鸟的诗句-诗歌小报

第二十三届希望杯第二试
第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛
第2试
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，
请将表示正确答案的英文字母写在后面的圆括号内。
1
abcd
；○
2
adbc
；○
3
cd
，则
a,b,c, d
的大小关系是（ ） 1. 实数
a,b,c,d
满足：○
（A）
acdb

（C）
cdab

（B）
bcda

（D）
cdba

2.下列等式中不恒成立的是（ ）
(A)
abababab


abab

(B)
abab


a1b1a1b1
aa
a
2

2
（C）
a
2

a1a1

a
3
b
3
ab
（D）
3


3
a(ab)
a(ab)
3 .一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（ ）
（A）4.2或4.4 （B）4.4或4.6 （C）4.2或4.6 （D）4.2或4.4或4.6
4.化简：
4747
（ ）
（A）1 （B）
2
（C）
3
（D）2
8 identical balls into 3 different boxes, each box has at least 2 balls.
How many different ways to put the balls?( )
(A)6 (B)12 (C)18 (D)36
(英汉词典：identical完全相同)
6 .如图1，在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，-2），以A、 B、C
三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
（A）第一象限

（B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
第二十三届希望杯第二试

第二十三届希望杯第二试
7.如图2，设点A、B是反比例函数< br>y
k
图象上的两点，AC、BD都垂直于y轴，垂足分别是C、D。
x连接OA、OB，若OA交BD于点E，且
OBF
的面积是2011，则梯形AEDC的 面积是（ ）
（A）2009




8.如图3 ，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是AD上的动点，PE

BD于F，则PE+P F的值是（ ）
（A）4.6

9.设
a,b
是实数，且
（A）3
（B）4.8 （C）5 （D）7
（B）2010 （C）2011 （D）2012
1111b1a

，则的值是（ ）
1a1bba1a1b
（C）
3(ba)
（D）无法确定的 （B）-3
10.循环节长度是4的纯循环小数化成最简分数后，分母是三位数，这样的循环小数有
（ ）
（A）798个 （B）898个 （C）900个 （D）998个
二、填空题（每小题4分，共40分）
2012
a
2011
a
11.若
a0
，计算：
a
12.若以x为未知数的方程
2xa< br>
1
的根是负数，则实数
a
的取值范围是
x2
2
13.若
n(n0)
是以x为未知数的方程
x mx
5
n
0
的根，则m-n的值是
14 .正整数
a,b
满足等式
15.已知
x
13ab
，那么
a
，
b

1535
1
1

6(0
x
1)
，则< br>x
的值是
x
x

第二十三届希望杯第二试

第二十三届希望杯第二试
16 .已知点A（4，m），B（-1，n）在反比例函数
y
8
的图象上，直线AB与x 轴交于C，
x
如果点D在y轴上，且DA=DC，则点D的坐标是
17.如图4，等腰直角
ABC
中，
A90
，底边BC的长为 10，点D在BC上，

从D作BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则DE＋DF的值是


18.如图5，在边长为6的菱形ABCD中，DE

AB于点 E，并且点E是AB的中点，
点F在线段AC上运动，则EF+FB的最小值是 ，最大值是



19.若实数
a,b, c
满足
abbccaabc

3,

4,5
，则 的值是
abbccaabbcca
e
Mabc321
is a 6-digit number,
a,b,c
are three different 1-digit numbers,
and not less than 4. If M is a multiple of 7, then the minimum value of M is
(英汉词典：multiple倍数)

三、解答题
每题都要写出推算过程
21.（本题满分10分）
如图6，直线
yx b(b0)
交坐标轴于A、B两点，交双曲线
y
DE，垂足分别为C、E，连接B C、OD。
（1） 求证：AD平分
CDE
。
（2） 对任意的实数
b(b0)
，求证：AD·BD为定值。
第二十三届希望杯第二试

2
于点D，从点D分别作两坐标轴的垂线DC、
x

第二十三届希望杯第二试
（3） 是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；
若不存在，请说明理由。



