x3
y
3

的值为112
3
的x
2
、y
2
的值是( ) 8.能使分式
yx
A.x
2
=1 +
3
，y
2
=2+
3
; B. x
2
=2+
3
，y
2
=2-
3
;
C. x=7+4
3
，y=7-4
3
; D. x=1+2
3
，y=2-
3
.
9．在整数0，1，2，3，4，5 ，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完
全平方数的个数为z，合数的个数为u． 则x+y+z+u的值为 ( )
A．17 B．15. C．13 D．11
2
2222
10．两个质数a，b，恰好是x的整系数方程x-21x+t=0的两个根,则 A.2213; B.
ba

等于( )
ab
58
2402365
; C.; D..
4938
21
二、填空题（每题1分，共10分）
1.1989×19911991-1991×19891988=______．
2.分解 因式:a
2
+2b
2
+3c
2
+3ab+4ac+5bc= ______．
3.(a
2
+ba+bc+ac):[(b
2
+b c+ca+ab):(c
2
+ca+ab+bc)]的平方根是______．
4． 边数为a，b，c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为180
0
,那么< br>111

=_________.
abc

xay5
5.方程组

有正整数解,则正整数a=_______.
yx1

6.从一升酒精中倒出
倒
出
1
升, 再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再
3
11
升混合 液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出升混合液, 并加入等量的水,这时,
33
所得混合液中还有______升酒精.
7．如图31 ，在四边形ABCD中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且
∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是______．
8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．
9.
x22x43
的最小值的整数部分是______.
10．已知两数积ab≠1．且

2a+1234567890a+3=0 ,3b+1234567890b+2=0,则
22
a
=______.
b
三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，
字迹 与绘图力求清晰、工整）
1.

已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．









2．一块四边形的地（如图33）( EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段
水渠EOHGKF改成直的．（即两边都 是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面
积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节 省工时．那么新渠的两条边应当
怎么作？写出作法，并加以证明．

答案与提示
一、选择题

提示：

3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．
4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)
2
，是完全平方式．故选(B)．
5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE =120°,
所以选(A)．
6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2
＞BD
2
+CD
2
，当D为BC边的端点时，
有AD
2
=BD
2
+CD
2
，故有2AD
2
＞B D
2
+CD
2
．故选(D)．

故选(C)．

∴选(C)．
9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．
10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．

二、填空题

提示：
1．1989×19911991-1991×19891988=1989
(1991×1 0
4
+1991)-1991(1989×10
4
+1988)
=1989×1991-1991×1988=1991．
2．原式
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca+b
2
+2c
2
+ab+2ac+3bc
=(a+b+c)
2
+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)


=(a+b+c)
2
+(b+2c)(a+b+c)
=(a+b+c)(a+2b+3c)．
3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]

∴平方根为±(a+c)．
4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．

5．两式相加有
(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5， 这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；
可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x= 1无矛盾．
∴a=1或2．

7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC= 10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，
26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角 形．从而有面积为

8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5 为3个内角的四边形的4个内角
之和．
∴和为360°．

10．由已知条件可知
a是方程2x
2
+1234567890x+3=0 的一个根，b是方程3y
2
+1234567890y+2=0的一个根，后
者还可以 看成：

三、解答题
1．设这两个正数为a，b．则原 题成为已知a
3
+b
3
=2，求证a+b≤2．
证明（反证法）：
若a+b＞2由于a
3
+b
3
=2，必有一数小于或等于1，设为b ≤1，→a＞
式两边均为正数，→a
3
＞(2-b)
3
．
→a
3
＞8-12b+6b
2
-b
3
．
→a
3
+b
3
＞8-12b+6b
2
．
→6b
2
-12b+6＜0．
→b
2
-2b+1＜0．
→(b-1)
2
＜0． 矛盾．
∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．
2．本题以图33为准．
由图34知OK ∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK
∥AB，故△OH G的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且
只挖了△KGM这么大的一块地 ．
我们再看另一种方法，如图35．
作法：①连结EH，FG．
②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．
③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．
又：EH∥ON
，这个不等

∴△EOH面积=△FNH面积．
从而可知左半部分挖去 和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样
多．即新渠面积与原渠的面积相等．
由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．
故应选第一种方法。



希望杯第三届（1992年）初中二年级第一试试题
一、选择题:（每题1分，共10分）
1．已知a＞b＞0，则有 [ ]
A.a+b>1; >1; C.
a
; D.a-b>1.
b
2 ．已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,那么它的最
长边等于[ ]
A.2; B.2
2
; C.3; D.3
2
.
3.若
a
11
(53),b(53)
,那么a
2
-ab+b
2
的值为[ ]
22
A.
15
7911
1
. B.; C.; D.
2
222
4.
322
的值等于[ ]
A.
32
; B.
31
; C.
32
; D.
21
.
5．△ABC中，∠A=θ-α，∠B=θ，∠C=θ+α,0°＜α ＜θ＜90°．若∠BAC与∠BCA
的平分线相交于P点，则∠APC= [ ]
A．90° B．105°. C．120° D．150°
6．一个自然数的算术平方根 为a(a＞1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方
根为 [ ]
22
A.a-1,a+1; B.
a1,a1
; C.
a
2
1,a
2
1
; D. a-1,a+1.
2
7.已知实数a满足丨1992-a丨+
a1993
=0,那么a-19 92的值为[ ]
A．1991. B．1992. C．1993. D．1994.
8．正整数a被7除，得到余数4，则a+5被7除，得到的余数是[ ]
A．0. B．2. C．4. D．6.
3

9.
635635
的值为[ ]
A.
75
; B.
14
; C.
2
1
(75)
; D.1.
2
10．方程x+667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于 [ ]
A.
1
111
; B.

; C.; D..
3
6646671992
二、填空题:（每题1分，共10分）
1． 一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数等于______．
2． 二次根式
x
66
1
化为最简根式应是___________.
x
5432
3． 若(x-1)=a
0
x+a
1
x +a
2
x-a
3
x-a
4
x-a
5
x-a
6
，则a
6
=______．
4． 若a、b、c为△ABC的三 边的长,则
(abc)
2
(bca)
2
(cab)
2
=_______.
5．如图39，△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC= 60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB，
则D，B两点之间的距离等于______ ．
6.
2
的小数部分我们记作m,则m+m+
2
=_______ ____.
2
7．若a＞b＞c＞0，一元二次方程(a-b)x+(b-c)x+(c-a )=0的两个实根中，较大的一个
实根等于______．
8．如图40，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______．
9．一个两位质数，将它的十位数与个位数字对调后
仍是一个两位质数，我们称它为“无瑕质数”，
则所有“无瑕质数”之和等于______．
23222
10．若3x+4y-10=0，则15x+3xy+20xy+4y+3x-50 x-6y=______．


















2

答案与提示
一、选择题

提示：
1．用特殊值法，不妨设a=0.4，b=0.2，则a+b=0.6＜1 ，可排除(A)；ab=0.08＜1，可排
除(B)；

2．根据三角形内角和为 180°及三个内角度数之比为1∶2∶3，容易得出三个内角为
30°，60°，90°．30°角对 边为最短边，由题设知，



5．由∠A+∠B+∠C=180°，即(θ-α)+θ+(θ+α)=3θ=180°，

∴应选(C)．

n-1=a-1，n+1=a+1，其算术平方根分别为

7．由题意知a-1993≥0，因而a≥1993．
于是|1992-a|=a-1992．
22

从而a-1993=1992，故a-1992=1993．∴应选(C)．
8．设a=7k+4(k为正整数)，则
33
a+5=(7k+4)+5
3223
=(7k)+3×(7k)×4+3×(7k)×4+4+5
2322
=7(7k+3×7k×4+3k×4+9)+6
3
因此，a+5被7除余6，故应选(D)．
22


x +667x+1992=0不能有非负根，所以x=667排除，剩下的-664，-1992，-3三个数中， 最
大者为-3，以-3代入原方程，恰好满足方程，所以应选(D)．
注：此题也可由方程化为(x+664)(x+3)=0，可知方程较大的实根为
2

