最新希望杯六年级真题及解析
上任表态发言-中国古代诗歌散文欣赏
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第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛
六年级
第 1 试试题
2015 年 3 月 15 日
上午 8:30 至 10:00
以下每题 6
分，共 120 分.
1. 计算：
1 1 1 1
1
________．
2 4
8
16
32
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 1 题
【考点】借来还去——分数计
算【难度】☆
31
【答案】
32
1111111
【解析】原式
2
4
8
16
(
32
32
)
32
111111
2
4
8
(
16
16
)
32
11111
2
4
(
8
8
)
32
1111
2
(
4
4
)
32
111
2
2
32
1
1
32
31
32
13
2. 将
999
化成小数，小数部分第 2015 位上的数字是________．
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 2 题
【考点】循环小数与分数——计算
【难度】☆【答案】1
【解析】
999
13
0.013 ， 2015 3
671
2 ，所以数字为 1.
1
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3.
若四位数 2 AB7 能被 13 整除，则两位数 AB
的最大值是________．
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 3 题
【考点】整除问题——数
论【难度】☆☆【答案】
97
【解析】
13 2
AB7
13
AB0
2007
，
2007 13
5
利
，所以 AB0 13
8 ，13 AB5 ，
用数字谜或倒除法，可确定 AB 97
。数字谜方法如下：根据乘积的个位，可确定第二个因数的个位为 5，因
为构造最大值，所以十位为最大为 7，积为 975
1 3
1 3
1 3
7 5
5
6
5
9
6 5
1
5
5
9 7 5
4.
若一个分数的分子减少
20%，并且分母增加 28%，则新分数比原来的分数减少了________%．
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 4 题
【考点】分数应用题——应用
题【难度】☆☆【答案】37.5
【解析】设原分数为
a
，则新分数为
a
5
a 1
20%
，所以新分数为原分数的
5
5
，
1
1 100%
37.5%
b
b
1 28%
b
8
8
8
5. 若
a
1
a 1
，则自然数 a =________．
1
1 1
1 1
2011
2012
2013
2014
2015
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 5 题
【考点】比较与估算——计算
【难度】☆☆【答案】402
【解析】设
x
2011
402
1
x
1
2015
403 ，所
1
1
，
x
1
5
1
1 1
5 1
5
2011
2012
2013
2014
2015
2011
5
2015
5
1
1
以 402
1
x 403 ， a
402
5
，
．那么，
6.
定义：符号
表示的小数部分，如
x
________．（结果用小数表示）
3.14
0.14
0.5
0.5
2015
315
412
4
5
3
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 6 题
【考点】高斯记号与循环小数——计算
2
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【难度】☆☆
【答案】1.816
2015 315 412
2
3
2
【解析】
0.6 0.75
0.4
1.816
4
5
3 4 5
3
7. 甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的
30%，乙、丙制作的件数之比是 3:4．已知丙制
作了 20
件，则甲制作了________件．
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 7 题
【考点】比例应用题——应用
题【难度】☆☆【答案】15
【解析】甲制作了总数的 30% ，乙、丙制作的件数是总数的1 30% 70%
，乙、丙制作的件数之比是
3:4，
则乙做了 30% ，丙做了 40% ，则甲：乙：丙= 3 : 3 : 4
，甲制作了 20 4 3 15 （件）。
8.
