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追及相遇问题专题总结

一、 解相遇和追及问题的关键
（1）时间关系 ：
t
A
t
B
t
0
（ 2）位移关系：
x
A
x
B
x
0


（3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临
界条 件，也是分析判断的切入点。
二、追及问题中常用的临界条件:
1、速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离；
2、速度大者减速追赶 速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之
前追上,否则就不能追上： （1）当两者速度相等时，若追者仍没有追上被追者，则永远追不上，此时两者之间有最小
距离。
（2）若两者速度相等时恰能追上，这是两者避免碰撞的临界条件。
（3）若追者追上被追者 时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的
机会，即会相遇两次。
二．几种典型的追击、相遇问题
在讨论A、B两个物体的追击问题时，先定义几个物理量，< br>x
0
表示开始追击时两物体之
间的距离，
x
表示开始追及以 后，后面的物体因速度大而比前面物体多运动的位移；
v
1
表
示运动方向上前 面物体的速度，
v
2
表示后面物体的速度。下面分为几种情况：
1． 特殊情况：同一地点出发，速度小者（初速度为零，匀加速运动）追击速度大者（匀
速运动）。

（1）当
v
1
v
2
，A、B距离最大。
（2）当两者位移相等时,有
v
1
2v
2
且A追上B。
（3）A追上B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍，
t
1
2 t
2
。
（4）两者运动的速度时间图像

2． 速度小者（
v
2
）追击速度大者（
v
1
）的一般情况

类型
匀加速追匀速
图象 说明
①t=t
0
以前，后面物体与前
面物体间距离增大
②t=t
0
时，两物体相距最远
为x
0
+Δx

③t=t
0
以后，后面物体与前
面物体间距离减小
④当两者的位移相同时，
能追及且只能相遇一次。


匀速追匀减速
匀加速追匀减速

3． 速度大者（
v
2
）追速度小者（
v
1
）的一般情况
匀减速追匀速 开始追及时，后面物体与
前面物体间的距离在减小，当
两物体速度相等 时，即t=t
0
时
刻：

匀速追匀加速
①若Δx=x< br>0
,则恰能追及，
两物体只能相遇一次，这也是
避免相撞的临界条件；
②若Δx此时两物体最小距离为x
0
-Δ
x；

匀减速追匀加速

③若Δx>x
0
，则相遇两次，设< br>t
1
时刻Δx
1
=x
0
，两物体第一次
相遇 ，则t
2
时刻两物体第二次
相遇。



追击与相遇问题专项典型例题分析

(一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v
1
< v
2
）：v
1
< v
2
时，两者距离变大；v
1
= v
2
时，
两者 距离最大；v
1
>v
2
时，两者距离变小，相遇时满足x
1
= x
2
+Δx，全程只相遇(即追上)一次。
【例1】一小汽车从静止开始以3m s
2
的加速度行驶，恰有一自行车以6ms的速度从车边匀
速驶过．求：(1)小汽车 从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是
多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？
（1）2s,6m
(2)4s，12ms


【针对练习】一辆执勤的警车停在公路边，当警 员发现从他旁边驶过的货车（以8ms的速
度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s将警 车发动起来，以2ms2的加速度
匀加速追赶。求：①发现后经多长时间能追上违章货车？②追上前，两 车最大间距是多少？
(1）10s
(2)36m


(二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v
1
> v
2
）：v
1
> v
2
时，两者距离变小；v
1
= v
2
时，
①若满足x
1
< x
2
+Δx，则永远追 不上，此时两者距离最近；②若满足x
1
=x
2
+Δx，则恰能追上，
全程只相遇一次；③若满足x
1
> x
2
+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全
程要相遇两次。 < br>【例2】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3ms2的加速度开使行驶，恰在这
时一 辆自行车在汽车后方相距20m的地方以6ms的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？
若追不上，两 车间的最小间距是多少？
（1）不能追上，14m



例2中若汽车在自行车前方4m的地方，则自行车能否追上汽车？若能，两车经多长时间相
遇？

(三)．匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v
1
> v
2
）：v
1
> v
2
时，两者距离变小；v
1
= v
2
时，
①若满 足x
1
2
+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x
1
= x
2
+Δx，则恰能追上，
全程只相遇一次；③若满足x
1
> x
2
+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全
程要相遇两次。
【例3】汽车正以10ms的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4ms 的
速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 ms
2
的匀减速运动，
汽车恰好不碰上自行车。求关闭油门时汽车离自行车多远？

