史蒂文斯理工-七月的天山教学设计

“双星”问题及天体的追及相遇问题
一、双星问题
1.模型构建：在天体运 动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、
周期相同的匀 速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个 反比关系：
m
1
r
1
＝
m
2
r
2
；
m
1
v
1
＝
m
2
v
2
；
m
1
a
1
＝
m
2
a
2

推导：根据两球的向心力大小相等可得，
m
1
ωr
1＝
m
2
ωr
2
，即
m
1
r
1
＝
m
2
r
2
；等式
m
1
r
1
＝
m
2
r
2
两边同乘以角速度
ω
，得
m
1
r
1
ω
＝
m
2
r
2
ω
，即
m
1
v
1
＝
m
2
v
2
；由
m
1
ω
2
r
1
＝
m
2
ω
2
r
2
直接可得，
m
1
a
1
＝
m
2
a
2
。
22
Gm< br>1
m
2
Gm
1
m
2
Gm
1
＋
m
2
ω
2
L
3
222
(4)巧妙求质量 和：
2
＝
m
1
ωr
1
①
2
＝
m
2
ωr
2
② 由①＋②得：＝
ωL
∴
m
1
＋
m
2
＝
LLL
2
G

4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”
(1)“两等”: ①它们的角速度相等。②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供， 即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的 一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它
们的轨道半径之和才等于它们间的 距离。
②由
m
1
ωr
1
＝
m
2
ωr
2
知由于
m
1
与
m
2
一般不相等，故
r
1
与
r
2
一般也不相等。

二、多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星 体外，各星体的角速度或周期相同．

(2)三星模型： ①三颗星位于同一直线上，两颗环 绕星围绕中央星在同一半径为
R
的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为
m
的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
22

(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星 位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．
②另一种是三颗 恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心
O
，外围三颗星绕
O
做 匀速圆周运动(如图丁所示)．

三、卫星的追及相遇问题
1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：
内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律：
内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的奇数倍。

3、对于天体追及问题的处理思路：
(1)根据
GMm
2
2
＝
mrω
，可判断出谁的角速度大；
r
(2)根据两星追上或相距最近时 满足两星运行的角度差等于2π的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于π的奇数倍。
在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。




题型一 双星规律的应用

【例题】2017 年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬X射线调制望远镜卫星“慧
眼 ”。“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国国X射线探测卫星的空白，实现我国< br>在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越。“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射 线暴等
致密天体和爆发现象。在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L，只在 彼此之间的万有
引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为（）
4

2
L
3
4

2
L
3
GL
3
4

2
T
3
A. B. C. D.
22222
GT3GT4

TGL
【答案】A
mmm2

2


2


【解析】对双黑 洞中的任一黑洞：
G
1
2
2
m
1

得< br>rG

1

r
1

2
LL
T

T

mmm
1

2


2


对另一黑洞：
G
1
2
2
m
2

得
rG

2

r
2

2
LL

T

T
m
2
m
1

2


2
< br>
又
r
1
r
2
L
联立可得：
G
2
G
2


r

1
r
2

LL

T

T

2
m
2
m
1


2



则
G
22
22
22
L
2
M

2


即
rr
G



12

L

2
T
LT

< br>2
4

2
L
3
双黑洞总质量
M
。 故A项正确。
2
GT
点睛：双星模型与卫星模型是万有引力部分的典型模型，要能熟练应用。 【类题训练1】引力波现在终于被人们用实验证实，爱因斯坦的预言成为科学真理．早在70年代有科学家发 现高速
转动的双星，可能由于辐射引力波而使质量缓慢变小，观测到周期在缓慢减小，则该双星间的距离 将（ ）
A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 可能变大也可能变小
【答案】B

【解析】:双星靠相互间的万有引力提供向心力,有:
mm

2


G
1
2
2
m
1
< br>r

r

T

mm

2


G
1
2
2
m
2

r

r

T

4

2
r
3
4

2
r
3
计算得出
m
1
m
2

,计算得出
T

GT
2
G
m
1
m
2

【类题训练2】因为双星的总质量减小,周期减小 ,可以知道双星间距离在减小. 所以B选项是正确的.
若某双星系统A和B各自绕其连线上的O点做 匀速圆周运动。已知A星和B星的质量分别为
m
1
和
m
2
， 相距为
d
，
下列说法正确的是（ ）
2
2

A. A星的轨道半径为
m
1
d

m
1
m
2
B. A星和B星的线速度之比为
m
1
：
m
2

C. 若 A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为
m

的星体对它的引力，则
m '
m
2
3

m
1
m
2
2

D. 若在O点放一个质点，它受到的合力一定为零
【答案】C
【解析】试题分析：双星系统是一个稳定的结构，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，角速度相等 ，
万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解．
双星系统中两个星体做圆周运动的周期 相同，即角速度相同，过程中，两者之间的引力充当向心力，故
G
m
2
m1
m
1
m
2
22
rrd
rdrd，A错误；两者的角速度相，又知道，解得，
m

rm

r
12
11
111222
2
mmmm
d
1212
v
1
v
2
vrm
mm

，即
1< br>
1

2
，B错误；
A
星受到的引力为
F G
1
2
2
，放在
O
点的星体对其的引力为
r
1
r
2
v
2
r
2
m
1
d
同，故有

3
m
2
m
1
m'm
1< br>m
2
m
1
m'm
2
，C正确；若在圆心
F' G
2
，两者等效，则有
G
2
G
2
，代入
r
1
d
可得
m'
2
r
1
dr
1
m
1
m
2

