秋天的果园-村主任述职报告

小学趣味数学之盈亏问题
《九章算术》第七章介绍了盈亏问题，这一类问题是把
一定数量的物品平均分给若干对象，每个对象少分，则物品
有余；如果每个对象多分，则物品不足。所 以分物时经常出
现盈（有余）、亏（不足）、尽（恰好分完）的情况，所以古
人把这类问题称为 盈不足问题。
盈亏问题情况多样，解法巧妙，倍受古人重视，在许多
古代算书上留下了不少好题。

题 目
今有人共买物，
人出八，盈三；
人出七，不足四，
问人数，物价各几何？
题意：有一群人凑钱买一件物品。如果每人出8枚钱币，
就比 物价多出3个钱币。如果每人出7枚钱币，就比物价少
4个钱币。求人数和钱数各是多少？
分 析：这是属于“一盈一亏”类的问题。当第一次每人
出8枚钱币时多3枚，当第二次每人出7枚钱币时不 但不多，
还要少4枚，即第二次比第一次共少了4＋3＝7枚。这是由
于第二次比第一次每人少 出了8－7＝1枚钱币。相差7枚，
就说明有7÷1＝7人。这样物价也就可以算出来了。

解答：4＋3＝7（枚）
8－7＝1（枚）
7÷1＝7（人）
7×8–3=53（枚）
答：一共有7人，物价为53枚。

事实上，古 代数学家发现，在计算人数（即分物对象的
个数）时，还有一个简单易记、琅琅上口的口诀：“有余加< br>不足，大减小来除”。这种算法的绝妙之处在于它几乎可以
不动脑筋，只要把几个数按口诀对号入 座，马上可以得出答
案。
范例
钱几何
今有散钱不知其数，
作七十七陌穿之，欠五十凑穿；
作七十八陌穿之，不多不少。问钱数几何？
题意： 有一些零散的钱币，如果每77枚穿成一串，那
么还会剩50枚没穿；如果78枚穿成一串，正好穿完。 这些
钱币共有多少枚？
分析与解答：这道题属于“一盈一亏”类的问题。当77
枚钱 币为一串时，还余50枚没穿，当78枚钱币为一串时，
正好穿完。表明原先的每一串77枚，都加上1 枚（78－77

＝1枚）时，余下的50枚刚好被穿完，说明有50串。
解：串数：50÷（78－77）＝50（串）
钱数：78×50＝3900（枚）?或?钱数：77×50＋50＝3900（枚）

小练
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之
差=人数；还有一些非标 准的盈亏问题，它们被分为四类：
1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；
3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一
次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过
来的。解题时我们可以记住：
1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的
差=参与分配对象总数；
2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的
差=参与分配对象总数；
3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得
的差=参与分配对象总数。 【例题1】某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，
增加一名男生，则男生为总数的一半；如 果少一名男生，增
加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少
名学生？

【思路导航】
（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的
一半”可知：女生比男生多2人；
（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2
＋2=4人，这时男生为女生人数 的一半，即现在女生有4×
2=8人。
原来女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共有7＋5=12人。

【例题2 】幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给
小朋友，则少4个；如果每个小朋友只发给4个，则老 师自
己也能留下4个。有多少个小朋友？共有多少个苹果？
【思路导航】如果平均分给小朋友 ，则少4个，说明小朋友
人数大于4；如果每个小朋友只发给4个，则教师也能留下
4个，说明 每人少拿若干个，就少拿4＋4=8个苹果。因为小
朋友人数大于4，所以，一定是每人少拿1个，有8 ÷1=8个
小朋友，有8×4＋4=36个苹果。

【例题3】幼儿园老师将一筐苹 果分给小朋友。如果分给大
班的学生每人5个余10个；如果分给小班的学生每人8个
缺2个。 已知大班比小班多3人，这筐苹果有多少个？
【思路导航】如果大班减少3人，则大班和小班的人数同 样
多。这样，大班每人5个就多余3×5＋10=25个。由于两班

人数相等， 小班每人多分3个就要多分（25＋2）个苹果，
用（25＋2）÷（8－5）就能得到小班同学的人数 是9人，
再用9×8－2就求出了这筐苹果有多少个。

【例题4】幼儿园教师把一 箱饼干分给小班和中班的小朋友，
平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可
以 多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多
少块？
【思路导航】这箱饼干分给小 班和中班的小朋友，平均每人
分得6块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分4块。
说明 中班的人数是小班人数的6÷4=1.5倍。因此，这箱饼干
分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到6 ×1.5=9块，一共
可分到6＋9=15块饼干。

【例题5】全班同学去划船， 如果减少一条船，每条船正好
坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这
个班有 多少个同学？
【思路导航】根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，
也就是少9个同学 ；每船坐6人，就要增加一条船，也就是
多出6个同学。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9＋6=15人，15里面包含5个（9－6），说明有5条船。知道了
有5条船，就可以求全班人数： 9×（5－1）=36人。