自由落体与上抛的相遇问题的典型例题(8个)
江苏科技大学研究生-三八节搞笑祝福语
自由落体与上抛的相遇问题的典型例题（8个）
8-1、 一小球被以30ms的初速
度竖直上抛，以后每隔1s抛出一球，空气阻力可以忽略不
计，空中各球不会相碰。问：
（1）最多能有几个小球同时在空中？
（2）设在t=0时第一个小球被抛出，那么它应在哪
些时刻和以后抛出的小球在空中相遇而
过？（）
解：，小球在空中运动的时间为
时，将第一个小球抛出，它在第
末回到原处
，同时第七个小球即将被抛出。在第
六个小球抛出后第一个小球尚未返回原处时，空中只有6个小球，第
七个小球抛出时，第一
个小球已经落地，所以空中最多只有6个球。
第一个球时抛出，而第个球在后抛出，则在某一时刻这两个球的位移分别为
（1）
（2）
两小球在空中相遇的条件是其位移相等，即
整理得
后抛出的小球在空中相遇而过的那个时刻。
其中表示第一个小球和
当时，，这是与第二个小球相遇而过的时刻；
当
当
当
当
时，
时，
时，
时，
，这是与第三个小球相遇而过的时刻；
，这是与第四个小球相遇而过的时刻；
，这是与第五个小球相遇而过的时刻；
，这是与第六个小球相遇而过的时刻。
图像，如图所除上述分析计算法之外，还可用图像法解
决本题。根据题意，定性画出
示，根据各球图像的交点及相应的坐标，可以看出：每一个
小球在空中能与5个小球相遇，
时间依次是
以迎刀而解。
，，，，。当然第一问同样可
8-2. 一矿井深125m，在井口每
隔一段时间落下一个小球，当第11个小球刚从井口开始下
落时，第1个小球恰好到达井底，则：
（1）相邻两个小球下落的时间间隔是 s；
（2）这时第3个小球与第5个小球相距 （g取10 m／s2）（答案 0.5；35 m
）
8-3.
A球自距地面高h处开始自由下落，同时B球以初速度v0正对A球竖直上抛，空气阻
力不计。问：
（1）要使两球在B球上升过程中相遇，则v0应满足什么条件？
（2）要使两球在B球下降过程中相遇，则v0应满足什么条件？
解析：两球相遇时位移之和等于h。即：gt2+（v0t－gt2）=h 所以：t=
而B球上升的时间：t1=，B球在空中运动的总时间：t2=
（1）欲使两球在B球上升过
程中相遇，则有t＜t1，即
（2）欲使两球在B球下降过程中相遇，则有：t1＜t＜t2
＜，所以v0＞
即＜＜ 所以：＜v0＜
8-4. 如图所示，长L=7
5cm的静止直筒中有一不计大小的小球，筒与球的总
质量为4kg现对筒施加一竖直向下，大小为21
N的恒力，使筒竖直向下运动，
经t=0.5s时间，小球恰好跃出筒口。求：小球的质量。（g=10
ms2）
解：筒受到竖直向下的力作用后做竖直向下的匀加速运动，且加速度大于重
力加速度；而小球则是在筒内做自由落体运动，小球跃出筒口时，筒的位移
比小球的位移多一个筒的长
度。
设筒与小球的总质量为M，小球的质量为m，筒在重力及恒力的共同作用下竖直向
下做初
速为零的匀加速运动，设加速度为a；小球做自由落体运动设在时间t内，筒与小球的位移
分别为h1、h2（球可视为质点），如图所示。
由运动学公式得
又有：
，代入数据解得
又因为筒受到重力（M－m）g和向下作用力F，据牛顿第二定律
得
8-5. 如图所示，升降机以匀加速度a上升，当上升速度为v时，有一螺帽自升降机天花板上
松落，已知天花板距升降机底面为hm，求落至底面的时间。
解：选升降机为参考系，螺
帽受重力作用，相对加速度大小为g+a，竖直向下，相对运动可
视为以g+a为加速度的自由落体，有
所以为所求。
8-6、 杂技演员把三只球依次竖直向上抛出，形成连续的循环，在循环中，
他每抛出一球后，
再过一段与刚抛出的球在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，这样，在总的循
环过
程中，便形成有时空中有3个球，有时空中有两个球，而演员手中则有一半时间内有球，有
一半时间内没有球。设每个球上升的高度为1.25m，取
停留的时间是多少？
解：设一个
球每次在手中停留的时间为，则手中连续抛出两球之间的时间间隔为，
，求每个球每次在手中
而
对于同一个球，它连续两次自手中抛出的时间间隔则为
球有的时间停留在手中，则有
。在这段时
间内，此
的时间停留在空中，根据竖直上抛运动的规律得：
代入数值得：
，则它每次在手中停留时间为0.2S。 ∴
球一次竖直上抛运动的时间
8-7. 某升降机以1.6ms的速度匀速上升，机内一人自离
升降机地板6.5m高处将一小球释放，
球与底板间的碰撞无任何损失，则第一次反弹的最高点比释放点
高（或低）了多少？
解：设从放球到球与底板相碰需要时间t，放球时，球与底板的距离为h，升降机
速度为，
在此期间球下降距离，升降机上升距离为，如图所示，因此有
代入数据得
解之得（负根舍去）
这时球相对于地面
的速度为
而球相对于底板的速度
由题意知，球与底板碰撞前后速度大小不变，即球被弹回时，球
相对于底板的速度应为
11.4ms。由于升降机质量较小球大得多，所以碰撞对升降机速度不影响，仍
为向上，所以
碰撞后小球相对于地面向上的速度
由此可知球第一次上升的高度为
因而第一次回跳的最高点比释放点高出的距离为
8-8. 将两小石块A、B同时竖直上抛，A上升的最大高度比B的高出35m，返回地面的时
间比B迟2s。问：
（1）A、B的初速度分别为多少？
（2）A、B分别达到的高度最大值各为多少？（
解析：设A、B初速度分别为、
）
、，A、B上升到，二者上升的最大高度分别为
最高点所经历的时间依次为、。在最高点，有
将两式代入得，
由题意知
所以