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第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
（2010年4月11日 上午9:00至11:00）
得分____
一、选择题
（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．
1．计算
2
12
5
9
，得数是( )
(A)9位数． (B) 10位数． (C) 11位数． (D) 12位数．
2．若
x
2

y
3
7
51
，则代数式
9xy18
9xy18
的值( )
5
7
7
5

(A)等于． (B)等于
5
7
． (C)等于或不存在. (D)等于或不存在．

3(xa)22(12xa)

3. The integer solutions of the inequalities about x

xbbx
are1,2,3, then the


2

3
number of integer pairs (a,b) is( )
(A)32. (B)35. (C)40. (D)48.
（英汉词典：integer整数）
4．已知三角形三个内角的度数之比为
x:y:z
，且x+ya
(A)锐角三角形． (B)直角三角形． (C)钝角三角形． (D)等腰三角形．
5．如图1，一个凸六边形的六个内角都是120°，六条边的长分别为
a，b，c，d，e，f，则下列等式中成立的是( )
(A)a+b+c=d+e+f． (B)a+c+e=b+d+f． (C)a+b=d+e． (D)a+c=b+d．
b
c
d
e< br>图1
f
6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为a，最长的中线的长为m，最长的 高线的长为h，则( )
(A)a>m>h． (B)a>h>m． (C)m>a>h． (D)h>m>a．
7．某次足球比赛的计分规则是：胜一场 得3分，平一场得1分，负一场得O分，某球队参赛15场，
积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、 平、负的情况可能有( )
(A) 15种． (B)11种． (C)5种． (D)3种．
8．若
xy

0,x y

0,
1
x

1
y
与x+y成反比 ，则
(xy)
与
xy
( )
222
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1

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(A)成正比． (B)成反比． (C)既不成正比，也不成反比． (D)的关系不确定．
9．如图2，已知函数
y
2
x
(x0) ,y
k
x
(x0)
，点A在正y轴上，过点A作
BCx
轴，交两
个函数的图象于点B和C，若
AB:AC1:3
，则k的值是( )
(A)6． (B)3． (C)一3． (D)一6．
10. 10个人围成一圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把目己 想的数告许与他相
邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的 数如图
3所示，则报出来的数是3的人心里想的数是( )
(A)2． (B)一2． (C)4． (D)一4．







二、填空题（每小题4分，共40分．）
11.若
x27x20
，则 x
4
—24x
2
=
2
1 2.如图4，已知点A（a，b），0是原点，
OA=OA
1
，
OAOA< br>1
，则点A
1
的坐标是
13.已知
ab

0
，并且
ab0
，则
2
a
b
2

b
a
2

1
a

1
b
.(填“”、“”、“”或“”)

abab< br>14.若
ab2a2b20
，则代数式
a
的值是
b
15.将代数式
x(2a1)x(a2a1)x(a1)
分解因式，得
16.A、B、C三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，A在前，C在后，B在A、C正中间. 10
分钟后，C追上B;又过了5分钟，C追上A.则再过 分钟，B追上A.
17.边长是整数，周长等于20的等腰三角形有 种，其中面积最大的三角形底边的长是
18.如图5，在△ABC中，AC=BD，图中的数据说明
ABC

19.如图6，直线
y
3
3
x1
与x轴、y轴分别交 于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作
1
3222

等腰直角
△ABC,BAC90.
在第二象限内有一点
P(a,)
，且△ABP的面积与 △ABC的面积
2
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2

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相等.则△ABC的面积是 a=





20. Given the area of △ABC is S
1
,and the length of its three sides are
3
11
13
,9
3
13
,10 respectively. And
the perimeter of △A′B′C′ is 18 , its area is S
2
. Then the relationship between S
1
and S
2
is S
1

S
2
. ( fill in the blank with
（英汉词典：area面积；length长度；perimeter周长）

三、解答题每题都要写出推算过程．
21.（本题满分10分）
解方程：















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3
2x3
4

4
2x3
4x
3

3
4x


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22.（本题满分15分）
如图7，等腰直角△ABC的斜边AB上有两点M、N，且满足< br>MN
绕着C点顺时针旋转90°后，点M、N的对应点分别为T、S．
(1)请画出旋转后的图形，并证明△MCN≌△MCS
(2)求
MCN
的度数．


2
BN
2
AM
2
，将△ABC
B
N
M
C
A< br> 图7



















23．（本题满分15分）
已知长方形的边长都是整数，将边长为2的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形
的边平行或重合，且任意两个正方形重叠部分的面积为0，放人的正方形越多越好．
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4

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(1)如果长方形的长是4，宽是3，那么最多可以放人多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖
的面积占整个长方形面积的百分比是多少？
(2)如果长方形的长是n(n≥4)，宽是n-2，那么最多可以放人多少个边长为2的正方形？长方
形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？
(3)对于任意满足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55%.求长方
形边长的所有可能值．（已知
0.550.74
)




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