小时代电影结局-昆山一中

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第1试
一、选择题(每 小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字母写在下
面 的表格内
题号
答案
1
A
2
D
3
C
4
C
5
C
6
A
7
A
8
C
9
A
10
C
总得分

1、将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x千克，则由此可列出方程为( )
A、
a(110%)(ax)(115%)
B、
a10%(ax)15%

C、
a10%xa15%
D、
a(110%)x(115%)

2、一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果 汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a，b的关系是( )
A、
b
100a100a100a
B、
b
C、
b
D、
b

1a%1a%1a100a
3、当
x1
时，不等式
|x1|x1m|x2|
恒成 立，那么实数m的最大值是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数
y2x1
与
ykxk
的
图象的交点是整点，则k的值有( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
5、The sum of all such integers x that satisfy inequality
2|2x1|6
is ( )
A、8 B、5 C、2 D、0
(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy 满足；inequality 不等式)
6、若三角形 的三条边的长分别为a，b，c，且
abacbcb0
，则这个三角形一定是( )
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等三角形 D、等腰直角三角形
7、As shown in figure 1，point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points
E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( )
A、
2223
168
B、 C、4 D、5
33
15
A
5
E
B
D
3
F
G
(英汉词典：square 正方形；intersect…at… 与…相交于…)
8、
21
能分解成n个质因数的乘积，n的值是( )
A、6 B、5 C、4 D、3
9、若关于x，y的方程组

C
figure 1

xay10
没有实数解，则( )
bx2ya0

A
P
2
C
图2
A、
ab2
B、
ab2
且
a1
C、
ab2
D、
ab2
且
a2

10、如图2，∠AOB=45°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，
若PC=2，则OC的长是( )
A、7 B、6 C、
222
D、
2
二、A组填空题(每小题4分，共40分)
11、化简：
3

O
B
945
25
25
；

3x2yk1
12、若关于x，y的方程组

的解使
4x7y2
，则k的取值范围是
2x3y2



k3
；

13、如图3，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个
三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相
等，则BC与MN的长度之比是 4:3 ；
14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，
停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，……，又知8月份
这台冰箱的耗电量是度(1度=1千瓦时)，则这台冰箱的压缩
机运转时的功率是 130 瓦；
15、已知自然数a，b，c，满足
abc424a4b12c
和
aa20
，则代数式
16、已知A、B是反比例函数
y
22 22
A
M
B
图3
N
C
111


的值是 1 ；
abc
2
的图象上的两点，A、B的横坐标 分别是3，5.设O为原点，则△AOB的面积是
x
16
15
；
17、设完全平方数A是11个连续整数的平方和，则A的最小值是 121 ；
18、 将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 218 ；
19、A、B两地相距15km，甲、乙两人同时从A出发去B。甲先乘汽车到达A、B 之间的C地，然后下车步行，乙
全程骑自行车，结果两人同时到达。已知甲步行的速度是乙骑自行车速度 的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速
度的一半，那么C地与A地相距 10 km；
20、已知
bcacab
k
，则直线
ykxk
必经 过点
abc
(1，0)
；
三、B组填空题(每小题8分，共40分)
21、等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是 75°或 100°；
22、已知10个数
x
1
，，，…，中，
x
1
1 0
，对于整数n>1，有
x
n

n
x
n1
，则
x
1
x
2
2
，
x
2
x< br>3
x
10
384
；
23、从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中选出一名男生和一名女生，则所有可能出现的结果有 6 种；恰好
选中男生甲和女生A的概率是
24、若关于x的方程
x
1< br>6
；
bbb22
的解是
x
1

a的解是
x
1
a
，
x
2

，那么方程
xa
xaax1a1
a
，
x
2

a3
a1
；
25、若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一 个数码相同的三位数，那么这两个自然是 37 和
15 ；

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内( )
1. Given A：B=
3
2
：
3
，A=
2
，C=
(A) B>C (B) B=C (C) B2. 已知a
2
?a=7，则代数式
29
. The size relationship between B and C is
10
a
2< br>4
1
a1
．
2
的值是( )
a2
a2a1
a
2
1
(A) 3 (B)
7
(C) 4 (D) 5
2
3. 一个凸四边形的四个内角可以
(A) 都是锐角 (B) 都是直角 (C) 都是钝角 (D) 有三个是直角，另一个是锐角或钝角
4. 如果直线y=2xm与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则m的值是( )
(A) 3 (B) 3 (C) 4 (D) 4 。
5. 若n1=2010
2
2011
2
，则
2n1
=( )
(A) 2011 (B) 2010 (C) 4022 (D) 4021 。
6. 有四个命题
若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等，则这两个等腰三角形全等
有一条边相等的两个等腰直角三角形全等
有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等
其中，正确的命题有 ( )
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个
7. 如图1，Rt△A BC两直角边上的中线分别为AE和BD，则AE
2
BD
2
与AB
2
的比值为 ( )
(A)
A
D
C
E
B
图1
353
(B) 1 (C) (D)
442
A
F
B
y
D
O
A
P
E
D
8. As shown in figure 2, ABCD is a rectangle and AD=12, AB=5，
P is any point on AD and PEBD at point E, PFAC at point F.
Then PEPF has a total length of( )
486070
(A) (B) (C) 5 (D)
131313
9. 如图3，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，C(2,1)，D(1,1)。
反比例函数y=
figure 2
C
k
的图像与边BC交于点E，与边CD交于点F。已知
x
F
C
E
B
x
BE：CE=3：1，则DF：FC等于( )
(A) 4：1 (B) 3：1 (C) 2：1 (D) 1：1
10. 如图4，a，b，c，d，e分别代表1，2，3，4，5中的一个数。
若bac及dae除以3都余1，则不同的填数方法有( )
(A) 2种 (B) 4种 (C) 8种 (D) 16种 。
图3
b
d
a
c
e
图4