二、填空题

提示：
1．设所求角为α，则有180°-α=3(90°-α)，从而解得α=45°．

3．令x=0，得(-1)=-a
6
，∴a
6
=-1．
4．由条件可知a＞0，b＞0，c＞0，且a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，
∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，
6

5．连结AD（如图41）．
∵AD=AB，
∴∠BDA=∠DBA=30°．
因此，在直角三角形DBC中，∠BDC的对边BC等于斜边BD之半，而BC=4，所以BD=8．

7．由观察知，x=1满足方程，所以，方程(a-b)x+(b-c)x+(c-a)=0有实根1．
又知a-b＞0，b-c＞0，若x＞1，则有
22
(a-b)x+(b-c)x+ (c-a)＞(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，所以方程(a-b)x+(b-c)x+(c-a)= 0
没有大于1的实根，因此较大的一个实根等于1．
8．如图42，∠6=∠7+∠4，∠7=∠2+∠5，但∠1+∠3+∠6=180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠7=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．
9． 根据题意，容易检验，两位“无瑕质数”分别是11，13，17，31，37，71，73，79，
9 7，共计9个，它们的和是11+13+17+31+37+71+73+79+97=429．
32 222
10．因为15x+3xy+20xy+4y+3x-50x-6y=(3x+4y-10)(5 x+y+1)+10=10．
2
注：用因式分解的方法，凑出3x+4y-10这个因子即可．

2
希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题
一、选择题（:每题1分，共10分）
1．7328
2
-7325
2
= [ ]
A．47249 B．45829. C．43959 D．44969


2．长方形如图43．已知AB=2，BC=1，则长方形的内
接三角形的面积总比数( )小或相等． [ ]

A.
1
42
; B.1; C.; D..
3
73
[ ] 3．当x=6，y=8时，x
6
+y
6
+2x
4
y
2
+2x
2
y
4
的值是
A．1200000-254000. B．1020000-250400
C．1200000-250400. D．1020000-254000
4．等腰三角形的周长为a(cm)．一腰的中线将周长分成5∶3，则三角形的底边长为
[ ]
A.
a3a84
; B.
a
; C. 或
a
; D.
a
.
65655
5.适合方程
x
2
2xyy
2
+3x
2
+6xz+2y+y
2
+3z
2
+1=0的x、y、z的值适合[ ]

x2y3z0

x3y2z6

A.

2xyz0
;B.

xyz0
; 
xyz0

2xy3z2


x3 y2z6

xyz0

C.

2xyz 0
;D.

xyz0


2xy3z2

2xy3z2



6.
四边形如图
44,AB=
3
,BC=1, ∠
A=
∠
B=
∠
C=30
0
,
则D
点到
AB
的距离是
[ ]

2
A.1; B.
1
11
; C.; D..
8
24
7．在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入 ，得到对应的值，在这
些对应值中，最小的值是 [ ]
A．1 B．2. C．3 D．4
8．一个等腰三角形如图45．顶角为A,作∠A的三等三分线AD，AE（即∠1=∠2=∠ 3），
若BD=x，DE=y，EC=z，则有 [ ]
A．x＞y＞z B．x=z＞y. C．x=z＜y D．x=y=z
9．已知方程(a+1)x
2
+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a可以是[ ]

A．5 B．9. C．10 D．11
10.正方形如图46,AB=1 ,
BD
和
AC
都是以1为半径的圆弧,
则无阴影的两部分的面积的差是[ ]
A.

二、填空题（每题1分，共10分）
3
1.方程
x

1
; B.
1
; C.
1
; D.
1
.
2436
6
的所有根的和的值是______________.
3
1x
2.已知a+b=
19921991
,a-b=
1992199 1
,那么ab=________.


3．如图47，在△ABC中，∠ ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD
与BE交于H，则∠CH D=______．
4.已知x=
1
3
3
5
2
5
,那么
xxx
+1的值是______．
21
424
5．如图48，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，那么△BPD
的 面积的值是______．
x
3
y
3
6. 已知x+y=4,xy=-4, 那么
3
=________.
3
xy

7．在正△ABC中（如图49），D为AC上一点，E为AB上一点，
BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=______． 8.已知方程x
2
-19x-150=0的一个正根为a,那么
1
aa 1
+
11
++┉
a1a2a2a3
1
+=_ ___.
a1999a2000

9．某校男生若干名住校， 若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8
名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共 有住校男生______名．
10．n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然 数d的倍数，则d=______．
三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分）
1．

若a，b，c，d＞0，证明：在方程

1
2
1
x2a dxcd0
,
x
2
2bcxda0
,
22< br>1
2
1
x2abxab0
x
2
2dax bc0
中,至少有两个方程有
22
不相等的实数根.











2 ．(1)能否把1，2，…，1992这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组
各数之和 多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之
和比第七组各数之和也多10？
请加以说明．
(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加 以说明．如果能够，
请给出一种分组法．

答案与提示

一、选择题

提示：




5．等 式2x+x
2
+x
2
y
2
+2=-2xy化简为(x+1)
2
+(xy+1)
2
=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之
得x =-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．
6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x
2
+197xy+2y
2
=1993，得2(x+y)
2
+ 193xy=1993．将
xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)
2
=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．
7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠ B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴
AD=BD=BC．由题意 ，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．
8．原方程化为(x
2
-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|
2
-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或

|x-1|=3．
∴x
1
=-1，x
2
=3，x
3
=-2，x
4< br>=4．则x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=4．∴应选(D)．
9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S
△BB＇C
=S△ABC
=1,又CC＇=2BC∴S
△B＇CC＇
=2S
△
B B＇C
=2．∴S
△BB＇C＇
=3．
同理可得S
△A＇CC＇
=8,S
△A＇B＇A
=6．
∴S
△A＇B＇C＇
=3+8+6+1=17．∴应选(D)．
10．原方程为|3x|=ax+1．
(1)若a=3，则|3x|=3x+1．

当x≥0时，3x=3x+1，不成立．

(2)若a＞3．


综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．
∴应选(B)．
另解：（图象解法）
设y
1
=|3x|，y
2
=ax+1。分别画出它们的图象．从图8 7中看出，当a≥3时，y
1
=|3x|
的图象直线y
2
=ax+1 的交点在第二象限．
二、填空题

提示：
1．∵49= 7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，
(m＜n)，其中 (m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又
(m， n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，14
2
+21
2=637．∴这两个数为
14，21．
2．∴1993=1×1993=(-1)×(- 1993)，(1993为质数)．而x
1
·x
2
=1993，且x
1
，x
2
为负整数根，∴x
1
=-1，x
2
=-1 993．或x
1
=-1993，x
2
=-1．则

4．设S
△BOC
=S，则S
△AOB
=6-S，S
△COD< br>=10-S，S
△AOD
=S-1．由于
S·(S-1)=(6-S)(10- S)，解之得S=4．

6．∵43
2
=1849＜1900＜1936= 44
2
，又1936＜1993＜2025=45
2
．

其他都不合适．此时所求方程为14x
2
-53x+14=0．
8．过E作 EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴
EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=A F，
∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB- AE=14-4=10．∴
BG=AB-AG=14-10=4．


10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有
3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①
由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得

n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．
但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．
∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）．

三、解答题
1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：
OABCO（或OCBA O），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离
最短． < br>记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇ =AB，
连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．
d(OABCO)-d(OACBO)
=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)
=AB+CO-AC-BO
=AB+CO-AB＇B＇CB＇O
=CO-(B＇C+B＇O)＜0
同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．
所以路线OABCO的距离最短．