m
1
m
2< br>
Gm
0

m
1
m
2


m
1
m
2

mmmm
处放一个质点，合力
FG
1
2
0
G
2
2
0


2

2

0
，D错误．
r
1
r
2
d
2

m
2
m
1

2
题型二 追及问题原理的理解
【例题】太阳系中某行星运行的轨道半径为
R
0
，周期为
T
0
．但科学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔
t
0
时间发生一次最大的偏离．天文学家认 为形成这种现象的原因可能是该
行星外侧还存在着一颗未知行星，则这颗未知行星运动轨道半径为 ( )
3
A．
RR
0
(
t
0
t
)
2
B．
RR
0
0

t
0
T
0
t
0
T
3
2
t
0

t
0
T
0
3
C．
RR
0

t-T
(
00
)
2
D．
RR
0
t
0
【解析】：由题意可知轨道之所以会偏离那是因为受到某颗星体万有引力的作用相 距最近时
万有引力最大偏离程度最大。设未知行星的周期为
T
则：
t0
t
0
tTR
R
1
则
T
00< br>根据开普勒第三定律

2
得
RR
0
T
0< br>T
t
0
T
0
TT
3
0
2
0
3
3
(
t
0
)
2
选A
t0
T
0
【类题训练1】将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方 向绕行的匀速圆周运动，已知火星的轨道
半径
r
1
2.310m
，地球的轨道半径为
r
2
1.510m
，根据你所掌握的物理和天文知识 ，估算出火星与
地球相邻两次距离最小的时间间隔约为
A．1年 B．2年 C．3年 D．4年
3
1111
r
1
3
r
【 解析】已知地球绕太阳的公转周期为
T
1
1年
设火星的公转周期为
T
2
根据开普勒第三定律
2

2
2
得
T< br>1
T
2
TT
r
tt
1
化简得
t
12
2年

T
2
T
1(
2
)
3
2年
又根据

T
2
T
1
T
1
T
2
r
1
【类题训练 2】如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星
的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T
0
．某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻 起到A、B间距离最远所
经历的最短时间为（ ）

A.
2

T
0
3
k1

B.
T
0
k1
3
C.
2

T
0
3
k1

D.
T
0
k1
3

【答案】C
33
rA
r
B
【解析】由开普勒第三定律得：
2

2
，设两卫星至少经过时间t距离最远，即
B
比
A
多转半圈，
T
A
T
B
tt1
n
B
n
A

，又
T
A
T
0
，解得：
t
T
BT
A
2
2

T
0
3
k1

，故选项C正确。
点睛：本题主要考查了开普勒第三定律的直接应用，注意只有围绕同一个中 心天体运动才可以使用开普勒第三定律。
【类题训练3】如图所示，
A
为太阳系中的 天王星，它绕太阳
O
运行的轨道视为圆时，运动的轨道半径为
R
0
， 周期
为
T
0
，长期观测发现，天王星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离， 且每隔
t
0
时间发生一次最大偏离，即轨道半
径出现一次最大．根据万有引力 定律，天文学家预言形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知的行
星(假设其运动轨道与
A
在同一平面内，且与
A
的绕行方向相同)，它对天王星的万有引力引起天王 星轨道的偏离，
由此可推测未知行星的运动轨道半径是( )

A. < br>
t

tT

t

t
0R
0
B.
R
0

0

C.
R
0
3

00

D.
R
0
3

0


t
0
 T
0

t
0
T
0

t
0
t
0
T
0

322
【答案】D
T
0
2
R
0
2
t
0
t
0
t
0
T
0
T
0

，根据开普勒第三定律：2

2
，【解析】设未知的行星的周期为T，依题意有：
1
，则
t
0
T
T
0
T
TR

t0

联立解得：
RR
0
3

，D正确，A BC错误．故选：D。

t
0
T
0

【类题训 练4】如图建筑是厄瓜多尔境内的“赤道纪念碑”。设某人造地球卫星在赤道上空飞行,卫星的轨道平面与
地球赤道重合,飞行高度低于地球同步卫星。已知卫星轨道半径为r,飞行方向与地球的自转方向相同,设地球 的自转
2

角速度为ω0,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,某时刻卫星 通过这一赤道纪念碑的正上方,该卫星过多长时
间再次经过这个位置?( )

A.
2

gR
r
3
2
B.
2


0

gR
r
3
2
C.
2


0
-
gR
r
3
2
D.
2

gR
-

0
r
3
2

【答案】D
【解析】试题分析：在地球表面重力与万有引力大小相等，根据卫星的轨道半径求 得卫星的角速度，所以卫星再次
经过这个位置需要最短时间为卫星转动比地球转动多一周，从而求得时间
Mm
2
对卫星，万有引力充当向心力，故
G
2
m

2
r
，结合黄金替代公式
GMgR
可得卫星的角速度为


r
所以当卫星再次经过该建筑物上空时，卫星比地球多转动一周，故有




0

t2

，解得
t
gR
2
，
r
3
，D正
2

gR< br>

0
3
r
2
确．