二、填空题 (每小题4分，共40分)
11. 右表为甲、乙两人比赛投篮球的记录，
以命中率(投进球数与投球次数的比值)
来比较投球成绩的好坏，若他们的成绩
一样好。现有以下关系式：
其中正确的是 (只填序号)。
学生
甲
乙

投进球数 没投进球数 投球次数
10
a
5
b
15
18
ab=5； ab=18； a：b=2：1； a：18=2：3；

2xy4

xm
k
12. 已知方程组

的解为

，又知点A(m,n)在反比例函数y=的图像上，则 k的值
x

xy5

yn
是 。
13. 等腰三角形的两个内角的度数之比为a：b (a 范围是 。
14. 定义f (x)=
b
的取值
a
1
(x1)，那么
f(f(f(f(2011))))
= 。

1x
2011
個
f
y
2
1
2
O
1
yax
y
2
xb
3
2
15. 函数y=ax与函数y=xb的图像如图5所示，则关于x，y的
3

axy0
方程组

的解是 。
3y2x3b

16. 若a，b是自然数，且a>b，2011=a(a1)b。那么a= ；b= 。
x
图5
17. 一个骰子，六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6。两次掷这个骰子，朝上一面的数依

mxny1
次记为m，n。则关于x，y的方程组

，有解的概率为 。
2xy3

18. 如图6边长为2
3
的正方形ABCD内有一点P，且PAB=30，PA=2，
在正方形ABCD的边上有一点Q，且△PAQ为等腰三角形，则符合条件
的点Q有 个。
19. 已知a，b，c为实数，并且对于任意实数x，恒有 | xa || 2xb |=| 3xc |，
则a：b：c= 。
D C
A
2
P
30
图6
B
20. 一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000千米后报废；若安装在后轮，则行驶3000
千米后报废。现有一辆新自行车，在行驶一定路程后，交换前后两轮的轮胎，再继续行驶，
使得两个轮胎同时报废，那么该车最多行驶 千米。
三、解答题 每题都要写出推算过程。
21. (本题满分10分)
平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为(1 ，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)。设正方形ABCD在y=| xa |a
的图像以上部份的面积为S，试求S关于a的函数关系式，并写出S的最大值。

22. (本题满分15分)
若直线l：y=x3交x轴于点A，交y轴于点B。坐标原点O关于直线l的对称 点O’在反比例函数y=
(1) 求反比例函数y=
k
的图像上。
x
k
的解析式；
x
(2) 将直线l绕点A逆时针旋转角 (0< <45)，得到直线l’，l’交y轴于点P，过点P作x轴的并行线，与上述反比例函
数y=












23. (本题满分15分)
给定m (m3)个数字组成的一列数a
1
，a
2
，…，a
m
，其中每一个数a
i
(i=1 ，2，…，m)只能是1或0。在这一列数中，
如果存在连续的k个数和另一组连续的k个数恰好按次序 对应相等，则称这一列数是“k阶可重复的”。例如由7个
数组成一列数：0，1，1，0，1，1，0 ，因为a
1
，a
2
，a
3
，a
4
与a4
，a
5
，a
6
，a
7
按次序对应相等，所以 称这列数为“4
阶可重复的”。
(1) 分别判断下面的两列数是否是“5阶可重复的”如果是，请写出重复的这5个数；
0，0，0，1，1，0，0，1，1，0； 1，1，1，1，1，0，1，1，1，1。
(2) 如果一列数a
1
，a
2
，…，a
m
一定是“3阶可重复的”，求m的最小值。
(3) 假设一列数不是“5阶可重复的”且第4个数是1，但若在这列数最后一个数再添加一个0或
1，均可使新的一列数是“5阶可重复的”，那么原来的数列中的最后一个数是什么说明理
由。











33
k
的图像交于点Q，当四边形APQO’的面积为9时，求 的值。
2
x