22.（本题满分15分）
如图7，在一条平直的公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去。
（1） 若汽车的行驶速度是30ms，在距离山壁925m处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？
（2） 某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过4.5s再次鸣笛，若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是4s，
求汽车的行驶速度。
（已知声音在空气中的传播速度是340ms）





23.生产某产品要经过三道工序，同一个人在完成这三道工序时所用 的时间相同，甲、乙二人同时开始生产，
一段时间后，甲恰好完成第k个产品的生产，此时，乙正好在进行某个产品的第一道工序的操作，
若甲、乙的生产效率比是6:5，问此时乙至少生产了多少产品？




第二十三届希望杯第二试

第二十三届希望杯第二试
参考答案
一、选择题
题号
答案

二、填空题
题号
答案
11 12
1
13
-5
14
2；
1

三、解答题
21.（1）因为A、B是直线
yxb(b0)
和坐标轴的交点，所
由

15 16
-2
17 18 19 20
468321
1
A
2
B
3
D
4
B
5
A
6
B
7
C
8
B
9
A
10
C
a2
且
a4

(0,
11
)

10
4
33;637

120

47

yxb

yxb
及


y0x0

得A（-b,0）,B(0,b)
所以
DACOAB45


又DC⊥x轴，DE⊥y轴
所以∠CDE=
90


因此
ADC45


即AD平分
CDE

（2）由（1）知
ACD
和
BDE
都是等腰直角三角形，所以
AD2CD,BD2DE
，
ADBD2CDDE224

即
ADBD
为定值。
第二十三届希望杯第二试

第二十三届希望杯第二试
（3）若存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形，则
AO=AC，OB=CD
由（1）知AO=BO，AC=CD。
并且B（0，b）
所以得D（-2b,-b）
因为
b
2
,
b
1
（正数舍去）
2b
即存在直线AB：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形。
22.（1）如图1，设经过ts后司机听到回声，则有30t+340t=2×925，解得t=5.
所以，经过5s后司机听到回声。

（2）设汽车的行驶速度是
v
1
，声音传播的速度是
v
2
，汽车两次鸣笛的时间间隔是
t
1
；汽车第一次鸣笛
t
1
时间后，
司机第一次听到回声；汽车第二 次鸣笛
t
2
时间后，司机第二次听到回声；汽车第一次鸣笛时距离山壁为
s< br>.
如图2，如果司机先听到第一次鸣笛的回声，则有

2sv
1
t
1
v
2
t
1



2(sv
1
t
1
)v
1
t
2
v< br>2
t
2
两式相减，得
2v
1
t
1
(v
1
v
2
)(t
1
t
2
)
即
t
1
t
2

2v
1
 t
1

v
1
v
2
司机两次听到回声的时间间隔是
t
2
t
1
t
2
t
1
 t
1
(t
1
t
2
)
第二十三届希望杯第二 试

v
2
v
1
t
1

v
1
v
2

第二十三届希望杯第二试
代入数据，得
4
340v
1
4.5

v< br>1
340
解得
v
1

20ms

如图3，如果司机先听到第二次鸣笛的回声，同理，得
t
1
t
2

2v
1
t
1

v
1
v
2
司机两次听到回声的时间间隔是

 t
2
(t
1
t
2
)t
1


代入数据，得
v
1
v
2
t
1

v
1
v
2
4

v
1
340
4.5

v
1
340< br>解得
v
1

5780ms

这样的速度不切合实际。
所以，汽车的行驶速度是20ms

23.设甲生产一个产品所用的时间为t，则乙 生产一个产品所用的时间为
用[a]表示不大于a的最大整数，{a}=a-[a],如[3.14]= 3,{3.14}=0.14
6t
。
5


kt

5k

甲生产k个产品所用的时间为kt，此时乙生产了
 


个产品

6t


6



5


第二十三届希望杯第二试

第二十三届希望杯第二试
由题知，乙正在进行某个产品的第一道工序的操作，所以

5k

1
0



6

3
而

11125

5k

可能取值是
,,,,
,0,
（见下表）
63236

6


从表中可以看出，满足
0< br>

5k

1


的最小的k的值是5，
6

3
因此，乙至少已经生产了


55
=4个产品。


6

第二十三届希望杯第二试