福建高校排名-中国梦演讲稿教师篇

2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解

一、单项选择题 (每小题4分，共20分)
1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det(a
ij
) 的项 ( B )
(A)
a
1 2
a
23
a
34
a
41
a
55
(B)
a
33
a
15
a
42
a
51a
24

(C)
a
15
a
52
a< br>33
a
24
a
41
(D)
a
22a
11
a
45
a
33
a
54

解 根据n阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不
同列的n个数的乘积，并 且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则
该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准
排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排
列 都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的
奇偶性(或者，交换一般项中的元素 ，使行标成为标准排列，再根据列
标排列的逆序数判断).
题中每个选项都是5阶行列式 不同行、不同列的5个数的乘积，因
此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.
选项(A)错误。其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为
t(23415)=3, 故， 列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变
成标准排列12345需要进行奇数次对换， 也可得23415为奇排列)。所
以选项(A)缺少“-”.
选项(B)正确。其行标和列标 排列都不是标准排列，方法一：行标排
列和列标排列的逆序数之和t(31452)+t(35214) =4+6=10，得符号为“+”；
方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a
15
a
24
a
33
a
42
a
51
，< br>此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.
同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.
2. 已知n阶行列式D=1，将D逆时 针旋转90
o
，得行列式
D
~
，则
D
~
的 值为  ( C )
(A) 1 (B) -1
(C) (-1)
n(n-1)2
(D) (-1)
n2

解 将D逆时针旋转90
o
，相当于对D先作转置(这不会改变行列式的值)，
再作上下翻转[即交换n(n-1)2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式
的符号]，因此，应选 (C).
参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.
3. n阶 行列式D
n
=0的必要条件是  ( D )
(A) 有一行(列)元素全为零


(B) 有两行(列)元素对应成比例
(C) 各列元素之和皆为零
(D) 以D
n
为系数行列式的齐次线性方程组有非零解
解 选项(A)(B)(C)都是D
n
=0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)
为充分必要条件.
4. 已知A, B均为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，则 下列命题中正
确的是  ( D )
(A) 若AB，则AB
(B) 若(A-E)(B-E)=O，则A=E或B=E
(C) A
2
-B
2
=( A+B)( A-B)
(D) A
2
-E=( A+E)( A-E)
解 答案为(D). 选项(A)错误，反例：
A


10



B


21


01

,


11




选项(B)错 误。“两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵”，例如


20

00

00



00





03





< br>
00



，因此， (A-E)(B-E)=O  A -E=O或B-E=O，
反例：
A


20

10


01



,
B




22




选项(C) 错误。因为(A+B)(A-B)=A
2
-AB+BA-B
2
，所以，当且仅 当A, B
可交换时，才会有(A+B)(A-B)=A
2
-B
2
.
选项(D)正确。因为AE=EA=A，即A, E可交换，所以，
(A+E)(A-E)=A
2
-AE+EA-E
2
=A
2
-E.
5. 设A, B均为n阶可逆矩阵，则下列命题中正确的是 ( A )
(A) (A
2
)
-1
=(A
-1
)
2
(B) (kA)
-1
=kA
-1
(k0)
(C) (A+B)
-1
= A
-1
+B
-1
(D) A
-1
BA=B
解 选项(A)正确。根据方阵的幂的定义以及可逆矩阵的运算性质 ，有
(A
2
)
-1
=(AA)
-1
= A
-1
A
-1
=(A
-1
)
2

选项(B)错误。应该是(kA)
-1
=k
-1
A
-1
(k0)
选项(C)错误。A, B均为n阶可逆矩阵时，A+B不一定可逆；即使
A+B 可逆，(A+B)
-1
也不一定是A
-1
+B
-1
。反例：
A


10



01
< br>

,
B


20


01



，或者
A

10


01



,
B

20


01





选项(D)错误。矩阵乘法一般不满足交换律，故A
-1
BA  A
-1
AB = B。

二、填空题 (每小题4分，共20分)
00010
00200
1. 行列式

02012000
= 2013！.
20130 000
00001
00010
00200
0001

0020
解

02012000
=

1

20130000
0201200
00001
2013000
2013(20131)
(1)
2< br>2013!2013!

注：以上计算过程使用了分块法计算行列式的公式：
A
kk
O
OB
AB
(注意A,B必须是方阵)
mm
以及副对角行列式的计算公式


1

2


注：参见“矩阵的运算”所布置的思考题，或者第二章习题讲义
n( n1)
(1)
2

1

2


n

“要点和公式”中的Part II“一些特殊矩阵的乘积”.
1


3

-1
4. 已知
A

，则A

=
17


15




n
0111
1011
2. 行列式
1101
= (-1)
n-1
(n-1) .
 
1110
n阶
0111
n1n1n1n1
10 11
1
解
1101
r
101
1
r
i

1101


(i2,3,n)

1110
n阶
1110
1111
对第一行提取公因子
101 1
(n1)
1101

1110

1111
r
i
r
1
1
(n1)
(i2,3,n)
1


1
= (-1)
n-1
(n-1)
注：本题行列式的特点是：各行(列)元素之和都相等.