3m


特别注意：若被追者做匀减速直线运动，要注意追上之前是否已经停止运动
【例4】甲车在前 以15ms的速度匀速行驶，乙车在后以9ms的速度行驶。当两车相距32m
时，甲车开始刹车，加速 度大小为1ms2。问（1）两车间的最大距离（2）经多少时间乙车
可追上
(1)48m
(2)16.06s



(四)．匀速运动追匀减速运动的情况（开始时v
1
< v
2
）：v
1
< v
2
时，两者距离变大；v
1
= v
2
时，
两者距 离最远；v
1
>v
2
时，两者距离变小，相遇时满足x
1
= x
2
+Δx，全程只相遇一次。
【例5】当汽车B在汽车A前方7m时，A正以v
A
=4ms的速度向前做匀速直线运动，而汽
车B此时速度v
B
=10ms， 并关闭油门向前做匀减速直线运动，加速度大小为a=2ms
2
。此
时开始计时，则A 追上B需要的时间是多少？

8s

【针对训练】在一条 平直的公路上，乙车以10ms的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初
速度为15ms，加速度大小为 0.5ms2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可
以使(1)两车不相遇；(2)两车只 相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的
运动).

答案】能追上。
设经过t追上；则有x汽+x0=x自；
3×t22+4=6t
得t=(6±2√3)3s，二次相遇



















综合问题：

随练1.1 甲、乙两车在同一水平道路上，一前一后相距x=6m，乙车在前，甲车 在后，某时
刻两车同时开始运动，两车运动的过程如图所示，则下列表述正确的是（ ）

A． 当t=4 s时两车相遇
B． 当t=4 s时甲车在前，乙车在后
C． 两车有两次相遇
D． 两车有三次相遇
【答案】B D
【解析】 A、B速度时间图象与时间轴围成的面积可表示位移，则0-4s，甲的位移为x
甲
=
11
×（16+8）×4m=48m，乙的位移为x
乙
=×（1 2+8）×4m=40m，因为x
甲
＞x
乙
+x，当t=4s
22< br>时，甲车在前，乙车在后，相距2m．所以当t=4s时两车不相遇，第一次相遇发生在4s之
前 ．故A错误，B正确．
C、0-6s，甲的位移为60m，乙的位移为54m，两车第二次相遇，6s 后，由于乙的速度大于
甲的速度，乙又跑到前面，8s后，由于甲的速度大于乙的速度，两车还会发生第 三次相遇，
故C错误，D正确．
故选：BD
1. 甲、乙两车在同一路面上平行同 向匀速行驶．甲车的速度为v
1
=16ms，乙车的速度为
v
2
=1 2ms，乙车在甲车的前面．某时刻两车相距L=6m，同时开始刹车，甲车的加速度为以
22
a
1
=2ms，t=6s后立即改做匀速运动，乙车刹车的加速度为a
2
=1 ms．求：
（1）甲车开始匀速时，乙车的速度v；
（2）两车第一次速度相等时甲车的位移x；
（3）从两车开始刹车到乙车减速至0的过程中，两车历次相遇的时间．
【答案】 （1） 甲车开始匀速时，乙车的速度v为6ms（2）两车第一次速度相等时甲车
的位移x为48m（3）从两 车开始刹车到乙车减速至0的过程中，两车历次相遇的时间2s
或6s
【解析】 （1）设经过时间t=6s，甲车开始匀速，此时乙车的速度为：
v
乙
=v
2
a
2
t12166ms

（2）设经过时间t，甲乙两车第一次速度相等，有：
v
1
a
1
tv
2
a
2
t

代入数据：16﹣2t=12﹣t
解得：t=4s
11
甲车的位移为：< br>x
甲
=v
1
ta
1
t
2
=
16424
2
=48m

22

（3）设两 车经过时间t后相遇，则根据位移关系有：
x
甲
=x
乙
L

11
v
1
ta
1
t
2
v
2< br>ta
2
t
2
L

22
6s时甲乙在同一 位置，甲车速度
v
1

v
1
a
1
t 16264ms

乙车速度：
v
2

v
2
a
2
t12166ms

再经t′相遇
1v
1

t

v
2
t

a
2
t

2

2
得t′=4s
所以第三次相遇时刻
t
3
6410s

代入数据解得：t=2s或t=6s或10s．

2. 一列火车和一辆汽车沿同一 方向做匀变速直线运动，速度分别为v
1
和v
2
．t=0时刻，火
车 在汽车前方26m处，此后v
1
、v
2
在各个时刻的大小如表所示．根据表格 中的数据，通过计
算求：
ts
﹣1
v
1
m•s
﹣1
v
2
m•s


