四川电影电视学院-老师祝福语

希望杯第二十三届(2012年)全国数学邀请赛初一第1试
一、选择题(每小题4分，共40分)
4(1)
2
1．计算：
1(2)
=（ ）
4
2
(A)一2 (B)-1 (C)6 (D)4
2 ．北京景山公园中的景山的相对高度(即从北京的地平面到山顶的垂直距离)是45.7米，海
拔高度是 94.2米．而北京香山公园中的香炉峰(俗称“鬼见愁”)的海拔高度是557米．则
香炉峰的相对高 度是( )米．
(A)508.5 (B)511.3 (C)462.8 (D)605.5
3．If rational numbers a，b，and c satisfy a＜b＜c，then |a—b|+|b—c|+|c—a|=( )
(A)0 (B)2c一2a (C)2c一2b (D)2b一2a
4．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这 两次拐
弯的角度可能是( )
(A)第一次向左拐40°，第二次向右拐40° (B)第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
(C)第一次向右拐70°，第二次向左拐110° (D)第一班向左拐70°，第二次向左拐1lO°
5．某单位3月上旬中的1日至6日每天用水量的 变化情况如图1所示．那么这6天的平均
用水量是( )吨．
(A)33 (B)32.5 (C)32 (D)31
6．若两位数
ab< br>是质数，交换数字后得到的两位数
ba
也是质数，则称
ab
为
绝对质数．在大于11的两位数中绝对质数有( )个．
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
7．已知有理数x满足方程
1< br>2012
x
x1
1
x
4
2009
< br>，则
9
=( )
2012
x49
(A)一41 (B)一49 (C)41 (D)49
8．某研究所全体员工的月平均工资为5500元，男员工月平均工资为6500元，
女员工月平均工资 为5000元，则该研究所男、女员工人数之比是( )
(A)2：3 (B)3：2 (C)1：2 (D)2：l
9．如图2，△AB C的面积是60，AD：DC=1：3，BE：ED=4：l，EF：FC=4：5．则△BEF的面
积 是( )
(A)15 (B)16 (C)20 (D)36
10．从3枚面值3元的硬币和5枚面值5元的硬币中任意取出1枚或多于1枚，可以得到 n
种不同的面值和，则n的值是( )
(A)8． (B)15． (C)23． (D)26．
二、A组填空题（每小题4分，共40分）
11．若x=0.23是方程
mx
1
0.12
的解，则m=__ ________．
5

12．如图3，梯形ABCD中．∠DAB=∠CDA=90°，AB=5，CD=2，AD=4．
以梯形各边为边分别向梯形外作四个正方形．记梯形ABCD的面积为S
1
，

四个正方形的面积和为S
2
，则
S
1
=_____ ________.
S
2
1
，则a=_______.
3213．若有理数a的绝对值的相反数的平方的倒数等于它的相反数的立方的
2222
14. lf a＜－2,－1＜b＜O, H=－a－b ,O=a+b ，P=－a+b, and E=a-b, then the magnitude
relation of the four number H, O, P, and E is________________________.
(英汉小词典:magnitude relation 大小关系 )
15．某农民在农贸市场卖鸡 ．甲先买了总数的一半又半只．然后乙买了剩下的一半又半只．最
后丙买了剩下的一半又半只 ，恰好买完．则该农民一共卖了___________只鸡．
22
16．若(a一2b＋3 c＋4)＋(2a一3b＋4c一5)≤0，则6a一10b＋14c－3=________________ ．
17．如图4,在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AB=10,BC=25， AD=15，现以BD为折
痕,将梯形ABCD折叠，使AD交BC于点E．点A落到点A
1< br>,则△CDE的面积是_______________．





