防空日-订婚祝福语

圆周运动中的追及相遇问题

众所周知，巧选参考系，利用相对运动法解决两 物体的追击和相遇问题，往往十分快
捷简便。在圆周运动中，利用“相对角速度”处理追击和相遇问题， 就是这种思想方法的拓
展妙用。
【例1】（2010年上海）如图，三个质点a、b、c质量 分别
为、、（
Mm
1
，
Mm
2
）。在C的 万有引力作用
下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨
道半径之比,则它 们的周期之比=______；从
图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次 。
【解析】根据
题设
，得
:T
b
1:8
. ，所以
T
a
∷

a、b绕向相同，

a
＞

b
（类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一
段时间多跑一 圈追上并超过跑得慢的）。设每隔时间
t
，a、b、c共线一次，a相对b的角
速度为




a


b
，则



t
=
(

a

b
)t

设b运动一周的过程中共线
n
次，则
T
b
nt

联立解得：
n
T
b
(

a


b
)
T
b
(
2
T
a

2
T
b
)
2T
b
T
a
214


【答案】1:8,14

【例2】一颗卫星在地球赤道平面上空做匀 速圆周运动，距地面
高度等于地球半径
R
，其周期多大？若地球的自转周期为
T
0
,卫星的绕
行方向与地球自转方向相同，则地面赤道上任一处的雷达对该卫星“跟踪”（能进行电信号直传）的最长时间是多少？已知地球表面重
力加速度为
g
.
【解析】对卫星：
G
Mm
(2R)
2
2
2


m

2R

T
2R
g
利用
G
Mm
R
2
mg
，得：
T4


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由于卫星的角 速度比地球自转的角速度大，故卫星相对地面的角速度为



2

T

2

T
0
。
以地面赤道上一点A处 的雷达站为参考系，则卫星以角速度



2

T

2

T
0
B
A
O
C
绕 着旋转，雷达只能在如图中BC段（直线BC在
赤道平面内与地球相切于A）“捕捉”到卫星。由于0B2R
,
OAR
,故
BOC120
0
,A点 雷达对该卫星“跟踪”
2

（能进行电信号直传）的最长时间为
t
3



TT
0
3(T
0
T)

2

将
T4


2R
g
代 入上式，得：
t
3



4

T0
3(T
0
2R
2R)g4


【例3】如 图，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨
道半径为R，运转周期为T。 地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行
星的观察视角（简称视角）。已知该行星的 最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地
球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。若某时刻该行星 正好处于最佳观察期，问该行星下
一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？
【解析】由题意可得行星的轨道半径
rRsin


设行星绕太阳的运行周期为
T
，由开普勒大三定律有：
R
T
3
2


r
3
太阳
，得：
T

Tsin


3
2
T

行星
视角
地球
绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球



2

T


2

T

2

(1
T
sin

)
sin

3
3
某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情况：一是刚看到；
二是马上看不到,如图所 示。到下一次处于最佳观察期至少需经历时
间分别为
t
1

太阳
行星
θ
θ



2



(

2

)sin

2

(1sin

)
3
3
3
T

地球

t
2


2



(

2

)sin

2

(1sin

)
3
T

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【例4】从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一 平面上绕太阳做同
向圆周运动，火星轨道半径
r
火
为地球轨道半径
r
地
的1．50倍，简单而又比较节省能量的
发射过程可分为两步进行：
第一 步：在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力
作用成为一个沿地球轨 道运动的人造卫星(如图1)；
第二步：在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内 对探测器沿原方
向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分 别
在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上(如图2)。
当探测器脱离地球并沿地球公 转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火
星之间的角距离为60°（火星在前，探测器在 后），如图3所示。问应在何年何月何日点
燃探测器上的火箭发动机，方能使探测器恰好落在火星表面？ （时间计算仅需精确到日），
已知：






















3
3
；。
火星
火星
太阳
火星
探测器
地球
θ
太阳
探测器
地球
火星
图1
点火
60
0

太阳
地球
探测器
图2
图3
【解析】根据根据开普勒第三定律，可求出火星的公转周期T
火
：
r
火
T
火
2

r
地
T
地
2
，题设
r
火
1.5r
地
，
得：
T
火
（1.5）T
地
=1.840×365=671d
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3

初始相对角距离


=60。点火前，探测器 与地球在同一公转轨道同向运行，周期跟地
球的公转周期相同，故相对火星的角位移为

1


1
t
1
(
360< br>365
0
0

360
671
0
)t1

探测器在适当位置点火后，沿椭圆轨道到与火星相遇所需时间
t
2 .5r
第
2
2
T
d
T
d
2
()
3
因

r
地
T
地
2
3< br> 得：
t
T
d
2
=
（1.25）
3< br>T
地
2
0
=255d
在这段时间t内，探测器的绝对角位移 为180，火星的绝对角位移为

火


火
t
3 60
671
0
255137
0

000
探测器 相对火星的角位移为


2
18013743
。
0
到探测器与火星相遇时，初始相对角距离


（=60），应等于点火前探测 器相对火星
的角位移△θ
1
，与探测器沿椭圆轨道运动时间内相对火星的角位移△θ< br>2
之和，即




1


2

则


1
604317

而

1


1
t
1

故得：t
1



1


1
17
360
365
0
0
000


360671
0
38
d
已知某年3月1日零时，探测器与火星角距离为60 °（火星在前，探测器在后），点燃发
动机时刻应选在当年3月1日后38天，注意到“3月大”（有3 1号），即应在4月7日零
时点燃发动机。
由以上几例可见，用“相对角速度”处理同心圆周 运动中的追击和相遇问题，就是以角
速度较小的物体为参照物，把它看作静止不动，则角速度较大的物体 以“相对角速度”绕它
做圆周运动，这样计算起来就十分简单。








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