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电动力学期中考试 B卷

一 判断题
（每题 2分，共 20分）


1． 导体面上，电场(
E
)线一定垂直于导体面。 （ √ ）
2． 在两种介质分界面附近，电场强度切向分量连续。
3． 在两种介质分界面附近，磁场强度法向分量连续。
4． 两种电介质的分界面上

F
D
2n
D
1 n
.

p
(p
2n
p
1n
)
。
5． 物质的磁性质方程为：
B





0
(HM),

6． 时变电磁场中，
E


D

t
。
7． 电荷守恒定律


j


t
0
，只对电场空间成立。
8． 任何静磁场都可以用矢势描述，即：
B

A

。
9． 电荷分布在有限大空间时，有边界条件：

(R)0
，
10．在规范条件
A

0
下静磁场的矢势，在边界上总是连续 的。 （ √






二、 填空题
（每空 2 分，共 30 分）

1． 磁 化电流密度
J




M
与磁化强度
M< br>的关系为
J
M


M

（ √ ）
（× ）
（ √ ）
（ √ ）
（ × ）
（ × ）
（ √ ）
（ √ ）
）



B
2． 麦克斯韦方程组中描述电场旋度的方程为
E

t



3． 磁感应强度
B
在法线方向满足的边值关系是
n(B
2
B
1
)0
，



4． 电场强度
E
在切线方向满足的边值关系为
n(E
2
E
1
)0
。
5． 只有附加 规范条件 条件后，矢势与所描述的磁场才一一对应。



w
0
。

6． 能量守恒定律的微分形式为
fvS
dt


D
7． 对于电容率为

的介质，若电场随时间变化，其位移电流为
J
D


t
8． 电势的法向导数满足的边值关系为

2


2




1
1

f

nn
9． 静电场中导体带电量
Q
，导体外电势在表面附近的边界条件为



S


dSQ
< br>n



2
10．对于静磁场，在
A0规范条件下满足的微分方程为
A

J






11．真空中电流分布为
J(x)的体系，在
A0
规范条件下，其矢势
A(x)




0
J

x


dV



4

r




12．对于静磁场，与
n(B
2
B
1
)0对应的矢势边值关系是
nA
2
A
1
0

 



mR

13．磁偶极子
m
在场 点
R
处所激发的磁场标势

m


4

R
3


14．对于一矢量和一标量有
A

等于
A
。


15．“磁荷”密度

m




0
M
。

三 证明题 (
15分
)


从麦克斯韦方程出发，证明在线性均匀介质中，电势满足
泊松方程。
证：

由:

D

,

E
< br>
E






E









2

得:
2







四

计算题
(15分×3 共 45分)
1 在电容率为

1
的均匀介质球中心置一自由电偶极 子
P
f
，
球外充满了电容率为

2
的另一种介质， 求空间各点的电势
解：
设


是极化电荷产生的电势，则总电势 可看成是偶极子在均匀介质

1
中产生的电势与
极化电荷产生的电势之和 < br>



P
f
R
4

1
R
3



（2分）
选择 电偶极矩方向为极轴方向，系统具有轴对称性，注意到电势在
R0
和
R
处

的边界条件，有
P
f
cos

l

ARP
l

il

2
4
1
R
l0


B
l



P
f
cos

P

e
2l 1
l

4

1
R
l0
R


RR
0

（3分）

RR
0

（2分） 当
RR
0
时，有边界条件


i
R


e
R
0

0











i
1


R




e
2< br>
R
0

R

R
0



A
l
B
l
l
R
0
P
l


有

R
l1
P
l
l0l0
0

2P



< br>
1



f
cos

4

1
R
3

0

lA
l
Rl1
0
P

l




2


2P
f
cos

3

1< br>
10


l1

B
l
l2
P
l

l
4

R
l0R
0

比较
P


A
0
B
0
R
0
0
的系数有


B

0B
2
A
00
0

l
R
0


A
B
1
R
1
0

比较
P
1
的系数有


R
2
0




2P
f


4

R

A
2


2
P
f
2< br>
B
0
4

3

21
3
11
3
1
R
0
R
0
所以
A< br>2


1


2

P
f< br>2


1


2

P
f< br>1

4

1


1
2

2

R
3
，
B
1

0
4

1


1
2

2




AR
l

B
l
当l2
时，比较
P
的系数，有

l0

R
l1
0
l
A
l
B

l
0



B

1
lA
l
R
l1
0


2
(l1)
l
R
l2
0
故

P

R

2



1


2

Pf
R
i

f
4

3


R
3


RR
0


1
R4

1< br>

1
2

20

P


f
R2


P


1

2

f
R3P


f
R
e

4

3

1
R4

1


1
2

2

R
3

4



1
2



RR
0


2

R
3


2分）
2分）
（
（

2 均匀介质球的中心置一点电荷
Q
f
，球的电容率为

，球外为真空，
(1) 用分离变数法求空间电势分布,写出定解方程及定解条件；

(2) 说明电势表达式的意义
解：
(1) 在球内，电势是由点电荷
Q
f
与介质球的极化电荷两者各自产生的电势之
和，


1

Q
f
4

R



'
（1）

'
是极化电荷产生的电场的电势，满足拉普拉斯方程。

'
是球对称的。考虑到
当
R0
时，

'
是有限的， 所以其解为

'a
，


1

Q
f
4

R
a
（2）
设球外电势为

2
，它也是球对称的，满足拉普拉斯方程，考虑到当
R
时，
，所以

2
0
（零势点）


2

b
（3）
R
在界面上（
RR
0
），电势满足边界条件

1


2
，



1


2




0
（注 意到边界条件
n(D
2
D
1
)

f
，界面上无自
RR
由电荷分布）
所以，

Q
f
Q
f

Q
f

b
a
a


4

RR
4

0
R
0
4

R
0

00
， 解得



Q
f


b

b
Q
f
0

4

R
2

4

0
R
0
2
0

则
Q
f


,

2

4

0
R

Q
f
Q
f
11


2
(),

4

R4
< br>R
0

0


RR
0

RR
0
(2 ) ①球外电势为点电荷Q的电势，介质球的极化是球对称的，对球外无场
的贡献
②球内电势是自由电荷和束缚电荷共同贡献的


3
导体球壳不接地带总 电荷
Q
0
，离球心a处有一点电荷Q,
试求球内电势。

解：
由于球壳上有自由电荷
Q
0
，并且又是导体
球壳，故 整个球壳应该是等势体。其电势用
高斯定理求得为
QQ
0
，所以球壳内的电
4

0
R
2
势将由
Q
的电势，像电荷< br>
QR
1
高斯公式就可得。故
a
的电势及球壳的电势叠加而 成，球外电势利用



QR
1

QQ
1Q
a
0



(RR
1
)
2242


R
2

4
 
0
Ra2aRcos

R
1
2R
1
R
2





R
2
co s


a
a



QQ
0

(RR
2
)


4

0< br>R
或


QR
1


Q
a

1


42

4

0
R
2
a
2
2Racos

R2RR2
11




R
2
cos

a
a



R

2
0

r





0



(RR
1
)

(RR< br>2
)
当

0

QQ
0
时两种情况 的解相同。
4

0
R
2


五 附加题
(每题 5分 共 10分)

1 见题四1，求电荷分布
解：
球面上的极化电荷密度

P
P
1n
P< br>2n
(

1


0
)

6P
f
cos




i



e

(



)
< br>


20

20

3
4


1
2

2

R
0< br>
R

R
0

R

R
0

6


0


2

2(

1


2
)2(

1
 2

2
)




1


0




P
f
cos
33
4

1
(

1
2

2
)R
0

4

1
(

1< br>2

2
)R
0


P

6

1
(

0


2
)6
2
(

1


0
)3
< br>0
(

1


2
)
Pcos

P
f
cos

（2分）
f
33
4

1
(

1
2

2
)R
0
2

1
(

1
2

2
)R
0

对于电偶极子，在每个点电荷附近将出现极化电荷，有E


f


P
，又

0


D

1
E

f
，所以

P




0

1


f



1


在点电荷附近选一微小体积，则在点电荷附近的极化电荷



q
P


0
1

q
f< br>


1

极化电荷形成极化偶极子









P
P


0
1

P
f



1


2均匀介质球的中心置一点电 荷
Q
f
，球的电容率为

，球外为真空。
① 用题四2的正确电势表达式求电场强度，
② 计算束缚电荷的分布，
③ 球心有无束缚电荷？
解：

2

Q
f
4

0
R


Q
f
Q
f
R1
E
2

4

0
R4
< br>0
R
3
,RR
0


1

1
),
4

R4

R
0

0



Q
f
1
Q
f
R
E
1

4

R4

R
3
(
Q
f
Q
f
1
RR


P
(P
2n
P
1n
)(

0


0
)E
2
|
R0
(
< br>

0
)E
1
|
R0
Q
f
1

0
Q
f
(



0
)(1)
2
4

R
0

4
R
0
2
Q
f


(1
0
)RR
0

4

R
0
2

Q< br>p
(1
0
)Q
f



< br>P
(R0)P
1
(



0
)E
1
(1
0
)

f

Q
f

(R0)(1
0
)



答：
①介质球面上的面束缚电荷密度是

P
(1
< br>0
Q
f
),

2

4

R
0
②球心有束缚的点电荷，电量是：-
(1

0
)Qf


③球心和球面的束缚电荷之和为零，故束缚电荷对球外电势无贡献。