因此x与是关于t的方程


解二：由已知条件得

两边加上a
4
+1，得

显然0＜a＜1，0＜a
2
＜1．




希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题
一、选择题:（每题1分，共15分）
1．如果a＜b＜0，那么在下列结论中正确的是 [ ]
A.a+b<-1; <1; C.
aa
<1; D.>1.
bb

2．已知四个命题：①是1的平方根．②负数没有立方根. ③无限小数不一定是无理数.
④
3a
一定没有意义.其中正确的命题的个数是[ ]
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知8个数:
1
3
1 7
,
8
,0.236,
(12)
2
,3.1416,< br>

,
3
4
2
27
其中无理数的个数是 [ ]
A．3 B．4C．5 D．6

,



1

32

,
32

< br>2
4.若A=
(a
2
9)
4
,则A的算术平方根是 [ ]
A．a
2
+3 B．(a
2
+3)
2
. C．(a
2
+9)
2
D．a
2
+9
5．下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 [ ]
A．1，2，3. B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0
C．a，b，c，其中a+b＞c. D．1，m，n，其中
6．方程x
2
+|x|-6=0的最大根与最小根的差是[ ]
A．6 B．5. C．4 D．3
＜n
7．等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是
[ ]
A．50°,50°,80°. B．50°,50°,80°或130°,25°,25°
C．50°,65°,65°D．50°,50°,80°或50°,65°,65°
8.如 果x+y=
7352
,x-y=
7253
,那么xy的值是[ ]
A.
3332
; B.
3332
; C.
7352
; D.
7253
.
9．如图67，在△ABC中，AB=AC，D点在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F．
∠BDE=140°，那么∠DEF是 [ ]
A．55° B．60°. C．65° D．70°
10.已知-
1
22
(2x 1)(x4)
化简得[ ]
2
B．3+3x. C．5+x D．5-x A．3-3x.
11．如图68，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心，
那么图中全等的三角形的对数是[ ]
A．5 B．6. C．7 D．8． < br>12．若一元二次方程2x(kx-4)-x
2
+6=0有实数根，则k的最大整数值是 [ ]
A． B．0. C．1 D．2．
13．对于三边的长是三个连续自 然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整

除．②周长是奇数．③周长能被3 整除．④周长大于10．正确的命题的个数是[ ]
A．1 B．2. C．3
22
D．4．
14．若方程9x-6(a+1)x+a-3=0的两根之积等于1，则a的值是[ ]
A.
23
; B.
23
; C.
22
; D.
22
.
15．有下列四个命题：
①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．
②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形．
③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形．
④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．其中正确的是
[ ] A．①，② B．②，③. C．③，④ D．④，①．
二、填空题（每题1分，共15分）
1．

某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是______．
2. 实数x满足x+
5x16
=0,则
5x16
的值为________.
3.设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200. 5，201，201.5，202.5
的平均数为A，则10A=______．
4.如果实 数x、y满足2x
2
-6xy+9y
2
-4x+4=0,那么
xy
=_________.
5．设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤ b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为三
边的三角形共有______个．
6.
1
111
+++┉┉+=__________.
21233499100
x
2
4x
2
4
7.当0 22
=___________.
2x2x
8．已知方 程x
2
+(2m+1)x+(m
2
+m+1)=0没有实数根，那么m为__ ____．
9．已知a，b，c，d满足a＜-1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1| ，|1-c|=|1-d|，那么
a+b+c+d=______．
10．如图69，在△A BC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则
AB+AC______DB+DC ．（用“＞”、“＜”、“=”号连接＝．
11.如果x-y=
2
+1,y-z=< br>2
-1,那么x+y+z-xy-yz-zx=____________.
12.若 u、v满足v=
222
2uvv2u3

,则u
2
- uv+v
2
=__________.
4u3v4u3v2
13．如图 70，B，C，D在一条直线上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，若CM=r，则CN=______ ．
14．设方程x
2
-y
2
=1993的整数解为α，β，则|α β|=______．

1
7
3
1
x
15.若,x+=3, 则=__________.
1
4
x
x
4
3
x
x
3



























答案与提示
一、选择题

提示：

∴应选(D)．
2．命题①，③是正确的，②，④不正确．∴应选(B)．


∴应选(D)．
5．由(a+1)+(a+2)=2a+3＞a+3(∵a＞0) ，所以a+1，a+2，a+3可以成为三角形的三边，
而1+2=3，故排除(A)，另外可举反例否 定(C)，(D)．∴应选(B)．
6．原方程化为(|x|+3)(|x|-2)=0，解得|x| =-3，或|x|=2．但应舍去|x|=-3，故由|x|=2
得：x
1,2
=±2 ．则x
1
-x
2
=4．∴应选(C)．
7．由已知得等腰三角形的 某个内角是50°．若它是底角，则三个内角是50°，50°，
80°；若它是顶角，则三个内角是5 0°，65°，65°．∴应选(D)．

9．∵DE⊥AC，∠BDE=140°．
∴∠A=140°
∵AB=AC，

∵DE⊥AC，EF⊥BC，
∴∠DEF=90°∠CEF，∠C=90°∠CEF．
∴∠DEF=∠C=65°．∴应选(C)．
°=50°，

11．如图72，△AGD≌△AGE，△DGB≌△EGC，△BGF≌△CGF，△AGB≌△AGC， △AFB≌
△AFC，△AEB≌△ADC，△DBC≌△ECB，共7对．∴应选(C)．
12．原方程整理为(2k-1)x-8x+6=0．当Δ≥0时，方程有实数根，

13．设三个连续自然数为k，k+1，k+2，则k+(k+1)+(k+2)=3(k+1)，故以k，k +1，k+2
为三边的三角形的周长总可以被3整除．又以2，3，4为三边的三角形，其周长为9，可
否定①，④；以3，4，5为三边的三角形，其周长为12，可否定②．∴应选(A)．
14 ．∵△≥0，∴36(a+1)-36(a-3)≥0，∴a≥-2．又∵x
1
·x
2
=1，
15．命题①是正确的．如图73在△ABC与
△ABC
1
中，AB=AB，BC=BC
1
，AD⊥BC
1
．显然钝角△ABC与锐角 △ABC
1
是不全等的．
命题②不正确．如图74，75，在锐角△ABC与锐角△ A
1
B
1
C
1
中，AB=A
1
B
1
，AC=A
1
C
1
，AD⊥BC，
A
1
D
1
⊥B
1
C
1
，且AD=A
1
D
1
．可先证得
△ADB≌△A
1
D
1
B
1，△ADC≌△A
1
D
1
C
1
，即可证得△ABC≌△ A
1
B
1
C
1
．
命题③不正确．举一反例说明． 如图76，在钝角△ABC与锐角△ABC
1
中，AB=AB，AC=AC
1
，
AD⊥BC
1
，AD=AD．但△ABC与△ABC
1
显然是不全 等的．
命题④是正确的．可举一例说明．如图77，在钝角△ABC与锐角△ABC
1
中，AB=AB，AC=AC
1
，
∠ABC=∠ABC
1
，但△A BC与△ABC
1
显然是不全等的．
∴应选(D)．
二、填空题
22
2

提示：
1．由条件知，这个自然数只能是两位数，其个位 数字必定是5，它的十位数字可能是6
或7。经验算，75
2
=5625，65
2
=4225．所以，这个数为65．

3．经观察，这10个数 都与199相近，把每个数减199所得的差，分别记作-3.5，-2.5，
-1.5，-0.5，+ 0.5，+1，+1.5，+2，+2.5，+3.5，上述这10个差数的平均数为+0.3，A=199.3 ，
所以10A=1993．
4．可把条件变成(x-6xy+9y)+(x-4x+4)=0，