3

a
3

0100

2a
3
a
4

001


d
3
d
1
d
1

3.

0010



a
1

bb
2
b
3
b



0
4


010
d
4


000



0


0001


1
ccc

0
4

100
=
000


< br>
0000



c


123< br>
d
1
d
2
d
3
d

< br>
0
4




1000




0



0000





0100

解

0010

用



0001

左乘矩阵A，相当于将A 的各行向上移动一行，故


0000




100

3

0


a
1
a
2
a
3
a
4

d
2
d
3
d
4


0010




b
1
bb

0001


23
b



d
1
4

000




ccc

=

0

00 00




1
c
234

< br>000



d
1
d
2
d
3
d


0
4




0000





0001

另外，用

0010



10

右乘矩阵A，相 当于将A左右翻转，故

00


1000




3

0100


a
2a
3
a
4

001

3

d
4
d
3
d
1
d
1


0 010

b



a
1

bb< br>


0
3
b
4


00 10




0000



0 001


12
cc


23
c
4

100

=
000



0 000



c


1

d1
d



0
2
d
3
d4




1000


0





0000



< br>5

13


7





1



解 利用副对角阵的求逆公式：
< br>1

a

1



a
< br>n
1



a


2
< br>








< br>
a




a
n

< br>
2
1


a
1
1


5. 已知A是4阶可逆矩阵，且A=2，则A
-1
= 12 ，A
*
= 8 .
解 利用可逆矩阵的性质“A
-1
 =A
-1
”以及伴随矩阵的性质
“A
*
=A
n -1
”，可得 A
-1
=2
-1
，A
*
 =2
4-1
=8.
注：也可按如下方式求A
*
：
因 为AA
*
=AE，将A=2代入，得AA
*
=2E，等号两边取行列 式，
有AA
*
=2E，即2A
*
=2
4< br>，于是A
*
=8.
三、计算题（每小题7分，共35分）
2222
21
1. 设n阶爪形行列式
D
21
, 求D中所有元素的代

21
数余子式之和.
解 将D的第1行元素全部替换为1，并按第1行展开，得D的第
1行元素的代数余子式之和为
1 111
21
A
11
A
12
A
1n

21


21
12(n1)
r
211
r
i
(i2,3,n)
31


n1
32n


将D的第2行元素全部替换为1，并按第2行展开，得D的第2
行元素的代数余子式之和为 < br>2222
1111
A
21
A
22
A2n

21
0
(两行元素成比例)

21

同理，D的第3, 4,…, n行元素的代数余子式之和也都是0.
nn
于是，D的所有元素的代数余子式之和为

A
ij
32n
.
i1j1
注1 如果改变行列式D的某一行(列)元素，行列式虽然变了，但该
行(列)元素的代数余子式不会改变。
注2 本题利用了行列式按行(列)展开法则：

nn
a
ikA
jk
D

ij
或

a
ki
A
kj
D

ij
(i=1,2,…,n)

k1k1


x
1
kx
3
0
2. 问：


2x
1
x
4
0
只有零解时，

kx
1
x
20
k必须满足什么条件？


x
3
2x
4
0
解 此方程组为齐次线性方程组，并且方程个数=未知量个数，根据
“方程组只有零解  系数行列式D0”，有
10k0
D
2001
k100
4k10
，即k 14.
0012


0001

3. 设方阵
A 

a001




0a01

，


00a1



(1) 求A的值，并指出当a满足什么条件时，A是可逆矩阵；
(2) 当A可逆时，求A
-1
.


0001

解 对 矩阵A分块，
A

a001



记作


OB


0a01


D






00a1



C

(1)
A(1)
13
BCa
3

当且仅当a0时，A0，此时A为可逆矩阵.
(2) 根据分块法求逆矩阵的公式，
A
1

C
1
DB
1
C
 1





B
1

O






a
1

其中
，
B
1
1

，
C
1



a
1

，

a
1






a
1



1


a
1
C
1
D B
1



a
1






1


1



a
1





a
1




1



1< br>

a




a
1
a
1
00

1

于是，A
-1
< br>

a0a
1
0


a
1
00a
1





1000


注1 解答中使用了分块法计算行列式的公式(参见第一章习题讲义
“要点和公式”)
OA
kk
B
mm
*
(1)
km
AB

注2 本题要求熟记分块法求逆矩阵的公式. 虽然也可以用公式
A
-1
= A
-1
A*，但计算过程繁琐，容易出错.
注3 另外，求出逆矩阵后，最好验算是否有AA
-1
=E.


321

4. 设方阵
A


642


，求A
k
(k为正整数).


963



321

解
A



642



1


记作
T




2

3,2,1

αβ
.

