北京服装学院网站-四年级班主任工作计划

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第一试
2011年3月13日 上午8：30至10：00 得分 一、选择题（每小题4分，共40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正
确答案 前的英文字母写在下面的表格内。
题号
答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

共得分

1、 将a千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x千克，则由此可列出方程
（ ）



ax


115
0

.
（B）
a•10
0

ax

•15
0
.

0000
1100

x

115
0

.
（C）
a•10
0
xa•15
0
.
（D）
a

0000
（A）
a110
0
2、一辆 汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a﹪，则所用的时间减少b﹪，
则a、b的关系是（ ）
（A）
b

a100a
100a100
（B）
b
（C）
b
（D）
b

00
1a100a
1a1a
00
那么实数m的最大值是（ ）
x1mx2
恒成立，3、当
x1
时，不等式
x1
（A）1． （B）2。 （C）3。 （D）4。
4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数y2x1
与
ykxk
的图象的交点是整点，则k的值有（ ）个
（A）2． （B）3。 （C）4。 （D）5。
5、（英语意译）已知整数x满足不等式
22x16
，则x的值是（ ）
（A）8． （B）5。 （C）2。 （D）0。
6、若三角形的三条边的长分别为a、b、c，且
abacbcb0.< br>则这个三角形一定
是（ ）
（A）等腰三角形 （B）直角三角形
（C）等边三角形 （D）等腰直角三角形
7、如图1，点C在线段BG上，四边形ABCD是一个正方形，AG与BD、 CD分别相交于
点E和F，如果AE=5，EF=3，则FG=（ ）
（A）
2223
168
。 （B）。
33
A
5
E
3
D
（图1）
（C）4。 （D）5。
8、n的值是（ ）
21
能分解成n个质因数的乘积，
（A）6． （B）5。 （C）4。 （D）3。
B
16
F
C
G

9、 若关于x、y的方程组


xay10,
没有实数解，则（ ）

bx2ya0
（A）
ab2
（B）
ab 2且a1.
（C）
ab2
（D）
ab2
且
a 2.

10、如图2，∠AOB= 45
0
，OP平分∠AOB，PC⊥OB
于点C。若PC=2，则OC的长是（ ）
（A）7．（B）6。（C）
222
。（D）
2







二、A组填空题（每小题4分，共40分。）
11、化简：
A
P
2
3
。
O
（图2）
CB

945
25

。
A

3x2yk1
12、若关于x、y的方程组

的解使
4x7y2,
则k
2x3y2

M
BN
C
（图3）
的取值范围是 。
13、如图3，平行于 BC的线段MN把等边⊿ABC分成一个三角形和一个四
边形，已知⊿AMN和四边形MBCN的周长相 等，则BC与MN的长度之比是 。
14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律 ，每运转5分钟，停机15分钟，再运转
5分钟，再停机15分钟，…，又知8月份这台冰箱的耗电量是 24.18度（1度=1千瓦时），
则这台冰箱的压缩机运转时的功率是 瓦。
15、已知自然数a、b、c满足
abc424a4b12c
和
aa20
，则
代数式
2222

111

的值是 。
abc
2
1 6、已知A、B是反比例函数
y
的图象上的两点，A、B的横坐标分别是3，5。设
x
O为原点，则⊿AOB的面积是 。
17、设完全平方数A是11个连续整数的平方和，则A的最小值是 。
18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，
则首尾 两个数的和是 。
19、A、B两地相距15km，甲、乙两人同时从A地出发 去B地。甲先乘汽车到达A、
B之间的C地，然后下车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达。已知 甲步行的速度
是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么，C地与A地< br>相距 km。
等量关系为：乘汽车走AC之间路程的时间+步行BC之间 的时间=乙骑自行车15km的时间，把相关数值代入
即可求解．

解答：解：设AC相距xkm，乙骑自行车的速度为akm小时．
x2a+15-x12a=15a，
解得x=10，
故答案为10．

20、已知
bcacab
k
，则直线
ykxk必经过点 。
abc
三、B组填空题（每小题8分，共40分。）
21、等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是 或
。
23、从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中选出一名男生和一名女生，则所有
可能出现的结果有 种；恰好选中男生甲和女生A的概率是 。