5．由a+b+c=13可知a+b=13-c，又a+b＞c，所以13-c＞c，即

222

共可组成5个三角形．

由0＜x＜2知，x+2＞0，＜0，

8．因为方程没有实数根，所以Δ＜0，即 (2m+1)
2
-4(m
2
+m+1)＜0，经整理得-3＜0，故对
任意数m，Δ＜0．
9．由题设条件知道：b-(-1)=-
∴a+b+c+d=0． < br>10．在BA的延长线AF上，截取AG，使AG=AC，连接GD，则△ADG≌△ADC，于是AG= AC，DG=DC，
从而，DB+DC=DB+DG，又DB+DG＞BG，而BG=BA+AG=BA +AC，∴AB+AC＜DB+DC．
及d-1=1-c，即a+b=2，c+d=-2．

经整理，得x
2
+y
2
+z
2
-xy-yz- yx=7．

13．由条件知△ABC与△CDE都是等边三角形．
在△BCE与△ACD中，BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=120°，
∴△BCE≌△ACD．于是，∠BEC=∠ADC，从而，△CEM≌△CDN，∴CM=CN=r．
14．由方程可知(x+y)(x-y)=1993×1，可得


∴|αβ|=997×996=993012．


希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题
一、 选择题:（每题1分，共10分）

1.若a<0,则化简
a
2
(1a)
2
得[ ]
A．1 B． C． D．
2.若一个数的平方是5-2
6
,则这个数的立方是[ ]
A.
93112
或
11293
; B.
93112
或
11293
;
C.
93112
或
11293
; D.
93112
或
11293
.
3.在四边形ABCD中,AB=1,BC=
2
,CD=
3
,DA=2,S
ΔABD
=1, S
ΔBCD
=
∠ABC+∠CDA等于[ ]

A．150° B．180°.C．200° D．210°．
6
,则
2
4．一个三角形 的三边长分别为2，4，a，如果a的数值恰是方程4|x-2|
2
-4|x-2|+1=0< br>的根，那么三角形的周长为 [ ]
A.7
11
; B.8; C.9; D.10.
22
222
5．如果实数x，y满足等式2x+x+xy+ 2=-2xy，那么x+y的值是 [ ]
A.1. B．0. C．1 .D．2． 6.设x=
n1nn1n
,y=,n为正整数,如果2x
2
+1 97xy+2y
2
=1993
n1nn1n
成立,那么n的值为[ ]
A．7. B．8. C．9. D.10
7．如图81，在△ABC中，∠A=36° ，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周长比△BCD的
周长多1厘米，则BD的长是 [ ]
A．0.5厘米. B．1厘米. C．1.5厘米. D．2厘米
8．方程x
2
-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 [ ]


A． . B．0. C．-2 . D．4．
9．如图82，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B＇，C＇，A＇，
且使BB ＇=AB，CC＇=2BC，AA＇=3AC．若S
△ABC
=1，那么S
△A＇B＇ C＇
是 [ ]
A．15. B．16. C．17. D．18.
10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 [ ]
A．a＞3. B.a≥3. C．a＜3. D．a≤3.
二、填空题（每题1分，共10分）
1．若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍 数的和为49，则这两个数是
______．

2
x
1
2
x
2
2．设x
1
，x
2
是方程x+px+1 993=0的两个负整数根,则=_______.
x
1
x
2
2

3.方程
x11x11
1
的解是____________.
x1
4．如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，
如果S△ABD
=5，S
△ABC
=6，S
△BCD
=10，那么S< br>△OBC
______．
5．设二次方程ax+bx+c=0的两根为x
1< br>，x
2
，记S
1
=x
1
+1993x
2,
S
2
=x
1
+1993x
2
,┉┉,S< br>n
=x
1
+1993x
2
,则aS
1993
+bS
1992
+cS
1991
=__________.
6．设 [x]表示不大于x的最大整数，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么
[
1900< br>]+[
1901
]+[
1902
]+┉+[
1992
]+[
1993
]=_________.
7．已知以x为未知数的二次方程abx -(a+b)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且
a＞b，那么两根之和超过3的方程是 ______．
8．如图84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分 线交AD于F，交AB于E，
FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=______．
9．已知k为整数，且关于x的方程(k-1)x-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数 根，
则k=______．
10．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余 每人获奖品7件；初二
获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不 等，
但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共
有 ______人．
三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）
1．

如图85，三所学校分别记作A，B，C．体育场记作O，它是△ABC的三条 角平分线的
交点．O，A，B，C每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各校再回到O点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC＞BC＞AB），并说明理由．
22
222
22nn
2



2.如果a=

1
2
11
2
22
,求 a+
a
4
a1
的值.
88

一、选择题









答案与提示

提示：




5．等式2x+x
2
+x
2
y
2
+2= -2xy化简为(x+1)
2
+(xy+1)
2
=0．∴x+1=0，xy+ 1=0．解之得x=-1，
y=1．则x+y=0．∴应选(B)．
6．由题设得：xy=1 ，x+y=4n+2由2x+197xy+2y=1993，得2(x+y)+193xy=1993．将xy= 1，
x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)
2
=900，即4n+2=30．∴ n=7．∴应选(A)．
7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD= ∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴
AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-( BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．
8．原方程化为(x< br>2
-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|
2
-5|x-1|+6 =0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．
∴x
1
=-1，x
2
=3，x
3
=-2，x
4
=4．则x
1
+x
2< br>+x
3
+x
4
=4．∴应选(D)．
9．连结CB＇,∵A B=BB＇,∴S
△BB＇C
=S
△ABC
=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇
=2S
△BB＇C
=2．∴S
△BB＇C＇
=3．
同理可得S
△A＇CC＇
=8,S
△A＇B＇A
=6．∴S
△A＇B＇C＇
=3+8+6+1=17．∴应选(D)．
10．原方程为|3x|=ax+1．
222

(1)若a=3，则|3x|=3x+1．

当x≥0时，3x=3x+1，不成立．

(2)若a＞3．


综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．
另解：（图象解法）
设 y
1
=|3x|，y
2
=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出， 当a≥3时，y
1
=|3x|的图
象直线y
2
=ax+1的交点在第 二象限．
二、填空题

提示：
1．∵49=7×7，∴所求两数的最大 公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m
＜n)，其中(m，n)=1．由ab= (a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，
∴m=2，n= 3，故a=14，b=21．经检验，14
2
+21
2
=637．∴这两个数 为14，21．
2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)． 而x
1
·x
2
=1993，且x
1
，x
2
为负整
数根，∴x
1
=-1，x
2
=-1993．或x
1< br>=-1993，x
2
=-1．则

4．设 S
△BOC
=S，则S
△AOB
=6-S，S
△COD
=1 0-S，S
△AOD
=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之
得S=4．

6．∵43
2
=1849＜1900＜1936=44
2
，又1936＜1993＜2025=45
2
．




其他都不合适．此时所求方程为14x
2
-53x+14=0．
8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC． ∴EA=EH，
∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE． ∴AE=AF，∴EH=AF．即
可推出△AGF≌△EHB．∴．∴-AG=14-10=4．

10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有
3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①
由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得

n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．

但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．
∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）．
三、解答题
1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：
OABCO（或OCBAO），OACBO（或 OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短．
记d(OABCO)，d (OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连
结OB＇． 则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．
d(OABCO)-d(OACBO)
=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)
=AB+CO-AC-BO
=AB+CO-AB＇-B＇C-B＇O
=CO-(B＇C+B＇O)＜0
同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．
所以路线OABCO的距离最短．


