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什么叫数学

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的,简单地说，是研究数形
的科学。
由于生活和劳动上的需求,即使是最原始的民族,也知道简单的计数，并
由用手指或实物计数发展到用数 字计数。在中国，至迟在商代，即已出现
用十进制数字表示大数的方法；又至迟至秦汉之际，即已出现完 满的十进
位值制。
由于数学研究对象的数量关系与空间形式都来自现实世界，因 而数学
尽管在形式上具有高度的抽象性，而实质上总是扎根于现实世界。生活实
践与技术需要始 终是数学的真正源泉，反过来，数学对改造世界的实践又
起着重要的、关键的作用。
20世纪出现各种崭新的技术，产生了新的技术革命。特别是计算机的
出现，使数学又面临一个新时代。 总之，数学正随着新的技术革命而不断
发展。
算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运
算。
“算术” 这个词，在我国古代是全部数学的统称。至于几何、代数等许多
数学分支学科的名称，都是后来很晚的时 候才有的。
国外系统地整理前人数学知识的书，要算是希腊的欧几里得的《几何原本》
最早。 《几何原本》全书共十五卷，后两卷时候人增补的。全书大部分是属
于几何知识，在第七、八、九卷中专 门讨论了数的性质和运算，属于算术
的内容。

“算”字在中国的古意也是 “数”的意思，表示计算用的竹筹。中国古代的复
杂数字计算都要用算筹。所以“算术”包含当时的全部 数学知识与计算技能，
流传下来的最古老的《九章算术》以及失传的许商《算术》和杜忠《算术》，就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。
关于算数的产生，还是要从数谈起。数是用 来表达、讨论数量问题的，
有不同类型的量，也就随着产生了各种不同类型的数。远在古代发展的最初阶段，由于人类日常生活与生产实践中的需要，在文化发展的最初阶段
就产生了最简单的自然数的 概念。
自然数的一个特点就是由不可分割的个体组成。比如说树和羊这两种
事物， 如果说两棵树，就是一棵再一颗；如果有三只羊，就是一只、一只
又一只。但不能说有半棵树或者半只羊 ，半棵树或者半只羊充其量只能算
是木材或者是羊肉，而不能算作树和羊。
不过，自然数不足 以解决生活和生产中常见的分份问题，因此数的概念产
生了第一次扩张。分数是对另一种类型的量的分割 而产生的。比如，长度
就是一种可以无限地分割的量，要表示这些量，就只有用分数。
自然数和分数具有不同的性质，数和数之间也有不同的关系，为了计
算这些数,就产生了加、减、乘、除 的方法，这四种方法就是四则运算。
把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中 的经验累积起
来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术。
在算术的发 展过程中，由于实践和理论上的要求，提出了许多新问题，
在解决这些新问题的过程中，古算术从两个方 面得到了进一步的发展。
一方面在研究自然数四则运算中，发现只有除法比较复杂，有的能 除

尽，有的除不尽，有的数可以分解，有的数不能分解，有些数又大于１的
公约 数，有些数没有大于１的公约数。为了寻求这些数的规律，从而发展
成为专门研究数的性质、脱离了古算 术而独立的一个数学分支，叫做整数
论，或叫做初等数论，并在以后又有新的发展。
另一 方面，在古算术中讨论各种类型的应用问题，以及对这些问题的
各种解法。在长期的研究中，很自然地就 会启发人们寻求解这些应用问题
的一般方法。也就是说，能不能找到一般的更为普遍适用的方法来解决同
样类型的应用问题，于是发明了抽象的数学符号，从而发展成为数学的另
一个古老的分支，指就 是初等代数。
数学发展到现在，算术已不再是数学的一个分支，现在我们通常提到
的算术 ，只是作为小学里的一个教学科目，目的是使学生理解和掌握有关
数量关系和空间形式的最基础的知识， 能够正确、迅速地进行整数、小数、
分数的四则运算，初步了解现代数学中的一些最简单的思想，具有初 步的
逻辑思维能力和空间观念。
现代小学数学的具体内容，基本上还是古代算术的 知识，也就是说，
古代算术和现代算术的许多内容上是相同的。不过现代算术和古代算术也
还存 在着区别。
首先，算术的内容是古代的成人包括数学家所研究的对象，现在这些
内 容已变成了少年儿童的数学。其次，在现代小学数学里，总结了长期以
来所归结出来的基本运算性质，即 加法、乘法的交换律和结合律，以及乘
法对加法的分配律。这五条基本运算定律，不仅是小学数学里所学 习的数
运算的重要性质，也是整个数学里，特别是代数学里着重研究的主要性质。

第三，在现代的小学数学里，还孕育着近代数学里的集合和函数等数
学基础概念的思想。比如，和、差、积、商的变化，数和数之间的对应关
系，以及比和比例等。
另外，现在小学数学里，还包含有十六世纪才出现的十进小数和它们
的四则运算。应 当提出的是十进小数不是一种新的数，而可以被看作是一
种分母是10的方幂的分数的另一种写法。
我们在这里把算术列成第一个分支，主要是想强调在古代全部数学就
叫做算术，现代的代数 学、数论等最初就是由算术发展起来的。后来，算
学、数学的概念出现了，它代替了算术的含义，包括了 全部数学，算术就
变成了一个分支了。因此，也可以说算术是最古老的分支。
所谓数学思 想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意
识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想 是对数学事实与理论经过
概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中
的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精
华和现代数学思想的基本特征 ，并且是历史地发展着的。
“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比 前者
更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。“数学思想”是与其相应的
“数学方法” 的精神实质与理论基础，“数学方法”则是实施有关的“数学思想”
的技术与操作程式中。中学数学用到 的各种数学方法，都体现着一定的数
学思想。数学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想。有 的数
学思想（例如“一分为二”的思想和“转化”思想）和逻辑思想（例如完全归纳
的思想）由 于其在数学中的运用而被“数学化”了，也可以称之为数学思想。

基本数学思想包 括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，
公理化与结构思想，数形结合思想，化归思想，函数 与方程的思想，整体
思想，极限思想，抽样统计思想等。当我们按照空间形式和数量关系将研
究 对象进行分类时，把分类思想也看作基本数学思想。基本数学思想有两
大基石——符号与变元表示的思想 和集合思想，又有两大支柱——对应思
想和公理化结构思想。基本数学思想及其衍生的其他数学思想，形 成了一
个结构性很强的网络。
数学中渗透着基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果 能使它们
落实到我们学习和应用数学的思维活动上，就能在发展我们的数学能力方
面发挥出一种 方法论的功能，这对于学习数学、发展能力并开发智力都是
至关重要的。

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