日全食过程-监理年终总结

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六、环形跑道相遇问题
例1.在一 个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，
再过6分钟甲到B点，又过 10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多久?
解析：设跑到全长为S，甲乙第一次相遇共同走了A B，第二次相遇走了S+AB，第一
次相遇两人走了8分钟，第二次相遇又走了6+10=16分钟，故 两人共同走AB时间是走全
长S时间的一半，根据速度和不变情况下，时间与路程成正比，故AB=0. 5S，甲走AB用
时6+8=14分钟，故甲环形一周用时28分钟。
（16+6）÷8=2 （全程是AB的2倍）
（6+8）×2=28（分钟）
答：甲环行一周需要28分钟。 < br>2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。如果他们同时出
发，并在甲 跑完60米时第一次相遇，在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的
长度?
解析， 由上题的方法可知，甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半，而此时甲跑了60*3=180
米，已跑了全长 减去80米，故1.5S=S-80+180，解得全长S等于200米。
解：设全长为x米。
1.5x=x-80+60×3
X=200
答：跑道的长度为200米。
例3.甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是
每秒钟2 米。如果他们同时分别从直路的两端出发，10分钟内共相遇了几次?
分析：第一次相遇时行一个全程 ，用时：90÷(2+3)=18S；此后每次相遇都行两个全
程，都用时18×2=36秒，(600 -18)÷36=16……4，故10分钟内二者相遇了16+1=17次。
90÷(2+3)=18（秒）
(10×60-18)÷（18×2）=16……4
16+1=17（次）
答：10分钟内共相遇了17次
例4.甲、乙在椭圆形跑道 上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈
回到出发点立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时 ，乙的速度是甲的速度的23，甲跑第二
圈时速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度比第一圈提高 了15，已知甲、乙二人
第二次相遇点距第一次相遇点190米，这条椭圆形跑道多长?
解析 ：如下图所示，A点为出发点，因跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的23，故
第一次相遇点B距A为全 程的35，当甲跑完一圈到达A点时，乙到达C点，距离A点为
13，此时甲加速13，甲乙速度比变为 2:1，故当乙跑完一圈到达A点时甲到达了C点，
二者距离为全程的13，此时乙加速15，甲乙速度 比变为4:125=5:3，此时变为路程为
全长13的相遇问题，当甲乙第二次相遇时，乙走了全长1 3的38，也就是全长的18，
所以两次相遇点之间距离BD为全长的35-18=1940，故椭圆形 跑道全长为190÷
1940=400米。
全程的13的相遇时乙返回的路程：【2×（1+
×
111
）】÷【3×（1+）+2×（1+）】
535
11
=
38
190÷（
31
-）=400（米）
23
8

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答：椭圆形跑道全长为400米。
例5.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米。 甲、乙两人分别从A、B两点同时
出发，按逆时针方向跑步。甲5米秒，乙4米秒。每人每跑100米， 都要停10秒钟。
那么，甲追上乙需要多少秒钟?
分析：100÷(5-4)=100秒，1 00×5=500（米），500÷100-1=4（次）一共休息4次。
用时100+4×10=14 0秒。
而乙行了100×4=400米，400÷100-1=3次，用时100+3×10=130 秒，乙休息10秒
后刚要跑，此时甲追到，所以，甲追上乙用时100+4×10=140（秒）。
100÷(5-4)=100（秒）
100+（100×5÷100-1）×10=140（秒）
答：甲追上乙需要140秒钟。
例5.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走80
米。如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之
后,3人又 可以相聚在跑道上同一处?
分析：甲走完一周需要时间：300÷120=2.5（分钟），乙走完一 周需要时间：300÷100=3
30
（分钟），那么再次相聚在跑道同一处的时
8< br>30
间为这三个时间的最小公倍数：[2.5,3,]=30(分钟)
8
30
甲：300÷120=2.5（分钟） 乙：300÷100=3（分钟） 丙：300÷80=（分钟）
8
30
[2.5,3,]=30(分钟)
8
（分钟），丙走完一周需要时间：300÷80=
答：30分钟之后,3人又可以相聚在跑道上 同一处。
例6.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲
走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是
多少分钟?
分析：甲行走45分钟，再行走70-45=25分钟即可走完一圈。而甲乙两人行45分钟
相 遇即两人共同走完一圈，所以甲行25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程。甲行走
一圈需70分钟 ，所以乙需：70÷25×45=126（分钟）。
70÷（70-45）×45=126（分钟）
答：乙走一圈的时间是126分钟。
例7.林琳在450米长的环形跑道上跑一圈，已知她前 一半时间每秒跑5米，后一半
时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？
解：设总时间为x秒。
xx
×5＋×4=450
22
9x=900
x=100
100×
1
=50（秒）
2
答：她后一半路程跑了50秒。
例8.甲、乙两人同时从400米的环形路跑道的 一点A背向出发，8分钟后两人第三次
相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，两人第三次相遇的 地点与A点沿跑道上的最