因此x与是关于t的方程


解二：由已知条件得

两边加上a
4
+1，得

显然0＜a＜1，0＜a＜1．
2


希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题
一、 选择题:（每小题3分，共30分）
1.使等式成立的x的值是[ ]
A．是正数 B．是负数. C．是0 D．不能确定
2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ]
A．

可能有两个直角. B．最少有一个锐角. C．不可能有三个钝角. D．最多有一个锐
角
3.如果
ab23
+(a+b-2
3)
2
=0,那么
A.1; B.-1; C.5-2
6
; D.2
6
-5.
4．已知线段a,b,c的长度满足a＜b＜c，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 [ ]
A．＜b B．2b＜a+c. C．＞a D．b
2
＜ac
5．有如下命题：
①负数没有立方根．
②一个实数的立方根不是正数就是负数．
③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0．
④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0．
其中错误的是 [ ]
A．①②③ B．①②④. C．②③④ D．①③④
6.若实数x、y满足x+y-4x-2y+5=0,则
22
b
的值是[ ]
a
xy
3y2x
的值是[ ]
A.1; B.
3
2
; C.
322
; D.
322
.
2
7．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角 边的长度是13，那么它的周长
为[ ] A．182 B．180. C．32 D．30
8．已知方程x
2
-x-1994=1994
2
，那么它的两根是 [ ]
A．1994,1995 B．． D．
9．如图16，BE是∠ABD的平 分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，
∠BGC=110°，则∠A的大小是 [ ]
A．70° B．75°. C．80° D．85°

10．n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ ]
A．(n+1)
2
B．(n+1)
2
-(n-1)
2
. C．(n+1)
3
.D．(n+1)
3
-n
3

二、 A组填空题（每小题3分，共30分）
1.设A=
62
,B=35
,则A、B中数值较小的是_________.
2．已知实数a满足a+
a
2

3
a
3
=0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=__ _______
3.一个角的余角比它的补角的
1
还多6
0
,则这 个角的度数是_________.
7
4.对
3
54
3
250
3
16
作化简,结果是__________.
5.某自然数的5 倍等于数a的立方,该自然数的
1
恰是数a,则这个自然数是_________.
5
6．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，则在△ABC中互为余角的角共有___ ___对．
7．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，则∠A CD+∠BCE=______．
8.当x=
5
-3时,多项式x+5x-2x-5 的值是_______________.
9．如图18，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54 °，AD是角A的平分线，DE平分∠ADC交AC于
E，则∠BDE=_______．
10.如果
11
的小数部分是a,而
三、
1.设M=
32
1
的小数部分是b,那么b=________.
a
B组填空题（每小题4分）
1
111
+++┉+,
1 2
233419931994
N=1-2+3-4+5-6+┉+1993-1994 ,则
N
=_______.
(M1)
2
2．在四边形ABCD中 (图19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的长度
分别为a和b，那么AB的长为______．

x
2
y
2

123123
3.设x=,y=,则

xy=_________.
22

2

4．如图20，在△AB C中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E，
若AB=5，则DE的长是______．
5.计算:
71516215
=______________.
6 ．设方程x+1993x-1994=0和(1994x)-1993×1995x-1=0的较小根次是α,β ，则α·β
=______．
7.若

22
2
21
x
,则
(3x2)
2
14x4x
2
5x< br>化简为____________.
32
8.设M,x,y均为正整数,且
M 28
=
xy
,则x+y+M的值是_______.
9．x为任意实数 ，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______．

10．如图21，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是 以A,B
为圆心,AD,BD为半径的圆的
1
,则阴影部分面积为_________ _.
4






答案·提示

一、选择题

提示：
1．根式内≥0，∴x≤0；又等式右端 x≥0，所以使等式成立的x的值只能是0．∴
选(C)．
2．由于三角形的三个内角最多只 能有一个钝角或者直角，所以它的三个外角中，不
可能有两个直角，可能有三个钝角（此时三角形的三个 内角均为锐角）。否定了(A)，
(B)，(C)．故应选(D)．

4．解一：可用特殊值法，不妨设a=2，b= 4，c=5，显然a＜b＜c，且组成三角形．分别代入(A)，(B)，(C)，(D)．则仅有A成立．所以选(A)．
解二：(A)满足“三角形两边之和大于第三边”．肯定成立，故选(A)．
5．负数有立方 根，0的立方根是0，又-1的立方根也是-1，所以错误命题是①②④，
应选(B)．

7．设另一条直角边的长度为x，斜边的长度


8．原方程可化为x2
-x-1994(1+1994)=0，即x
2
-x-1994×1995=0 ，于是由韦达定理推

知，方程的两根为1995，-1994，应选(B)．
9．解一：如图22，连接BC，设∠DBC=α，∠DCB=β，∠DBG=∠1，∠DCG=∠2，则α+β+∠BDC=180°．
∴α+β=180°-140°=40°
在△BGC中α+∠1+β+∠2+∠BGC=180°
∴∠1+∠2=180°-110°-(α+β)=30°
在△BAC中∠EAF+2(∠1+∠2)+α+β=180°
∴∠EAF=180°-2×30°-40°=80°．∴应选(C)．
解二：如图23延长BD分别交FC，AC于H，K．
设∠GBD=∠1，∠DCG=∠2，∠BDC=α，∠BGC=β，∠DHC=r．
∵α=r+∠2，r=β+∠1
∴α=β+∠1+∠2得∠1+∠2=140°-110°=30°
同理可推得β=∠A+∠1+∠2∴∠A=80°．应选(C)．

二、A组填空题
提示：

2．由条件知a+|a|+a=0，即2a+|a|=0，当a≥0时，2 a+a=0，所示a=0；当a＜0时，2a-a=0，
得a=0，矛盾．综上知a=0，于是得|a- 1|+|a+1|=2．



6．如图24,由题设条件可知,∠1+∠ 2=90°，∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠
4=90°，共计4对．
7．解一：如图25，设∠ACD=∠1，∠BCE=∠2，∠DCE=∠3．∵AC=AE，∴∠AEC=∠1 +
∠3．
∵BC=BD，∴∠BDC=∠2+∠3．
两式相加得∠AEC+∠BDC=(∠1+∠2+∠3)+∠3=90°+∠3．
又在△DC E中∠DEC+∠EDC+∠3=180°．∴90°+2∠3=180°,∠3=45°，∴∠1+∠
2=45°．
解二：∵∠ACE是等腰△ACE的底角，∴

9．如图26，∠B=66°，∠C=54°可知
∠BAC=60°，因为AD是角A的平分线，所以
∠BAD=30°,∠ADB=180°-66°-30°=84°,



三、B组填空题
提示：


2．如图27，自C点作CE∥AD 交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，AE=CD=b，
EC=AD=a．又∠AEC=∠D= 2∠B=∠B+∠ECB．
∴∠ECB=∠B，△ECB是等腰三角形．EB=EC=a，∴AB=AE+EB=a+b．

解二：由题设知x+y=1
22
∴x-y=(x+y)(x-y)=x-y代入得，

4．如图28， 由题设可知：∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，AE=ED．又∠3+∠4=90°，
∠1+∠5=90°，∴∠4=∠5，BE=DE．


6．∵前一个方程即(x+1994)(x-1)=0．
2
∴α．又后一个方程可化为(1994．

7．由题设知3x+2＞0，2x-1＜0．
∴原式=|3x+2|-|2x-1|+|5x|
或原式=3x+2+2x-1+5x


∴xy=7，又x＞y，

M=x+y=8，∴x+y+M=16．
9．根据绝对值的几何意义及对称性原理，当x=- 3时，|x+3|=0，而|x+2|与|x+4|的
值相等，|x+1|与|x+5|的值相等．当x =-3时，|x+2|=|x+4|=1，|x+1|+|x+5|=2，因