22
18.代数式5a十5b—4ab一32a一4b十lO的最小值是 __________．
19．如图5，△ABC中, ∠ACB=90°，AC=lcm．AB=2 cm．以B为中心，将△ABC顺时针旋转，
使锝点A落在边CB延长线上的A
1
点， 此时点C落到点C
1
，则在旋转中，边AC变到A
1
C
1
2
所扫过的面积为_________cm(结果保留π)．
20．在一条笔直的公路上，某一 时刻，有一辆客车在前，一辆小轿车在后，一辆货车在客车
与小轿车的正中间同向行驶，过了10分钟， 小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车
追上了客车，此后，再过t分钟，货车追上了客车，则t=_ ________________．
三、B组填空题(每小题8分，共40分)
21．已知2x一3y=z＋56, 6y=91－4z－x，则x，y, z的平均数是______ _______，又知x
2
＞0并且(x一3)=36，则x=________ ，y=_________，z=__________．
22.有长为lcm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm的六根细木条，以它们为边(不准截断或连接)
可以构成___ ____个不同的三角形，其中直角三角形有____________个．
23.已知11瓦(0. 011千瓦)的节能灯与60瓦（即0.06千瓦)的白织灯的照明效果相同，使
用寿命都越过3000 小时．而节能灯每只售价为27元，白炽灯每只售价为2.5元．电费为
0．5元／千瓦时．若用一只1 1瓦节能灯照明1500小时，则电费为_________元．对于11
瓦的节能灯和60瓦的白炽灯 ，当照明时间大于_______小时时，买节能灯更划算．
a
2
b
2< br>24．已知正整数a，b的最大公约数是3，最小公倍数是60，若a＞b,则
2ab
= _____________.
25．如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，M是∠CAB的平分线AL的中点.
延长CM交AB于K，BK=BC．则∠CAB=_______°,
∠ACK
=_________.
∠KCB

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛第1试答案
题号
答案

题号 11
答案


题号
答案

9、（1）面积公式:S=底边×高÷2，直接计算：AD:DC=1:3，高相同，则面积比也为1:3，因
此，S
△
BDC
=S
△
ABC
×34，即60×3 4=45。以此类推，得到答案为选项B.
（2）S
△
BEF
S
△
BEC
=EFEC=49，S
△
BEC
S
△
BDC
=BEBD=45，S
△
BDC
S
△
ABC
=DC AC=34，所以，
S
△
BEF
S
△
ABC
=49 × 45 × 34 =415 ，故，S
△
BEF
= S
△
ABC
× 415 =60×415=16.
10、（1）画出3个 3元和5个5元的图示，3枚3元硬币，可组成3、6、9共3种不同面值，
5枚5元硬币，可以组成5 、10、15、20、25共5种不同面值，这样有 3+5=8种不同面值；
再继续用3元和5元的硬 币组合，可以得到15种不同面值。因此，共有：8+15=23种.





3 3 3
21 22 23
8.25；1000
24 25
45°；
12 13
-2
14 15
7
16
-1
17 18 19 20
15
1
C
2
A
3
B
4
D
5
C
6
A
7
A
8
C
9
B
10
C
81

235
PHOE

70
5

-58
6
5


12
49
;9;39;79

7；1
3
3999
或
4040
1

3
5 5 5 5 5
（2）3元面值硬币可取0枚、1枚、2枚、3枚共4种取法，5元面值硬币可取0枚、1 枚、
2枚、3枚、4枚、5枚共6种取法，但3元和5元硬币不能同时取0枚，因此共4×6-1=23
种取法，即23种不同面值.
14、（1）根据题目条件，假设a=-3、b=-0.1，逐个套入等式，根据结果比较HOPE < br>（2）由条件可知，a和b都为负数，负负得正；且b的绝对值为小于1的小数，因此b
2
＜|b|。