1
已知
9
，
15
，
14
都是最简真分数，并且它们的乘积是
6
，则 x y z =________．
xyz
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 8 题
【考点】因数与分解质因数——数
论【难度】☆☆☆
【答案】21
1
【解析】
9
15
14
6
， 6 xyz 9 15 14 ， xyz 3 3 5
7 ，
xyz
x 与
9 互质，x 不含因数 3；
y 与 15 互质，y 不含因数 3,5；
z 与
14 互质，z 不含因数 7；
并且 x，y，z 均不能为 1（否则，必有假分数出现），所以
y 7 ， x 5 ， z 9 ， x y z 7 5 9 21
9. 如图一，有三只小老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分．第二天，第一只老鼠最早来到，它
发现
花生米无法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成三份，它拿着自己的一份走了．第二只和第三只
老
鼠随后依次来到，遇到同样的问题，也采取了同样的方法，都是吃掉一粒后，把花生米分成三份，拿走
其中的一份．那么，这堆花生米至少有________粒．
图1
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 9 题
【考点】分数应用题——应用
题【难度】☆☆☆☆
【答案】25
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3
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2
3
【解析】设最后剩的两份为 a，那么花生米总数为
a
1
2
1
2
1
27 a 30
=
1
3a 6
3a 4 ，
3
3
8
8
3a 6
3a 4
24
3 6 4 25
3a 6 为 8 的倍数且为
3 的倍数，最小为 24，所以 a 6
，总数为
8 8
1
图2
10. 如图
2，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作
4
圆，若图中的两个阴影
部分的面积相等，则此长方形的长与宽的比值是________．
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 10 题
【考点】圆与扇形——曲线形几何
【难度】☆☆☆
【答案】
: 2
【解析】因为 S
2
S
4
，两个半圆的面积 S
1
S
2
S
2
S
3
S
1
S
2
S
3
S
4
与长方形面积相等。
1
2
所以设长为
a
，宽为 b ，
4
b 2 ab ，
b 2a ， a : b
: 2
S
1
11. 六年级甲班的女生人数是男生人数的
S
4
S
3
2
S
10
9
倍，新年联欢会中，
5
的女生和
21
3
的男生参加了演出，则参加演
出的人数占全班人数的________．
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 11
题
【考点】分数应用题——应用
题【难度】☆☆
【答案】
19
7
9 7
，占全班人数的
7
7
【解析】设女生人数为 10 份，男生人数为 9
份，则参加演出的人数为
2
10
1
5 3
10 9
19
12. 有 80 颗珠子，5
年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再次按年龄的比例重新分配，
又恰好分完．已知姐姐比妹妹大 2 岁，那么，姐姐两次分到的珠子相差________颗．
4
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【出处】2015
年希望杯六年级初赛第 12 题
【考点】因数问题——数
论【难度】☆☆
【答案】4
【解析】设 5
年前妹妹的年龄为 x，那么
5 年前
今年
x 5
妹妹
x
5
年前与今年分别按照年龄的比例分配，且恰好分完，所以 2 x 2 与 2 x 12 均为 80
的因数，且这两个因数的差为
姐姐
x 2 x 7
10，80 的因数有 1,2,4,5,8,10,16，20,40,80，所以只有 10 与
20 的差为 10，所以 2 x 2 10 ，x 4 ，
5 年前按照 4 : 6
的比例分配，姐姐分到
80
4
6
6
48
（颗），今年按照 9:11
的比例分配，姐姐分到
E
80
9
11
11 44 （颗），两次分配相差 48 44 4 （颗）。
13. 如图 3，分别以 B，C 为圆心的两个半圆的半径都是 1
厘米，则阴影部分的周长是________厘米．（π 取 3）
A
B
图3
C
D
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 13
题
【考点】圆与扇形——曲线形几何
【难度】☆☆
【答案】3
【解析】BE,BC,CE 均为圆的半径，所以 BCE
等边三角形，每个角均为 60 度，所以阴影部分的两段圆弧均
601
为 60
度的扇形所对应的圆弧，所以周长为
360
d 2
1
6
3 2 2 1 3
E
A
B
C
D
14. 一个 100 升的容器，盛满了纯酒精，倒出一部分后注