而原式=2 ×2+2×1=6，当x≠-3时，原式＞6．因此，原式的最小值为6．
10．连接CD，图21C D的右侧不动，左侧部分绕着D点逆时针方向旋转180°，使A点与
B


希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题
四、 选择题:（每小题3分，共30分）
1.使等式成立的x的值是[ ]
A．是正数 B．是负数. C．是0 D．不能确定
2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ]
B．

可能有两个直角. B．最少有一个锐角. C．不可能有三个钝角. D．最多有一个锐
角
3.如果
ab23
+(a+b-2
3)
2
=0,那么
A.1; B.-1; C.5-2
6
; D.2
6
-5.
4．已知线段a,b,c的长度满足a＜b＜c，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 [ ]
2
A．＜b B．2b＜a+c. C．＞a D．b＜ac
5．有如下命题：
①负数没有立方根．
②一个实数的立方根不是正数就是负数．
③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0．
④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0．
其中错误的是 [ ]
A．①②③ B．①②④. C．②③④ D．①③④
6.若实数x、y满足x+y-4x-2y+5=0,则
22
b
的值是[ ]
a
xy
3y2x
的值是[ ]
A.1; B.
3
2
; C.
322
; D.
322
.
2
7．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角 边的长度是13，那么它的周长
为[ ] A．182 B．180. C．32 D．30
8．已知方程x
2
-x-1994=1994
2
，那么它的两根是 [ ]
A．1994,1995 B．． D．
9．如图16，BE是∠ABD的平 分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，
∠BGC=110°，则∠A的大小是 [ ]
A．70° B．75°. C．80° D．85°
10．n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ ]

A．(n+1)
2
B．(n+1)
2
-(n-1)
2
. C．(n+1)
3
.D．(n+1)
3
-n
3

五、 A组填空题（每小题3分，共30分）
1.设A=
62
,B=35
,则A、B中数值较小的是_________.
2．已知实数a满足a+
a
2

3
a
3
=0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=__ _______
3.一个角的余角比它的补角的
1
0
还多6,则这个角的度 数是_________.
7
4.对
3
54
3
250
3
16
作化简,结果是__________.
5.某自然数的5倍等于数 a的立方,该自然数的
1
恰是数a,则这个自然数是_________.
5
6．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，则在△ABC中互为余角的角共有______对 ．
7．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，则∠ACD+∠ BCE=______．
8.当x=
5
-3时,多项式x
3
+5x
2
-2x-5的值是_______________.
9．如图18，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD是角A的平分线，DE平分∠ADC交AC于
E，则∠BDE= _______．
10.如果
11
的小数部分是a,而
六、
1
的小数部分是b,那么b=________.
a
B组填空题（每小题4分）
1
111
1.设M=+++┉+,
12
233419931994
N=1-2+3-4+5-6+┉+1993 -1994,则
N
=_______.
(M1)
2
2．在四边形 ABCD中(图19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的长度
分别为a和b，那么AB的长为______．

x
2
y
2

123123
3.设x=,y=,则

xy=_________.
22

2

4．如图20，在△AB C中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E，
若AB=5，则DE的长是______．
5.计算:
71516215
=______________.
6 ．设方程x
2
+1993x-1994=0和(1994x)
2
-1993× 1995x-1=0的较小根次是α,β，则α·β
=______．
7.若
2
21
x
,则
(3x2)
2
14x4x< br>2
5x
化简为____________.
32
8.设M,x,y 均为正整数,且
M28
=
xy
,则x+y+M的值是_______.
9．x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是__ ____．
10．如图21，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，AB=2，扇形ADG和B DH分别是以A,B

为圆心,AD,BD为半径的圆的
1
,则阴影部分 面积为__________.
4






答案·提示

一、选择题

提示：
1．根式内≥0， ∴x≤0；又等式右端x≥0，所以使等式成立的x的值只能是0．∴
选(C)．
2．由于三 角形的三个内角最多只能有一个钝角或者直角，所以它的三个外角中，不
可能有两个直角，可能有三个钝 角（此时三角形的三个内角均为锐角）。否定了(A)，
(B)，(C)．故应选(D)．

4．解一：可用特殊值法，不妨设a=2，b= 4，c=5，显然a＜b＜c，且组成三角形．分别代入(A)，(B)，(C)，(D)．则仅有A成立．所以选(A)．
解二：(A)满足“三角形两边之和大于第三边”．肯定成立，故选(A)．
5．负数有立方 根，0的立方根是0，又-1的立方根也是-1，所以错误命题是①②④，
应选(B)．

7．设另一条直角边的长度为x，斜边的长度


8．原方程可化为x2
-x-1994(1+1994)=0，即x
2
-x-1994×1995=0 ，于是由韦达定理推
知，方程的两根为1995，-1994，应选(B)．

9．解一：如图22，连接BC，设∠DBC=α，∠DCB=β，∠DBG=∠1，∠DCG=∠2，则α+β+∠BDC=180°．
∴α+β=180°-140°=40°
在△BGC中α+∠1+β+∠2+∠BGC=180°
∴∠1+∠2=180°-110°-(α+β)=30°
在△BAC中∠EAF+2(∠1+∠2)+α+β=180°
∴∠EAF=180°-2×30°-40°=80°．∴应选(C)．
解二：如图23延长BD分别交FC，AC于H，K．
设∠GBD=∠1，∠DCG=∠2，∠BDC=α，∠BGC=β，∠DHC=r．
∵α=r+∠2，r=β+∠1
∴α=β+∠1+∠2得∠1+∠2=140°-110°=30°
同理可推得β=∠A+∠1+∠2∴∠A=80°．应选(C)．

二、A组填空题
提示：

2．由条件知a+|a|+a=0，即2a+|a|=0，当a≥0时，2 a+a=0，所示a=0；当a＜0时，2a-a=0，
得a=0，矛盾．综上知a=0，于是得|a- 1|+|a+1|=2．



6．如图24,由题设条件可知,∠1+∠ 2=90°，∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠
4=90°，共计4对．
7．解一：如图25，设∠ACD=∠1，∠BCE=∠2，∠DCE=∠3．∵AC=AE，∴∠AEC=∠1 +
∠3．
∵BC=BD，∴∠BDC=∠2+∠3．
两式相加得∠AEC+∠BDC=(∠1+∠2+∠3)+∠3=90°+∠3．
又在△DC E中∠DEC+∠EDC+∠3=180°．∴90°+2∠3=180°,∠3=45°，∴∠1+∠
2=45°．
解二：∵∠ACE是等腰△ACE的底角，∴

9．如图26，∠B=66°，∠C=54°可知
∠BAC=60°，因为AD是角A的平分线，所以
∠BAD=30°,∠ADB=180°-66°-30°=84°,



三、B组填空题
提示：


2．如图27，自C点作CE∥AD 交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，AE=CD=b，
EC=AD=a．又∠AEC=∠D= 2∠B=∠B+∠ECB．
∴∠ECB=∠B，△ECB是等腰三角形．EB=EC=a，∴AB=AE+EB=a+b．

解二：由题设知x+y=1
22
∴x-y=(x+y)(x-y)=x-y代入得，

4．如图28， 由题设可知：∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，AE=ED．又∠3+∠4=90°，
∠1+∠5=90°，∴∠4=∠5，BE=DE．


6．∵前一个方程即(x+1994)(x-1)=0．
2
∴α．又后一个方程可化为(1994．

7．由题设知3x+2＞0，2x-1＜0．
∴原式=|3x+2|-|2x-1|+|5x|
或原式=3x+2+2x-1+5x


∴xy=7，又x＞y，

M=x+y=8，∴x+y+M=16．
9．根据绝对值的几何意义及对称性原理，当x=- 3时，|x+3|=0，而|x+2|与|x+4|的
值相等，|x+1|与|x+5|的值相等．当x =-3时，|x+2|=|x+4|=1，|x+1|+|x+5|=2，因

