 若
f(x)
在
x0
处连续，则
k
的值是 ( )


x2,x0
(A) 1； （B）-1； (C) 2； (D) -2．
5、曲线
y(x1)
3
1
的拐点是 ( )
(A)
(1,1)
； （B）
(2,0)
； (C)
(0,2)
； (D)不存在．
四、解答题（每题5分，共30分）
11
1、求极限：
lim[
2
ln(1x)]
．
x0
x
x

2、设
f(x)x(x1)(x2)(x2006),求f'(0)
．
3、求方程
xye
xy
所确定的隐函数的导数
dy
．
dx
x
2
1
4、写出函数
y
2
的连续 区间，如果有间断点，指出间断点的类型．
x3x2
5、计算不定积分

(1sinx)
3
cosxdx
．
6、计算不定积分

e
x
dx
．
1
< br>

(x)sin,x0
五、（本题满分8分）设函数
f(x)< br>
.，其中
x

0,x0


(x)o (x)(x0)
，证明
f(x)
在
x0
处可导并求
f' (0)
．
x
2
六、（本题满分8分）证明：当
x0
时，
ln(1x)x
．
2
七、（本题满分8分） 要造一个圆柱形油罐， 体积为
V
，问底半径
r
和高
h
等于
多少时，才能使 表面积最小？这时底直径与高的比是多少？

八、（本题满分6分） 设函数
f(x )
在
[0,1]
上连续，在
(0,1)
内可导，且
f(1) 0
，
证明在
(0,1)
内至少存在一点

，使得
2f(

)

f'(

)0
．





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