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短距离是多少？
分析：甲、乙两人三次相遇，共行了三个全程，即是3×400=1200（ 米）。根据题意，
甲乙两人的速度和为1200÷8=150（米分）
因为甲乙两人的每分速 度差为0.1×60=6（米分），所以甲的速度为（150+6）÷2=78
（米分）甲8分钟行的路 程为78×8=624（米），离开原点624-400=224米，因为224>4002，
所以40 0-224=176（米）即为答案。
0.1×60=6（米分）
甲速：（3×400÷8+6）÷2=78（米分）
78×8-400=224米>4002
400-224=176（米）
答：两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是176米。
基本习题：
1 .在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，10分钟后两人相遇，
再过8分钟甲到B 点，又过12分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多久?
2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步 ，出发点在圆直径的两端。如果他们同时出
发，并在甲跑完120米时第一次相遇，在乙跑一圈还差16 0米时两人第二次相遇，求跑道
的长度?
3.甲乙两人在相距180米的直路上来回跑步，甲 的速度是每秒钟5米，乙的速度是每
秒钟4米。如果他们同时分别从直路的两端出发，10分钟内共相遇 了几次?
1.
解析：设跑到全长为S，甲乙第一次相遇共同走了AB，第二次相遇走了S+ AB，第一次相遇两人走了
10分钟，第二次相遇又走了8+12=20分钟，故两人共同走AB时间是 走全长S时间的一半，根据速度和
不变情况下，时间与路程成正比，故AB=0.5S，甲走AB用时6 +8=14分钟，故甲环形一周用时28分钟。
（12+8）÷10=2 （全程是AB的2倍）
（10+8）×2=36（分钟）
答：甲环行一周需要36分钟。
2. 解析，由 上题的方法可知，甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半，而此时甲跑了120×3=360米，
已跑了全长 减去160米，故1.5S=S-160+360，解得全长S等于400米。
解：设全长为x米。
1.5x=x-160+120×3
X=400
答：跑道的长度为400米。
3.分析：第一次相遇时行一个全程，用时：180÷(5+4 )=20S；此后每次相遇都行两个全程，都用时
20×2=40秒，(600-20)÷40=14… …20，故10分钟内二者相遇了14+1=15次。
180÷(5+4)=20（秒）
(10×60-20)÷（20×2）=14……20
14+1=15（次）
答：10分钟内甲乙共相遇了15次。
4.甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发 反向而跑，每人跑完第一圈回到
出发点立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的35 ，甲跑第二圈时
速度比第一圈提高了15，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了13，已知甲、乙二人第二
次相遇点距第一次相遇点218米，这条椭圆形跑道多长?
5.在400米环形跑道上，A、 B两点相距200米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出
发，按逆时针方向跑步。甲5米秒，乙4米秒 。每人每跑100米，都要停10秒钟。那
么，甲追上乙需要多少秒钟?
6.
甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走
一圈的时间是140 分钟，如果在出发后90分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是

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多少分钟?
4.解析：如下图所示，A点为出发点，跑第一圈时，乙 的速度是甲的速度的35，故第一次相遇点B
距A为全程的58，当甲跑完一圈到达A点时，乙到达C点 ，距离A点为25，此时甲加速15，甲乙速
度比变为2:1，故当乙跑完一圈到达A点时甲到达了全程 的45点，二者距离为全程的15，此时乙加速
13，乙甲速度比变为【3×（1+
11
）】:【5×（1+）】=2:3。此时变为路程为全长15的相遇问题，当
35
甲乙第二次 相遇时，乙走了全长15的25，也就是全长的225，所以两次相遇点之间距离BD为全长的
58-2 25=109200，故椭圆形跑道全长为218÷109200=400米。下图中的数据不同，但可以判断出 它们
之间的关系。
全程的15的相遇时乙返回的路程：【3×（1+
11112）】÷【5×（1+）+3×（1+）】×=
353525
218÷（
52
-）=400（米）
53
25
答：椭圆形跑道全长为400米。
5.分析：200÷(5-4 )=200秒，100×5=500（米），500÷100-1=4（次）一共休息4次。用时100+4×10=140秒。
而乙行了100×4=400米，400÷100-1=3次，用时100+ 3×10=130秒，乙休息10秒后刚要跑，此时
甲追到，所以，甲追上乙用时100+4×10=1 40（秒）。
100÷(5-4)=100（秒）
100+（100×5÷100-1）×10=140（秒）
答：甲追上乙需要140秒钟。
6.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是140
分钟，如果在出发后90分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?
6.分析： 甲行走90分钟，再行走140-90=50分钟即可走完一圈。而甲乙两人行90分钟相遇即两人
共同 走完一圈，所以甲行50分钟的路程相当于乙行走90分钟的路程。甲行走一圈需140分钟，所以乙
需 ：140÷50×90=252（分钟）。
1400÷（140-90）×90=252（分钟）
答：
7.小军在450米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间
每秒跑4米，那么他的后一半路程跑了多少秒？
8.甲、乙两人同时从400米的环形路跑道 的一点A背向出发，8分钟后两人第三次相
遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，两人第三次相遇 的地点与A点沿跑道上的最短
距离是多少？
7.解：设总时间为x秒。
×5＋ ×4=450
9x=900
x=100
100× =50（秒）
答：她后一半路程跑了50秒。
8.分析：甲、乙两人三次相遇，共行了三个全程，即是3× 400=1200（米）。根据题
意，甲乙两人的速度和为1200÷8=150（米分）
因 为甲乙两人的每分速度差为0.1×60=6（米分），所以甲的速度为（150+6）÷2=78
（米 分）甲8分钟行的路程为78×8=624（米），离开原点624-400=224米，因为224>4002 ，
所以400-224=176（米）即为答案。
0.1×60=6（米分）
甲速：（3×400÷8+6）÷2=78（米分）
78×8-400=224米>4002