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厦门大学《高等代数》课程试卷
数学科学学院 所有 系2004年级 各 专业


主考教师：林鹭、杜妮 试卷类型：（A卷）

注意：所有答案请写在答题纸上
一 选择题（7题×4分）
1．设n阶实对称矩阵A是正交矩阵，则___。
A. A = I； B. A与I相似； C.
AI
；
2
D. A与I 合同。
2． 下列说法错误的是___。
A. A、B为n阶实对称矩阵，若存在n阶可逆方阵C，使得
C

ACB
，则A 与 B合同；
B. A为n阶实对称矩阵，且对任意n维向量x，都有
x

Ax0
，则A=0；
C. 两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩；
D. 实对称矩阵的秩r和符号差s具有相同的奇偶性。
3．设A为n阶实对称矩阵，则下列条件中有___个必保证A为负定。
① A的正惯性指数=0；
③ A的所有特征值<0；
A. 1 B. 2









② A的所有顺序主子式<0；
④ 对任意非零向量x，都有
x

Ax0
。
C. 3 D. 4
4．下列叙述中错误的是___。
A. A为可逆矩阵，则
A
必是正定矩阵；
B. A为正定矩阵，则存在可逆矩阵Q，使
AQ

Q
；
C. A为正定矩阵，则A的所有对角元必大于零；
D. A为正定矩阵，则A必正交相似于对角矩阵。 < br>5．设n阶实对称矩阵A的特征值为

1
,

2
, ,

n
，则当t___时，
AtI
为正定矩阵。


A.
min{

1
,

2
,,

n
}

C.
max{

1
,

2
,,

n
}
；






B.
min{

1
,

2
,,

n
}
；
D.
max{

1
,

2
,,

n
}
。
2

1

6．设

是欧氏空间V的线性变换，则下列命题中___不能作为

是正交变换的等价命题 。
A.

在某一组基下表示矩阵是正交阵；
C.

保积同构；
B.

1


*
；
D.

保持距离不变。
7．设

是欧氏空间V的自伴随算子，则下列命题中正确的有___个。
①

在V的某组基下表示矩阵是对角阵；
②

的特征值模为1；
③

的属于不同特征值的特征向量必正交；
④
x,yV,(

(x),y)(

(y),x)
。
A. 1； B. 2； C. 3； D. 4。
二 填空题（7题×4分）
1．n阶实对称矩阵按合同分类，共有___类；而n阶对称正交矩阵按相似分类，共有___类。 < br>
1

1

11

01


1
2．设
A

，
B

1

，
C

11

，
D

10

是R上3阶方阵。则在


2
2

2

2


< br>B, C, D中，___与A正交相似，___与A合同。

1



0

3． 设
A

a
ij

为
n
阶正交矩阵，且
a
11
1
，则矩阵方程
Ax

的解x = ___。 nn



0


4．
R13
中，定义内积为标准内积，则向量

(1,2,2),

(1,0,1)
的夹角是___，距离是___。
是欧氏空间V的一组标准正交基，其 中

1


2


3
，
V
1
L(

1
,

2
)
，
2


1


2

< br>4
，5．设

1

,
2

,
3

,
4
则___是V
1
的一组标准正交基。

1234


14
6．在
R
中，与矩阵A

2345

的每个行向量都正交的全体向量所构成的子空间W的维 数为___。

3456


7．设

1,

2
,,

n
是n维欧氏空间V的一组基，关于这 组基的度量矩阵G，V上线性变换

在这组基下的
矩阵为A，则

的 伴随算子

在这组基下的矩阵是___，从而

为自伴随算子的充分必要条件 是___。


2
*

三 (12分)

已知二次型
f(x,y,z)

(x
2
y< br>2
z
2
)2xy2xz2yz
。
1．请写出该二次型的相伴矩阵；
2．

取什么值时，f是正定的？
3．当

= 1时，将二次型f化为标准型并求出相应的非退化线性替换。
四 (12分)
设A，B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得
TAT B
的充分必要条件是A，B有相同的
特征值。
1
五 (10分)
设A，B都是实对称矩阵，且B是正定的。若BA的特征值都大于0，证明A是正定矩阵。
六 (10分)
设

是n维欧氏空间V上的正交变换，令
V
1
{

V|

(

)

}
，
V
2
{



(

)|

V}
，则
V
1
、
V
2
都是V的子空 间。证明：
1．
V
1
V
2
，即
xV
1
,yV
2
，都有（x，y）= 0；
2．
V
1
是
V
2
的正交补。


3