帮助孤寡老人-爱祖国的名言

“多次相遇问题”剖析
一、直线型
直线型多次相遇问题宏观上分 “两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、
乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是 指甲、乙两人从路的一端同时出发
同向而行。现在分开向大家一一介绍：
(一)两岸型
两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。
题干如 果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇：
如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，(为清楚
表示两人走的路程， 将两人的路线分开画出)则共走了1个全程，到达对岸b后两人转
向第二次迎面相遇在c处，共走了3个 全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程
是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2个全程 。所以第三次相遇共走了5个
全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)S，S为 全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常
可以用这个2倍关系解题。即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。




1

相遇次数 全程个数 再走全程数
1 1 1
2 3 2
3 5 2
4 7 2
… … …
n 2n-1 2
2、背面追及相遇
与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图， 此
时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。则第一次背面追及相遇在a
处，再 经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人
在c处相遇。我们可以观 察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背
面相遇时，两人的路程差为3个全程。同样 第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，
单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。依次类推，得： 第n次背面追及相遇两人的
路程差为(2n-1)S。

(二)单岸型
单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追
及相遇两种情况。
1、迎面碰头相遇：
2

如下图，假设甲、乙两 人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙
每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处 ，此时甲走了2份，乙走了4份，再过1
分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面相遇，则第二 次相遇多走的跟第一次
相遇相同，依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为2ns。

2、背面追及相遇
与迎面相遇相似，假设全程为3份，甲每分钟走1份， 乙每分钟走7份，则第一次
背面相遇在a处，2分钟后甲走了2份，乙走了14份，两人在b处相遇。第 一次相遇，
两人走的路程差为2S，第二次相遇两人走的路程差为4S，依次类推，可以得出：当第n< br>次追及相遇时，两人的路程差为2ns。

“直线型”总结(熟记)
①两岸型：
第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是(2n-1)S。
第n次背面追及相遇，两人的路程差是(2n-1)S。
②单岸型：
第n次迎面碰头相遇，两人的路程和为2ns。
第n次背面追及相遇，两人的路程差为2ns。
3

下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：
{模型一}：根据2倍关系求AB两地的距离。
【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲 从A，乙从B同时出发，第一次相
遇点距B60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、 B相距多少米？
A、150 B、170 C、180 D、
200
【答案及解析】B。如下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的 距离为
60，Ab的距离为10。以乙为研究对象，根据2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即为60×2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=110米，则AB距
离为110+60=170米。

{模型二}：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。
【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5
米。
两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时
间，则
从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次？
A、2 B、3 C、4 D、5
4

{模型三}：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。
【例3】甲、乙两 车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每
小时行20千米，乙车每小时行50千 米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相
距60千米，
则A、B相距多少千米？
A、95 B、100 C、105 D、
110
【答案及解析】C。走相同时间内，甲乙走的路程 比为20：50=2：5。将全程看成7
份，则第一次相遇走1个全程时，甲走2份，乙走5份。以甲为 研究对象(也可以以乙)，
第10次迎面相遇走的全程数为2×10-1=19个，甲走1个全程走2份 ，则走19个全程
可走19×2=38份。7份是一个全程，则38份共有38÷7=5…3份(当商是 偶数时从甲的
一端数，0也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第1个全程在乙的一端，第2个全程在甲的一端)从乙端数3份。同理当第18次相遇，甲走的份数为(2×18-1)×2=70
份。共有70÷7=10个全程，10为偶数在甲的端点。如下图：

则第10次相遇与第18次相遇共有4份为60千米，所以AB长为(604)×7=105千
米。
5

点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全 程的份数，找一个为研
究对象，看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数 ，将
研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数
从哪 一端数。
【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每
小时行
45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40
千米，
则A、B相距多少千米？
A、90 B、180 C、
270 D、110
【答案及解析】A。法一：同上题。 相同时间，甲、乙路程比为45：36=5：4，则将
全程分成9份。则一个全程时甲走5份，乙走4份 。以甲为研究对象，第2次相遇，走
的全程数为2×2-1=3个，则甲走的份数为3×5=15份，一 个全程为9份，则第2次相
遇甲走的份数转化为全程的个数为15÷9=1…6份，则从乙端数6份。第 3次相遇走的
份数为(2×3-1)×5=25份，转化为全程的个数为25÷9=2…7，则从甲端数 7份。如下
图：

由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米，则AB相距(404)×9=90千米。
法二 ：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。
将速度转化为相同路程的 条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的
路线图，两人走的路线图相交的点即为两人 相遇的地点。s-t图中的路线因像古代记时
间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中，甲、乙走到端点用 的时间比为36：45=4：5。
如下图：
6

根据路线图看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点E和O，根据三角形相似，可
得CE: EG=3:6=1:2，则求得第2次相遇距A地的比例为S3，同理DO:ON=7：2，则第3
次相 遇距A地的比例为7S9，则两次相遇比例为
千米。
为40千米，则S=90
点 评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则会直观快速的提高解题速度。用交点判断
是迎面相遇还是背面相遇 的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则
说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇 。
用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量
时间 ，不利于提高速度；画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻
度画大。
{模型四}：告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用s-t图形成“沙漏”模型速解。
【例5】A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时。甲步
行，每
分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米。则甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地
最近。
A、1 B、2 C、
3 D、4
7