963




3


于是，
A
k
< br>(
αβ
T
)(
αβ
T
)

(
αβ
T
)

α(β
T
α)(β
T
α)β
T

< br>α
(
β
T
α
)
k1
β
T


其中
β
T
α

3,2,1


1


2


10

< br>
3



321


A
n
10
n1
αβ
T
10
n1
A
 10
n1


642





963


注 当矩阵的任意两行(列)元素对应成比例时，该矩阵可分解为列矩
阵和行矩阵的乘积.
5. 已知A,B都是2阶方阵，且A
*
BA

21

=

2A
*
B

+

E，其中
A




11


，

A
*
是A的伴随矩阵，E为2阶单位矩阵，求矩阵B.
解 对A
*
BA

=

2A
*
B

+

E 两端左乘A，得
AA
*
BA=2AA
*
B+A
根据伴随矩阵的性质AA
*
=AE，有
ABA=2AB+A
由于
A1
，于是
BA=2B+A
 B(A-2E)= A
其中
A2E 


01


11


，由 于
A2E1
，故A-2E可逆，其逆

矩阵(A-2E)
- 1
=


11


10

，于是


BA(A2E)
1


21

11

32


11< br>



10





21




注 求二阶可逆矩阵的逆矩阵时，可以用“两调一除”公式.

四、证明题（每小题8分，共16分）
1. 设A是n阶反对称矩阵，n为奇数，证明：齐次线性方程组Ax=O
有非零解.
证 A是n阶反对称矩阵  A
T
=-A.
对上式两边取行列式，有
A
T
 =-A
 A =(-1)
n
A
由于n为奇数，故A = -A，即A=0.
因此，当A是奇数阶反对称矩阵时，齐次线性方程组Ax=O的系
数行列式等于0，于是该方程 组有非零解.
注 A是方阵，所以Ax=O是“方程个数=未知量个数”的齐次线性方
程 组，于是，要证明Ax=O有非零解，就是证A=0.
2. 已知A, B均为n阶方阵，且AB=A+B.
(1) 证明：A-E和B-E均可逆，且互为逆矩阵；
(2) 证明：如果A可逆，则A+B也可逆.
证 (1) AB=A+B
 AB-A-B+E=E
 (A

-E)(B

-E)=E
 A-E和B-E均可逆，且互为逆矩阵
(定理：“若A和 B均为n阶方阵，且AB=E，则BA=E.
亦即，A,B均可逆，且互为逆矩阵”)
(2) AB=A+B  A(B-E) =B
已知A可逆，又由(1)知B-E可逆，所以B= A(B-E)可逆
(定理：n阶可逆矩阵的乘积仍是n阶可逆矩阵).
A和B可逆，所以AB可逆. 由于A+B= AB，故A+B可逆.
也可按如下方式证明：
A可逆  A0，于是
AB=A+B
 (A-E)B =A
 A

-E B=A0
 B0
于是，A+B=AB=AB0 ，故 A+B可逆
注：下列错误不得分： 在第(1)题中使用了A
-1
或B
-1
；在第(2)小题
中认为两个 可逆矩阵的加和也必然是可逆矩阵.









五、解答题（9分）
在某地，每年有比例为30%的农村居 民移居城镇，有比例为10%
的城镇居民移居农村，假设该地总人口不变，且上述人口迁移的规
律也不变. 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例分别记为
a
n
和b
n
(a
n
+b
n
=1).
(1) 记
x

a
n



n

b

n

，求关系式

x
n
Ax
n1
中的矩阵A；

(2) 已知(1)中的矩阵A满足关系式AP=PB，其中
P


11


31


，求

矩阵B；
(3) 设目前农村人口和城镇人口相等，即
x

0.5

0




0.5


，求

x
n
.
解 (1) 依题意，有


a
n
0.7a
n1
0.1b
n1
，即

b
n
0.3a
n1
0.9b
n1


a
n


0.70.1


a


b

n






n1




0.30.9



b
n1



故
A

0.70.1



0.30.9




(2) P=4，故P可逆，其逆矩阵为
P
1

1

4

11


< br>31



.

对AP=PB两边左乘P
-1
，得
B=P

-
1
AP
=
1

4

11< br>



0.70.1

11


31






0.30.9







31







10



00.6




(3) 由x
n

= Ax
n-1
递推可得
x
n

= Ax
n-1
= A
2
x
n-2
= … = A
n
x
0

对AP=PB两边右乘P
-1
，得A=PBP

-1
，于是
A
n
= (PBP
-1
) (PBP
-1
)… (PBP
-1
)
= PB

n
P
-1


1

11

1
< br>4


31




10





1





00.6
n


< br>
31




1

130 .6
n
10.6
n

4



330.6
n
30.6
n




因此，

a
n


n

0.70.1

0.5


b

n






0.30.9







0.5





1

0.
4

130.6
n
10.6n

5



330.6
n
3 0.6
n







0.5





1

10.6< br>4

n



30.6


n

(从长期趋势看，农村人口趋于总人口的14，城镇人口趋于总人口

的34.)



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