（1）两车经过多长时间相距最大？此时最大间距是多少？
（2）经过多长时间两车相遇？
（3）两车初始间距满足什么条件可以相遇两次．
【答案】 （1）4s；50m
（2）10s
（3）两车初始间距小于24m可以相遇两次
【解析】 （1）由表格知，火车做匀减速直线运动，加速度为：
a
1
=
Δv14-1 6
=ms
2
=-2ms
2

Δt1
Δv'5

4
=ms
2
=1ms
2

Δt'1
0
16.0
4.0
1
14.0
5.0
2
12.0
6.0
3
10.0
7.0
4
…
…
5
…
…
汽车做匀加速直线运动，加速度为：
a
2
=
开始时，火车的速度大于汽车的速度，并且火车在前，所以两者间距增 大，当两者速度相等
时，相距最远．
设共速所需时间为t
v′
1
=v
1
+a
1
t=16﹣2t
v′
2
=v
2
+a
2
t=4+t
另v′
1
=v′
2
，解得t=4s
此时，火车的位移：

11
s
1
v
1
ta
1
t
2
16424
2
mm48m

22
汽车的位移：
11
s
2
v
2
t a
2
t
2
4414
2
mm24m

22
两车最大距离：
△s=s
1
+26﹣s
2
=48+26﹣24m=50m
（2）火车做匀减速直线运动，停下来所用的时间为t
1
：


汽车的位移：
此时，汽车还未追上火车．设t
2
时刻追上，则：


整理得：
解得：t
2
=10s
（3）首先，若要相遇两次，一定要汽车在前．
其次，考虑临界情况，如果两车达到共速时，正好相遇，
此时：△s′=s
1
﹣s
2
=48﹣24m=24m
若两车距离小于这个值，则两车可以相遇两次．
答：（1）两车经过4s时间相距最大，此时最大间距是50m
（2）经过10s时间两车相遇
（3）两车初始间距小于24m可以相遇两次

3. 一辆长途客车正在以v=20ms的速度匀速行驶，突然，司机看见车的正前方x=45m处有< br>一只小狗（图1），司机立即采取制动措施．从司机看见小狗到长途客车开始做匀减速直线
运动的 时间间隔△t=0.5s．若从司机看见小狗开始计时（t=0），该长途客车的速度- 时间图
象如图2所示．求：
（1）长途客车在△t时间内前进的距离；
（2）长途客车从司机发现小狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
（3）根据你的计算结 果，判断小狗是否安全．如果安全，请说明你判断的依据；如果不安
全，有哪些方式可以使小狗安全．

【答案】 （1）10 m（2）50 m（3）不安全；①小狗沿车的前 进方向在4.5s内跑出5m以
上的距离②小狗沿垂直车运动的方向在4.5s内跑出的距离超过车的宽 度
【解析】 （1）公共汽车在司机的反应时间内做匀速直线运动，前进的距离
x
1
=v△t=20 ms×0.5s=10 m
（2）公共汽车从司机发现小狗至停止的时间内前进的距离
x
2
=x
1
+
11
vt=10m+×20×4s=50 m
22
（3）因为x
2
＞x，所以小狗不安全．
小狗不发生危险，可以采用如下的一些方式：
①小狗沿车的前进方向在4.5s内跑出5m以上的距离．
②小狗沿垂直车运动的方向在4.5s内跑出的距离超过车的宽度．