而原式=2 ×2+2×1=6，当x≠-3时，原式＞6．因此，原式的最小值为6．
10．连接CD，图21C D的右侧不动，左侧部分绕着D点逆时针方向旋转180°，使A点与
B



希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题
一、选择题:（每题4分，共40分）
1.如果a<0,那么
a
3
=[ ]
A.a
a
3
; B.-a
a
; C.a
a
; D. -a
a
.
2．已知，y=ax+bx+ cx+dx+e，其中a,b,c,d,e为常数，当x=2时，y=23；当x=-2时，y=-35，
那么e的值是 [ ]
A．6. B．-6. C.12. D．-12
753
1
中,一定是[ ]
a
11
33
A.a最小,a最大; B.
a
3
最小,a最大; C. 最小,a最大; D. 最小,a最大.
aa
3.如果-1a
3
,
3
4．方程x
2
-7|x|+12=0的根 的情况是 [ ]
A．有且仅有两个不同的实根.B．最多有两个不同的实根
C．有且仅有四个不同的实根.D．不可能有四个实根
5．若三角形的三边长度均为整数，其 中两边长的差是7，且三角形的周长是奇数，则第
三边长可能是 [ ]
A．9 . B．8. C．7. D．6.
6．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠AD C=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，
则DH的长是 [ ]
A．7.5. B．7. C．6.5. D．5.5.
7.已知关于x的二次方程2 x
2
+ax-2a+1=0的两个实数根的平方和是7
A．11或3. B．11. C．3. D．5
8.在ΔABC的三边AB,BC,CA上分别取AD,BE,CF ,使AD=
积是ΔABC的面积的[ ]
1
,则a的值为[ ]
7
111
AB,BE=BC,CF=AC,则ΔDEF的面
444

A.
35
17
; B.; C.; D..
88
416
9．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是 [ ]
A．5. B．6. C．7 .D．8
10．设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是[ ]
A．3n
2
B．5n
2
．9n
2
.D．11n
2

二、填空题：（每题4分，共40分）
1.已知关于x的 二次方程x+px+2=0的两根为x
1
和x
2
,且x
1
- x
2
=2
2
,那么p的值为_____.
2．如果(1-3x)= a
0
+a
1
x+a
2
x+a
3
x+a4
x+a
5
x，那么|a
1
|+|a
2
|+| a
3
|+|a
4
|+|a
5
|的值为______． 3．如图30,在梯形ABCD中,AD∥BC，AB=DC=10厘米，AC与BD相交于G，且∠AGD =60°，设
E是CG的中点，F是AB的中点，则EF的长为________．
4．如图31中，以A,B,C,D,E,F,G,H这些点为端点的线段共有______条． 5.若a,b,c是实数,且a+b+c=2
3
,a+b+c=4,则(a-2b+c)< br>2221994
52345
2
=______.
6．编写一本数学书的页数总共用6869个数字，（例如一本10页的书，
它的页数是一位数的9个，两位数的1个，总共用去数字9+2=11个），
那么这本数学书的页数是________．
7．一个口袋内装有红、蓝、白三种不同颜色的小球,其中蓝球数
至少是白球数的一半,但至多是红球数的
至少是55个,则红球至少有________.
8．如图32，正方形ABCD内有一个内接△AEF，若∠EAF=45°，
AB=8厘米，EF=7厘米，则△EFC的面积是______．
9. 若a,b,c是实数,且a=2b+
2
,ab+
1
,白球与蓝球的总和
3
bc
3
2
1
c+=0,那么的值是_____.
4
a
2
10．已知：a≠0，14(a
2
+b
2
+c
2
)=(a+2b+3c)
2
，那么，a∶b∶c=______．
三、解答题（每题10分，共20分）
1．

如图33，五边形ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，
连接AD．求证：AD平分∠CDE．

2．如图34，甲、乙、丙三人同时分别从A、B、C出发,甲向C, 乙、丙向A前进,过了2
时,甲与乙于M点相遇;又过了
之间的距离为
公里？


















1
小
7
5
小时,丙于N点追及乙,已知B点恰为N,C的中点,M与N
14
10
公里；又知甲比丙提前1小时到达目的地，问A与B，B与C之间各多少
7

答案·提示
一、选择题

提示：

2．由题设知，当x=2时，
23=a·2
7
+b·2
5
+c·2
3
+d·2+e ①
当x=-2时，-35=a·(-2)
7
+b·(-2)
5
+c·
(-2)
3
+d·(-2)+e，即35=-a·2
7
-b·25
-c·2
3
-d·2+e ②
①+②，则得2e=-12，所以e=-6．故选(B)．

4．原方程可化为|x |
2
-7|x|+12=0．推出(|x|-4)(|x|-3)=0．从而|x|=4或|x |=3解得x=
±3，x=±4，故选(C)．
5．不妨设三角形三边长度为a,b,c．且 ，则a与b为一奇一偶，又题设知a+b+c
，所以第三为奇数，所以c一定是偶数，又三角形两边之差 小于第三边，即c＞
边长可能是8，故选(B)．
6．如图35，自C作DH的垂线CE交DH于E．
∵DH⊥AB，CB⊥AB．
∴CB∥DH又CE⊥DH．
∴四边形BCEH是矩形，则HE=BC=2，在Rt△AHD 中，∠A=60°，∴∠ADH=30°，又

∠ADC=90°∴∠CDE=60°，则在Rt△CED

7．设方程的两个实根为x
1
，x
2
，则

整理 ②式得，a
2
+8a-33=0，解得a=3或a=-11．将a=3代入①式得3
2
+16×3-8＞0．将a=-11
代入①式得(-11)+16·(-11)-8＜0矛盾． 故选(C)．
8．如图36，连接AE．
2


9．设∠A，∠ B，∠C均为钝角，则90°＜A＜180°，90°＜B＜180°，90°＜C＜
180°．270 °＜A+B+C＜540°．
n边形中其余n-3个角均小于等于90°．
∵∠A+∠B+∠C+∠D+…+∠N＜540°
n边形的n个角和为(n-2)×180°．
∴(n-2)·180°＜540°+(n-3)·90°推出．n＜7，∴n的最大值为6．
又极端情况为三钝角相邻，三个角的各边接近为一条角线，如图37可画出恰有三个钝
角的六边形，故 选(B)．
10．解一：欲使9n
2
为某自然数的平方，有9n
2
-9n+9=9(n
2
-n+1)，必须使n
2
-n+1
2222< br>·90°．
为某自然数的平方，而n＞1时有n-2n+1＜n-n+1＜n，即n-n+1不 可能为某自然数的
完全平方，故选(C)．
解二：当n=2时，3n
2
-3n+3=9，
当n=3时，5n
2
-5n-5=25，
当n=4时，11n
2< br>-11n-11=121均为完全平方数，所以排除(A)，(B)，(D)．选(C)．
二、填空题

提示：
1．由题设的方程的两根为x
1
，x
2
，得


2．

解法一：∵(1-3x)
5
=a
0
+a1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+a
4
x
4
+a
5
x
5
．
其中 a
0
＞0，a
2
＞0，a
4
＞0，a
1
＜ 0，a
3
＜0，a
5
＜0．
∴|a
0
|+|a< br>1
|+|a
2
|+|a
3
|+|a
4
|+| a
5
|=a
0
-a
1
+a
2
-a
3
+a
4
-a
5
．
将x=-1代入原等式两端得
[1-3×(-1)]=a
0
+a
1
·(-1)+a
2
· (-1)+a
3
·(-1)+a
4
·(-1)+a
5
·(- 1)
即1024=a
0
-a
1
+a
2
-a
3
+a
4
-a
5
．
∴|a
0
|+|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+|a
4
|+ |a
5
|=1024-a
0
=1023
解法二：将(1-3x)用乘法分式逐项展开，得
(1-3x)
5
=1-1 5x+90x
2
-270x
3
+405x
4
-243x5