由此可以判断HOPE的大小
（3）由题目条件可知，a＜-2 ，所以-a＞2，a
2
＞4，-a＜a
2
；-1＜b＜0，所以0＜b2
＜-b＜1。
据此可以推断HOPE的大小，其中H和O的大小，可以二者代入符合条件 数值进行比较。
16、任何数的平方都≥0，因此由题目条件可知：a-2b+3c+4=0，2a- 3b+4c-5=0，
二者相加可得：3a-5b+7c-1=0，即，3a-5b+7c=1，故， 6a-10b+14c-3=2×(3a-5b+7c)-3=2×1-3=-1
17、作DF⊥BC于F点。设EF=x ，又，EF=EA
1
，故EF=EA
1
=x。
因此，DE=DA< br>1
-EA
1
=15-x。根据勾股定理，DE
2
=DF
2
+EF
2
，即(15-x)
2
=10
2
+x< br>2
，解得x=256。
故△CDE面积为：CE×DF×12=(EF+CF)×10× 12=(256+25-15) ×10×12=4256
18、5a
2
+5b2
-4ab-32a-4b+10=a
2
+4b
2
-4ab + 4a
2
-32a+64+b
2
-4b+4-58=(a-2b)
2< br>+4(a-4)
2
+(b-2)
2
-58，
因此当a=4且b =2时，上式等于 -58，为最小值.
19、由∠ACB=90°，ACAB=12，可知∠ABC =30°，∠ABA
1
=∠CBC
1
=150°。故所扫过
面积是： S
扇形
BAA1
+S
△
ABC
- S
扇形
BCC1
-S
△
A1BC1
= S
扇形
BAA1
- S
扇形
BCC1
=π×2
2
×150°360°-π×
(2
2
-1
2
)×150°36 0°=5π12
20、设轿车速度为v
1
，货车速度为v
2
，客车 速度为v
3
，三车之间的初始距离为s，则：
v
1
-v
2
=s10，v
1
-v
3
=2s(10+5)，二式相减可得：v2
-v
3
=2s15- s10= s30，
故货车追上客车的时间为：t=30-10-5=15分钟。
21、2x-3y-z=56， x+6y+4z=91，二式相加可得：3x+3y+3z=147，即x+y+z=49，故：x、y、z的平均数为：493；因(x-3)
2
=36，故x-3=±6，又x＞0，故x=9，代 入方程式得：y=-39，z=79
22、有组合：2、3、4；2、4、5； 2、5、6； 3、4、5； 3、4、6； 3、5、6； 4、5、6，
共计7个不同的三角形；根据勾股定理可知，只有1个直角三角形：3、4、5
23、电费：0.011×1500×0.5=8.25. 设照明时间为x，在此时间时，两种灯的费用相同，则：
27+0.011×x×0.5=2.5+0.06×x×0.5，解方程得：x=1000
24、明确最大公约数及最小公倍数的概念。最小公倍数=两数的乘积最大公约数
设a=3x，b=3y，则：(x，y)=1且xy=20，又，a＞b，即x＞y，故：
x =20，y=1或x=5，y=4，因此(a
2
-b
2
)2ab=39940 或940
25、设∠CAB=2α，因为AM=ML，且∠ACB=90°，故CM=AM，∠ACM =∠MAC=α，
故∠CKB=∠CAK+∠ACM=3α，∠KCB=90°-∠ACM=90°-α，
又BK=BC，故∠CKB=∠KCB，则3α=90°-α，α=22.5°，
因此，∠CAB=2α=2×22.5°=45°，∠ACK∠KCB=α(90°-α)= 22.5°(90°-22.5°)=13

2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的.
1.下面四个命题：其中错误的命题的个数是（ ）
（1） 若两个角是同旁内角，则这两个角互补。
（2） 若两个角互补，则这两个角是同旁内角。
（3） 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补。
（4） 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2.若两位自然数
ab
是质数，且交换数字后的两位数
ba
也是质数，则 称
ab
为绝对质数，于
是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数是（ ）
（A）1 （B）3 （C）7 （D）9
3.如图1，将边长为4cm的等边
ABC
沿边BC向右平移2cm得
DEF
，
DE与AC交于点G，则< br>S
四边形ABFD
:S
ABC

（ ）
（A）3：2 （B）2：1 （C）5：2 （D）3：1
4.有理数
a,b,c
在数轴上的位置如图2所示，O为原点，则代数式
abbaacc
（ ）
（A）
3a2c
（B）
aab2c
（C）
a2b
（D）
3a

perimeter of a triangle is 18 ,while each side is an integer, if the longest side is not a
prime number, then the number of such triangle is ( )
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（英汉小词典：perimeter of a triangle 三角形的周长；prime number 质数）
6.77可以表示成
n(n2)
个连续自然数的和，则
n
的值 的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
7.如图3，
ABC
中，
BCA90

，点E在边CA上，点D和
F在边 BA上，若BC=CD=DE=EF=FA，则
A
（ ）
（A）
20

（B）
18

（C）
15

（D）
12


8.已知x,y是非负整数，且使
（A）1 （B）2
x14y

是整数，那么这样的数对(x,y)有（ ）个。
23
（D）2012 （C）3
9.身高两两不同的30个学生面向老师站成一排 ，其中恰有11个学生高于自己左侧相邻的
同学，那么高于自己右侧相邻同学的学生有（ ）人。
（A）11 （B）12 （C）18 （D）19
10.若x+y=3，xy=1 ,则
x
5
y
5

（ ）
（A）33 （B）231

二、填空题（每小题4分，共40分）
32
11.计算 ：
2012201120132012201120132011

（C）123 （D）312
12.已知
ABC
中，AB=2，BC=9，若AC的长是奇数，则AC=

13.若自然数x除以3余2，除以4余3，除以5余4，则x除以15所得余数是

4x
2n3
y
2m
and
7x
m2
y
6n
are similar terms, then
(mn)m
n
=
15.如图4， 在四边形ABCD中，ADBC，点E在AD上，点F、G在BC
上，并且AE=ED=BF=FG=G C，以A、B、C、D、E、F、G这7个点中的
三个顶点的三角形中面积最小的三角形有 个；面积最大的三角形有
个。
16.用黑、白两种颜色的
1 1
正方形瓷砖，按图5所示的方式铺地板；（图（1）中有
35
块
瓷砖， 以后各图都比前前一个加铺
25
块瓷砖），则有2014块黑色
瓷砖的是图5中的第 个图。