例1.1.12 甲乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲以初速度v
1
=16ms，
22
加速度a
1
=2ms做匀减速运动，乙以初速度 v
2
=4ms，加速度a
2
=1ms做匀加速运动．求：
（1）两车在此相遇前两者间的最大距离；
（2）两车在此相遇所需的时间．
【答案】 （1）24m
（2）8s
【解析】 解：（1）由题意知，两车在 相遇前距离最大时两车速度相等，故根据匀变速直线
运动的速度时间关系有：
v
甲
=v
1
﹣a
1
t
v
乙
=v
2
+a
2
t
当两车速度相等时有：
v
1
﹣a
1
t=v
2
+a
2
t
代入数据可得t=4s
11
所以此时甲车的位移
x
甲
=v
1
ta
1
t
2
16424
2
m
=48m
22
11
乙车的位移：
x
乙
=v< br>2
ta
2
t
2
4414
2
m< br> =24m
22
∴△x
max
=x
甲
﹣x
乙
=48m﹣24m=24m
（2）由题意知甲车运动时间为
t
甲
=
16
s8s

2
令在甲车停车前两车会相遇，根据位移时间关系有：
11
当两车相遇时满 足：
v
1
ta
1
t
2
v
2
t a
2
t
2

22
1
代入数据得：
16t t
2
4tt
2

2

解之得t=8s（另一值t=0不满足题意舍去）
因为t=8s≤t
甲

所以两车相遇所需的时间为8s．
答：（1）两车在此相遇前两者间的最大距离为24m；
（2）两车在此相遇所需的时间为8s．

5、（10分）如图所示，直线MN表示 一条平直公路，甲、乙两辆汽车分别停在A、B两处，
AB=85m，现甲车开始以a
1
=2.5ms
2
的加速度向右做匀加速直线运动，当甲车运动t
0
=6s时 ，
乙车开始以a
2
=5ms
2
的加速度向右做匀加速直线运动，求两 车相遇处到A处的距离．


5、（10分）解：甲车运动t
0
=6s的位移为：
，
说明t
0
=6s甲车尚未追上乙车．（2分）
设此后甲车经过时间t与乙车相遇，
则有：
代入数据并整理得：t
2
﹣12t+32=0
解得：t
1
=4s t
2
=8s（2分）
（1）当t
1
=4s时，甲车追上乙车，第一次相遇处到A的距离为
（2分）
（2）当t
2
=8s时，乙车追上甲车，第二次相遇处到A的距离为
（2分）
答：第一次相遇处到A的距离为125m，第二次相遇处到A的距离为245m。
6. 甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶，甲车的速度为v
1
＝16 ms，乙车的速度
为v
2
＝12 ms，乙车在甲车的前面。当两车相距L＝6 m时，两车同时开始刹车，从此时开
始计时，甲车以a
1
＝2 ms
2
的加速度刹车，6 s后立即改做匀速运动，乙车刹车的加速度为
a
2
＝1 ms
2
。求：
(1)从两车刹车开始计时，甲车第一次追上乙车的时间；
(2)两车相遇的次数；
(3)两车速度相等的时间。
【答案】 (1)2 s (2)3次 (3)4 s和8 s
（2分）

解得Δt＝4 s
此时乙仍在做减速运动，此解成立
综合以上分析知，甲、乙两车共相遇3次。
(3 )第一次速度相等的时间为t
3
，有v
1
－a
1
t
3
＝v
2
－a
2
t
3

解得t
3
＝4 s
甲车匀速运动的速度为4 ms，第二次速度相等的时间 为t
4
，有v
1
′＝v
2
－a
2
t
4

解得t
4
＝8 s
7. 某物理小组进行如下实验：如图(a)所示，在光滑的水平轨道上停放相距x
0
＝10 m的
甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车．在弹射装置使甲车获得v
0
＝40 ms的 瞬时速度向乙车
运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了 速
度，测绘装置得到了甲、乙两车的v-t图像如图(b)所示，设两车始终未相撞．
(1) 若甲车的质量与其加速度大小的乘积等于乙车的质量与其加速度大小的乘积，求甲、
乙两车的质量比；
(2) 求两车相距最近时的距离。

【答案】(1)1∶3 (2)4.0 m
40－10
【解析】(1)由图像可知，a
甲
＝ ms
2

t
1
10－0
a
乙
＝ ms
2

t
1

（40＋10）t
1
10t
1
车的位移等于v- t图线与坐标轴所围面积，有x
甲
＝ m＝7.5 m x
乙
＝
22
m＝1.5 m两车相距最近时的距离为x
min
＝x
0
＋x
乙
－x
甲
＝4.0 m