满水；混合均匀后，倒出与第一次所倒出体积相等的
液体，再注满水，此时容器内水的体积是纯酒精体积
的 3 倍，则第一次倒出的纯酒精是________升．
【出处】2015
年希望杯六年级初赛第 14 题
5
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【考点】浓度问题——应用题
【难度】☆☆☆
【答案】50
【解析】设第一次到出酒精 x 升，所剩酒精为
100
x
升，此时容器的空间为 x 升，则第一次倒入水时，酒
精溶液浓度为
100
x
%
，再倒出 x 升酒精溶液，此时所剩酒精溶液体积为
100
x
升，所剩酒精为
1
100 x
%
100 x
100
1
3
，所以
100
x
2
2500
， x
50
15. 如图 4，甲，乙两个圆柱形容器的底面半径分别是 2 厘米和 3
厘米，已知甲容器装满水，乙容器是空的．现将甲
容器中的水全部倒入乙容器，水面的高比甲容器高的
2
3
少 6 厘米，则甲容器的高是________厘米．
甲
乙
图4
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 15 题
【考点】圆柱——立体几
何【难度】☆☆【答案】
27
【解析】设甲容器高为 h，根据水的总量相等，得到
2
2
h
3
2
2
h 6
，解得 h 27
3
16. 如图 5，《经典童话》一书共有
382 页，则这本书的页码中数字 0 共有________个．
10
9
图5
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 16 题
【考点】页码问题——应用题
【难度】☆☆【答案】68
【解析】1 ~
382 中，个位每 10 个数中出现一个 0， 382 10 38
位为
0，
2 ，每 10 个数中最后一个数个
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6
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所以个位中共有 38 个 0，1 ~ 99 中十位上没有 0，十位有 0 的有，100 ~
109 ， 200 ~ 209 ， 200 ~
309 ，共 30 个，所以共 38
30 68 （个）
17. 如图 6 所示的 7 个圆相切于一点，若圆的半径分
别是（单位：分米）：1,2,3,4,5,6,7，则图中阴影部分
的面积是________平方米
．（π 取 3）
7
6
5
4
3
2
1
图6
【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 17 题
【考点】圆——曲线形几
何【难度】☆☆☆
【答案】84
【解析】阴影面积为
1
2
3
2
2
2
5
2
4
2
7
2
6
2
1
3 2
5 4
7 6
28
84
18. 将一个棱长为 6 的正方体切割成若干个相同
的棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和
是切割前大正方体的表面积的 2
倍，则切割成的小正方体的棱长是________．
【出处】2015
年希望杯六年级初赛第 18 题
【考点】表面积问题——立体几何
【难度】☆☆☆
【答案】3
【解析】若
切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，所以平行于前面、右面、上面所切的刀数相同，由
于切割后
的表面积为切割前的两倍，所以增加面积等于原表面积，所增加的部分为两个前面、两个上面和两
个右面
，所以平行与三个面个切一刀，所以棱长为 6 2 3
19.
有长度分别是 1 厘米，2 厘米，3 厘米，4 厘米，5 厘米的小木棍各若干根，从中任取 3
根组成一个
三角形，则最多可以组成不同的三角形________个．
【考点】三角形三边关系——几何
【难度】☆☆☆
【答案】22
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7
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【解析】有序枚举
（1,1,1）（1,2,
2）（1,3,3）（1,3,3）（1,4,4）（1,5,5）
（2,2,2）（2,2,3）（2
,3,3）（2,3,4）（2,4,4）（2,4,5）
（3,3,3）（3,3,4）（3,3,5
）（3,4,4）（3,4,5）（3,5,5）
（4,4,4）（4,4,5）（4,5,5）
（5,5,5）
20. 一条路上有上坡，平路，下坡三段，各段路程之比是
1:2:3，小羊经过各段路的速度之比是 3:4:5，如图
7．已知小羊经过三段路共用 1
小时 26 分钟，则小羊经过下坡路用了________小时．
图7
【考点】三角形三边关系——几何
【难度】
☆☆☆
【答案】0.6
【解析】时间比为
1
3
:
4
2
:
5
3
20 : 30 : 36 10
:15 :18 ，下坡路时间为1
60
26
10
15 18
18 0.6
8
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（时）
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