17.图6是用若干个同样
的小正方体拼成的立体的俯视图，若此立体最高 有三层，则此立体最少有 个小
正方体，最多有 个小正方体。
18.1900年以后出生的人，他出生年份的最后两个数字组成的两位数（若末两位数 字为00
或01，则看成两位数
00
或
01
，其余类推），加上这个 人今年的年龄数，所得的结果是
或 。（注：今年的年龄数=2012-出生年份）
19.已知正n边形
A
1
A
2
A
3

A
n1
A
n
的面积是 60，若四边形
A
1
A
2
A
k
A
k1< br>是一个面积为20
的矩形，则这个正n边形的一个内角是 度。
2 0.
P(x)
1
5
1
4
1
3
11
xxxx
，则
[P(2)P(2)]

523303
三、解答题，每题都要写出推算过程
2
21.已知
a ,b,c
都是整数，如果对任意整数x，代数式
axbxc
的值都能被3整除。

证明：
abc
可被27整除。(本题满分10分)







22.（本题满分15分）
某公司以每吨500元的价格收购了100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是
1000 元。该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：
工艺
粗加工
精加工
每天可加工药材的吨数
14
6
出品率
80%
60%
售价（元吨）
5000
11000
受市场影响，该公司必须在10天内将这批药材加工完毕，现有3种方案：
(A)全部粗加工：(B)尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售；
(C)部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成。问：哪个方案获得的利润最大？是多少？

23.有一系列数，前两 个数是1，2，从第三个数起，每个数都等于它前面相邻的两个数的和
的个位数字，请回答以下问题：
（1） 在这列数中能否依次出现相邻的2，0，1，2这四个数？说明理由；
（2） 这列数中的第2012个数字是什么？说明理由。（本题满分15分）

2012年第二十三届“希望杯”数学邀请赛初一第2试答案
题号
答案

题号
答案
11 12 13
14
14
12
15 16 17 18 19 20
1
D
2
B
3
B
4
A
5
B
6
C
7
B
8
B
9
C
10
C
-2010 9 17；3 671 8；18 112；12 150 6
21.设P(x)＝ax
2
+bx+c，则P(0)＝c ，对任意整数x，代数式的值都能被3整除，所以3│c.
又因为P(1)＝a+b+c，P(－1)＝ a－b+c，所以3│a+b+c，3│a－b+c.
从而3│[P(1)－P(－1)]，即3│2 b，由于（3，2）=1，所以3│b，又因为3│[P(1)+P(－
1)]，所以3│(2a+2c )，由于（3，2）=1，所以3│(a+c).
上面已经证明了
3|c
，所以< br>3|a
，因为
3|a,3|b,3|c
， 所以
27|abc

22.因为每吨药材的收购价是500元，所以100吨药材的收购费用是500×100=50000 （元）
（1）若100吨药材全部被粗加工，则所需加工的时间是100÷14=
可获得的利 润是5000×100×80%-50000=350000（元）
（2）若尽可能多地精加工，剩余的直接在市场销售，则10天可精加工药材量6×10=60（吨）
于是精加工部分可获得11000×60×60%=396000（元）
剩余100-60=40（吨）的药材直接在市场上销售，1000×40=40000（元）
两项合计可得利润396000+40000-50000=386000（元）
（3） 若部分精加工，部分精加工，且恰好10天完成，则不妨设粗加工x天，则
14x+6×(10-x)=100，解得x=5
于是这种方案共可获得利润14×5×0. 8×5000+6×5×0.6×11000-50000=428000(元)
50
10
（天）
7

综上，第三个方案获得的利润最大，是428000元。
23.（ 1）否。假设能出现，则因为2+0=2，而2不等于1，矛盾，故不会有2，0，1，2连
续出现的情 形。
（2）注意到数串出现的只是0到9的数字，其中5个奇数，5个偶数，所以不同的（奇，
偶）对共有5×5=25对，因此，根据抽屉原理，（奇，偶）对在这无穷数串中必定会重复出
现，此 后成周期循环，我们通过实验找规律

发现，第61个数等于第1个数，第62个数等于第2个数，以下各数以60为周期循环出现。
因为2012÷60=33……32，所以这列数中的第2012个数字等于第32个数字，即8.