【答案及解析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到 端点用的时间比为150：40=15：4，
半小时两人共走的全程数为
则是迎面第三次相遇( 由前边公式推出)画出s-t图：
个。对于单岸型，相遇6个全程，

观察上图 可知，可第3次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇(交点由同一点
引出)。而在三次迎面相遇中第 2次相遇离B地最近，并且可根据三角形相似求出离B
地的距离。
【例6】河道赛道长120米，水流速度为2米秒，甲船静水速度为6米秒，乙船
静水速度
为4米秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒
后甲、
乙船第二次迎面相遇？
A、48 B、50 C、52 D、54
【答案及解析】C。由题知，得出如下关系：

甲
乙
顺流
8(15)
6(20)
逆流
4(30)
2(60)
注：( )中为走完全程的时间。
8

假设A到B是顺流，由上表可知甲、乙两人第2次迎面相遇共有4个全程。由于甲< br>的速度快，则第2次相遇前甲已走了2个全程。共15+30=45秒。当第45秒时乙走了一
个 顺流全程20秒和25秒的逆流，走的路程为25×2=50米，则在剩余的70米内，甲乙
分别以顺流 和逆流相遇时间为t，则有70=(8+2)×t，求得t=7秒，则共用时间45+7=52
秒。

本题同样可用“沙漏模型”解决。根据上表中的速度关系，可得出一个全程时的时
间关系如下：

甲
乙
顺流
3
4
逆流
6
12
根据时间的关系，得出s-t图像，如下：

观察上图，可看出第二次迎面相遇在P点，以甲为研究对象计算时间，此时甲走了
一个顺流 ，一个逆流，另外EP段为顺流，根据三角形相似可求出走EP用的时间
EP:PN=EF:MN=7: 8，由上表，求出走EP用的时间为
15+30+7=52。

，则甲共走的时间为
9

二、环型
环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇(不可能背面 相遇)，
一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇(不可能迎面相遇)。分开讨论如下：
(一)甲、乙两人从A地同时反向出发：
如下图，一个周长分成4份，假设甲是顺时针每分钟走1 份到B，乙是逆时针每分
钟走3份到B，则第一次相遇两人走了1个周长，则再过1分仲，甲再走1份到 C，同
样乙走3份也到C，则第二次相遇共走了2个周长，依次类推，可得出：第n次迎面相
遇 共走了n圈。

(二)甲、乙两人从A地同时同向出发：
如下图，全程分 成4份。假设甲、乙两人都是顺时针同时出发，甲每分钟走1份，
乙每分钟走5份，则1分钟后两人在B 处第一次背面追及相遇，两人走的路程差为1个
周长。再过1分钟后，甲到C处，乙也到C处，两人第二 次背面追及相遇，多走的路程
差同样为一个周长，依次类推，可以得出：第n次背面追及相遇，路程差为 n圈。
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环型多次相遇问题相对比较简单，当 甲、乙不在同一地点出发时相对具有难度。比
如在直径两端出发。考生可通过下面的例题把握。
【例1】老张和老王两个人在周长为400米的圆形池塘边散步。老张每分钟走9米，
老王 每分钟走16米。现在两个人从同一点反方向行走，那么出发后多少分钟他们第三
次相遇？
A、33 B、45 C、48 D、56
【 答案及解析】C。第一次迎面相遇时间为400÷(9+16)=16，则第三次迎面相遇时
间为16× 3=48。
【例2】小明、小亮从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相< br>遇时，小明转身往回跑；再次相遇时，小亮转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和
小亮两人交 替调转方向，小明速度3米秒，小亮速度5米秒，则在两人第30次相遇
时小明共跑了多少米？
A、11250 B、11350 C、
11420 D、11480
【答案及解析】A。由题意知，第1次是迎面相遇，第2次是背面追及相遇，之后
都是迎面与背面相遇交替。则在30次相遇中，迎面相遇15次，背面相遇15次。迎面
相遇一 次用时为400÷(3+5)=50，背面相遇一次用时为400÷(5-3)=200，则30次相遇
共用时为
15×(50+200)=3750s，则小时在这段时间里跑的路程为3750×3=11250米。
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【例3】甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时 开始以匀速按相反方向绕
此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前6 0米处又
第二次相遇，则这个圆形场地的周长为多少米？
A、320 B、360 C、
420 D、480
【答案 及解析】D。如下图，假设甲、乙分别在直径A、B两端以顺时针和逆时针运
动。第1次相遇在C点距B 点100米，第2次相遇在D点，距A点60米。

当在直径端点两岸行走时，可将环型 转化为直线型，则第2次相遇每个人走的路都
是第1次相遇的2倍。以乙为研究对象，则从C到D走的路 是B到C的2倍，即200米，
因AD为60米，则CA为200-60=140米，所以半个周长为1 00+140=240米，周长为
240×2=480米。
总结
对于多次 相遇问题，近几年随着题目难度的上升，会逐渐成为考试的主角。考生在
备考中要有意识的培养上述几种 模型的解题技巧，尤其是直线型的多次相遇问题，对于
给定两者速度的题目，且相遇次数较少时能熟练运 用“沙漏模型”解题，可直观有效地
提高解题的速度。对于环型，不像直线型那么复杂，注意处理好相遇 次数，是迎面还是
追及相遇，运用公式可快速解题。最后希望上述几种模型的解题技巧对各位考生能起到
抛砖引玉的作用，同时祝各位充分备考的考生能取得一个理想的成绩！

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