23、从甲、乙、丙三名男 生和A、B两名女生中选出一名男生和一名女生，则所有可能
出现的结果有 种；恰好选中男生甲和女生A的概率是 。
24、若关于x的方程
x< br>bbb
a
的解是
x
1
a,x
2
xaa
，那么方程
x
22
的解是x
1
= ，x
2
= 。
a
x1a1

25、若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，
那么这 两个自然数是 和 。
思路：数码相同的三位数是111的倍数，数码相同的两位数是11的倍数
对111分解质因数：111=3×37
两个数的乘积是111再乘以一个1到9的数，这 个37应该是两个数之一，这样
我们就确定了一个数是37.这样另一个数就是3乘以一个1到9的数。 两数之差
是11的倍数，因为37除以11余数是4，也就是说另一个数除以11余数是4发
现 只有3×5=15符合条件

参考答案：
题号
答案


1
A
2
D
3
C
4
C
5
C
6
A
7
A
8
C
9
A
10
C
题号 11
答
案

12 13
4：3

14
130

1
5
1

16
16

15
17
121

18
218
19
10
20
（-1，
0）
25
k3

题号
答案



21 22
2；384
23
6；
24 25
37；15
75
0
;100
0

1

6
a;
a3

a1




第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（含提示）
初二 第一试
2011年3月13日 上午8：30至10：00 得分 一、选择题（每小题4分，共40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正
确答案 前的英文字母写在下面的表格内。
题号
答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

共得分

2、 将a千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x千克，则由此可列出方程
（ ）



ax


115
0
0

.
（B）
a•10
0
0

ax

•15
0
0
.

110
0

x

115
0

.< br> （C）
a•10
0
xa•15
0
.
（D）
a

0000
（A）
a110
0

0
提示：配制问题——只加溶质，溶剂量不变；只加溶剂，溶质不变。

2、一辆 汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a﹪，则所用的时间减少b﹪，
则a、b的关系是（ ）
（A）
b
a100a
100a100
（B）
b
（C）
b
（D）
b

00
1a100a
1a1a
00
那么实数m的最大值是（ ）
x1mx2
恒成立，
提示：行程问题——时间=路程÷速度；最好在时间 上找等量关系，即 方程。
3、当
x1
时，不等式
x1
（A）1． （B）2。 （C）3。 （D）4。
提示：根据绝对值的意义 ，结合x的取值范围化简不等式，采用验证法，从最大的4
开始验证。（题目问的是最大值！）

4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数

y2x1
与
ykxk
的图象的交点是整点，则k的值有（ ）个
（A）2． （B）3。 （C）4。 （D）5。
提示：图象的交点坐标即是对应方程组的解。采用验证法求解。
5、（英语意译）已知正整数x满足不等式
22x16
，则x的值是（ ）
（A）8． （B）5。 （C）2。 （D）0。
提示：根据绝对值的意义，结合x的取值范围解不等式。
6、若三 角形的三条边的长分别为a、b、c，且
abacbcb0.
则这个三角形一定
是（ ）
（A）等腰三角形 （B）直角三角形
（C）等边三角形 （D）等腰直角三角形
提示：用分组分解法、提公因式法分解因式，再根据“如果两个数的 积等于0，那么
这两个数中至少有一个是0。”解答问题。

7、如图1，点C在线 段BG上，四边形ABCD是一
个正方形，AG与BD、CD分别相交于点E和F，
D
A
如果AE=5，EF=3，则FG=（ ）
2223
168
（A）。 （B）。
33
（C）4。 （D）5。
提示：建议用比例测量法或已知数据组合法求
解。
8、
2
16
5
E
3
F
（图1）
B
C
G

1
能分解成n个质因数的乘积，n的值是（ ）
（A）6． （B）5。 （C）4。 （D）3。
提示：利用平 方差公式因式分解，再根据“任何一个完全平方数与1的和（或差）都是
质数”轻松求n值。
9、若关于x、y的方程组


xay10,
没有实数解，则（ ）

bx2ya0
（A）
ab2
（B）
ab 2且a1.
（C）
ab2
（D）
ab2
且
a 2.