∴|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+|a
4
|+|a
5
|=90+270+405+243=1023．
3．如图38，连接BE．
∵AB=CD，AD∥BC．
∴四边形ABCD是等腰梯形，又∠BGC=∠AGD=60°．
∴△BCG为等边三角形，BE是CG边的中垂线．
∴BE⊥CG即△ABE是直角三角形．

4．线段有AB,AG,AE,GE,DH,DE,HE,DF,DC,FC,
Ad,BG,BH,BF,GF,HF,BC,BE,EC共20条．
5
52345

6．一位数9个，需9个数字，两位数90个，需2×90个 数字，三位数900个，需3×900
个数字，四位数9000个，需4×9000个数字．而9+2× 90+3×900＜6869＜9+2×90+3×
900+4×9000．即2889＜6869＜3 8889．

设需用x个四位数码．则9+90×2+900×3+4x=6869．解 得x=995．
所以书的页数为1000+995-1=1994．
7．设红、蓝、白三种小球的个数分别为x,y,z．则

∴y+z≤y+2y=3y．
x≥3y=57，∴红球至少有57个．
8．延长EB到G，使BG=DF，连接AG（图39），∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF，
∴∠2=∠3，又∠1+∠2=45°，∴∠1+∠3=45°，∠EAF=45°．
在△A EF和△AEG中，AE=AE，AF=AG，∠EAF=∠EAG∴△AEF≌△AEG，EF=EG=7．
S
△EFC
=S
ABCD
-S
ABEFD
=SABCD
-2S
△AEG





10．由题设得
14a
2
+14b
2
+14c
2
=a
2
+4b
2
+9c
2
+4ab+6ac+12 bc
∴13a
2
+10b
2
+5c
2
-4ab- 6ac-12bc=0．

(4a-4ab+b)+(9a-bac+c)+(9b-12bc+4c)=0．
即(2a-b)+(3a-c)+(3b-2c)=0．
∴2a-b=0，3a-c=0，3b-2c=0．
即b=2a,c=3a，3b=2c，∴a∶b∶c=1∶2∶3．
三、解答题
1．

证一：如图40，连接AC，将△ABC绕A点旋转120°到△AEF．
∵AB=AE，∠BAE=120°，∴AB与AE重合．又∠ABC+∠AED=180°．
∴D，E，F在一条直线上，AC=AF．在△ACD和△AFD中，DE+EF=DE+BC=CD．AF= AC，
∴△ACD≌△AFD，∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE．
证二：如图41连接AC．
∵BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°．
∴将△ABC，绕C点顺时针方向旋转至
△FGC，同时将△AED绕D点逆时针方向旋转至△FGD．
则AB与AE重合成FG，A C旋转后成CF，AC=CF，AD旋转后成DF，AD=DF，CD=CD．
∴△ACD≌△FCD，∴∠ADC=∠FDC=∠ADE．即AD平分∠CDE．
证三：如图42．
∵BC+DE=CD．在CD上，取CF=DE，则FD=BC．连接BF，FE，AF，AC．
在△BCF和△FDE中，BC=FD，CF=DE，∠BCF=120°，
∠FDE=540°-120°-120°-180°=120°（五边形内角和=540°）
∴△BCF≌△FDE．∴BF=FE，∠1=∠3，∠2=∠4．
在△ABF和△AEF中，AB=AE，BF=FE，
222
222222

在△ACF和△ADE中，AF=AE，CF=DE，∠AFC=60°+∠2=60°+∠4=∠AE D，
∴△ACF≌△ADE，∠ADE=∠ACF，AC=AD，∠ACF=∠ADF，
∴∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠CDE．
证四：如图43，延长BC，ED相交于F， 自A向BC和DE的延长线引垂线AG，AH，垂足分别
为G，H连接AF与CD相交于K．
在Rt△ABG和Rt△AEH中，AB=AE，∠ABG=180°-∠AED=∠AEH，
∴△ABG≌△AEH，∴AG=AH，∠BAG=∠EAH．
在△CDF中，∠FCD=180°-∠BCD=60°，∠CDF=180°-∠CDE．
∠CDE=540°-(180°+120°+120°)=120°
∴∠CDF=60°，∴△CDF是等边三角形．

∴CD=CF=FD．在R t△AGF和Rt△AHF中AG=AH，AF=AF，∴△AGF≌△AHF，
∴∠AFG=∠AF H=30°，∴FK平分∠CFD，FK垂直平分CD．又∵BC+DE=CD，BG=EH．
在Rt△ADK和Rt△ADH中AD=AD，DK=DH，∴△ADK≌△ADH，∠ADK=∠ADH即 AD平分∠CDH．
2．如图44，N点在M点左侧．设甲、乙、

又设AB的距离为x公里，则

即



答：A，B之间距离为30公里，B，C之间距离为10公里．



第六届(1995年)初中二年级第一试试题
一、选择题:
1.下列五个数:3.1416,
A．0个
2.-
1

,

,3.14,

1
,其中是有理数的有[ ]
B．1个 C．2个 D．3个
1
的平方的立方根是[ ]
8

A.4; B.
1
11
; C.-; D..
8
44
D．3≤x＜5
3．适合不等式2x-1＞-3x+14≥4x-21的x的值的范围是 [ ]
A．x＞3. B．x≤5. C．3＜x≤5
aa
2
a
3

3
的值是[ ] 4.已知a是非零实数,则
a
a
2
a
A．3或 B．或1. C．3或1 D．或
│a-b-c│-│b-c-a│+│c-b-a│=[ ]
D．2(a+b-c)
5．若a，b，c为三角形的三条边长，则
A．2(a-b-c) B．2(b-a-c). C．2(c-a-b)
6．如图19，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D， ∠D=40°，则∠
A= [ ] A．50° B．60°. C．70° D．80°
7．已知实数a、b满足条件a
2
+b
2
+a
2
b
2
=4ab-1，则 [ ]

A.

a1

a1

a1

a1
a1

a1
; B.

或

; C.

或

; D.

.

b1< br>
b1

b1

b1

b1

b1

8．某项工程，甲单独做需a天，在甲做了c天(c＜a＝后，剩 下工作由乙单独完成还需b
天，若开始就由甲、乙两人共同合做，则完成任务需[ ]天
A.
c
ababcbc
; B.; C.; D..
ab
abc2abc
9．如图20，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上 任意一点，
则PA
2
+PB·PC的值为[ ]
A．m. B．m+1. C．2m. D.(m+1)
10．如图21，△ABC的面积为18cm
2
，点D、E、F分别位于AB、BC、CA上．且AD=4cm，DB=5cm．如
果△AB E的面积和四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积是 [ ]
A．8cm
2
. B．9cm
2
. C．10cm
2
. D．12cm
2

二、A组填空题:
1.化简:
625
2222.
36
0.25
=_______ __.
169
22
11

2计算:

10 0.001



0.0110

=______ ____.
1001000

3．化简1+x+x(1+x)+x(1+x) +…+x(1+x)
21995
，得到_____．
4．若n满足(n-1994)
2
+(1995-n)
2
=1，则(1995-n)·(n-1994)__ ___．
5．如图22,已知△ABC中，∠ACB＞90°，∠B=25°，CD⊥BC于点C，
BD=2AC，点E在BC的延长线上，则∠ACE的大小是______．
6．在一个凸n边形(n＞3)的n个外角中，其中最多有_____个钝角．
7．如图23 ，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB=12cm，BC=13cm，则