提示：方程组没有实数解其实就是方程对应函数的
图象没有交点，把方程 组中的两个方程变形成一次函
A
数的一般形式后，它们的“k”值相等而“b”值不相
等！
P
10、如图2，∠AOB= 45
0
，OP平分∠AOB，PC⊥OB
于点C。若PC=2，则OC的长是（ ）
（A）7．（B）6。（C）
222
。（D）
2
为顶点作∠ OPD=45
0
，交
2
B
3
。
O
提示：以点POC边于点D，
再借用勾股定理、“等角对等边”即可代换出正确选项。

C
（图2）

二、A组填空题（每小题4分，共40分。）
11、化简：
945
25

。
提示：
94525

12、若关于x、y的方程组

是 。
提示：上式×2－下式即可与
4x7y2
代换出需要的不等式，进而求解。 13、如图3，平行于BC的线段MN把等边⊿ABC分成一个三角形和一个四边形，已知
⊿AMN 和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比
A
是 。

N
M
提示：BC∥MN可知⊿AMN也是等边三角形，设AM=x，根据
B< br>C
“⊿AMN和四边形MBCN的周长相等”列方程可求解。


（图3）





14、小华测得自家冰箱的 压缩机运转很有规律，每运转5分钟，停机15分钟，再运转
5分钟，再停机15分钟，…，又知8月份 这台冰箱的耗电量是24.18度（1度=1千瓦时），
则这台冰箱的压缩机运转时的功率是 瓦。

提示：每年的8月份都是31天；“每运转5分钟，停机15分钟，再运转5分钟，再 停
机15分钟，…，”即“每20分钟只运转5分钟”；功耗=功率×做工时间。

15、已知自然数a、b、c满足
abc424a4b12c
和
aa 20
，则
代数式

提示：利用完全平方公式对前一个式子进行变形；解 不等式
aa20
得出a的
取值范围，在a的取值范围内取定一个值，用观察法可 得出b、c的对应值一组，代入即可
求值。
16、已知A、B是反比例函数
y2
2222

2

3x2yk1
的解使
4x7y2,
则k的取值范围

2x3y2
111
< br>的值是 。
abc
2
的图象上的两点，A、B的横坐标 分别是3，5。设
x
O为原点，则⊿AOB的面积是 。

提示：由已知画出示意图，用面积“割补法”求其面积。

17、设完全平方数A是11个连续整数的平方和，则A的最小值是 。

提示：设连续整数的第六个整数为x；当x= 时，11x
2
+110的值最小。

18、将100个连续的偶数从小到大 排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，
则首尾两个数的和是 。

提示：第n个偶数=第一个偶数+2（n-1）。


19、A 、B两地相距15km，甲、乙两人同时从A地出发去B地。甲先乘汽车到达A、
B之间的C地，然后下 车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达。已知甲步行的速度
是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车 的速度是甲乘汽车速度的一半，那么，C地与A地
相距 km。

提示：根据两人的行程时间相等列方程求解；设速度为未知数。
20、已知
bca cab
k
，则直线
ykxk
必经过点 。
abc
提示：利用等比性质求出k值即可。

三、B组填空题（每小题8分，共40分。）

21、等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是 或
。
22、已知10个数x
1
，x
2
，x
3
，…，x
10
中，x
1
=10，对于整数
n1
，有x
n

n
x
n1
1
,
则
x
1
x
2


，
x
2
x
3
x
10

。 提示：
x
n

n
x
n1

x
n1
•n
。
23、从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中选出一 名男生和一名女生，则所有可能
出现的结果有 种；恰好选中男生甲和女生A的概率是 。

提示：树状图求种数；应选项数÷总种数=其概率。
24、若关于x的方程< br>x
bbb
a
的解是
x
1
a,x
2< br>
xaa
，那么方程
x
22
a
的解是x
1
= ，x
2
= 。
x1a1

提示：配成已知“型”，寻找“解”对“位”。