新疆高考分数查询-小学学雷锋活动总结

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试
一、选择题
1、若a，b均为正整数，m＝ab(a＋b)，则【 】
A．m一定是奇数 B．m一定是偶数
C．只有当a，b均为偶数时，m是偶数
D．只有当a，b一个为偶数，另一个为奇数时，m是偶数
5ab
等于【 】
ab
，则
2ab
11
A． B．－ C．－3 D．3
33< br>2、设
ba0
，
ab
22
3、Given a，b，c are positive integers，and a，b are prime numbers，
aba2005
，
then the value of
abc
is【 】
A．14 B．13 C．12 D． 11
(英汉词典 positive integers：正整数. prime numbers：质数)_
4、购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支， 作业本4个，圆
珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需【 】
A．4.5元 B．5元 C．6元 D．6.5元
5、计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”，如二进制数(110 1)
2
转换
成十进制数是1×2＋1×2＋0×2＋1×2＝13，那么二进制数(111

111

)
2
转换成十进制
3210
3c
2005个1
数是【 】
A．2
2004
＋1 B．2
2005
C．2
2005
－1 D．2
2005
＋1
6、已知△ABC的三个内角的比是m∶(m＋1) ∶(m＋2)，其中是m大于1的正整数，那么

△ABC是【 】
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7、已知△ABC的三条高的比是3∶4∶5，且三条边的长均为整数，则△ABC的 边长可能是
【 】
A．10 B．12 C．14 D．16
8、已知两位数
ab
能被 3整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它
的任意次幂的个位数字等于它的个位数 字。这样的两位数共有【 】
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
9、放成一排的2005个盒子中共有4010 个小球，其中最左端的盒子中放了a个小球，最
右端的盒子中放了b个小球，如果任何相邻的12个盒子 中的小球共有24个，则【 】
A．a＝b＝2 B．a＝b＝1 C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝1
10、已知整数
x
，
y
，
z
满足
x
≤
y
＜
z
，且

z的值等于【 】
A．2 B．14 C．2或14 D．14或17
二、填空题
11、如果|a|＝3，|b|＝5，那么|a＋b|－|a－b|的绝对值等于 .
2


xyyzzx4,
22
那么x＋y ＋


xyyzzx2.
12、已知
112x5xy 2y
＝ .
5
，则
xyx 2xyy
13、某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶
2
a千
3

米，则11∶20时距离B地还有1 0千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶
3
a千米，则
4
11点到达，若每 分钟行驶a千米，则11∶20时已经超过B地30千米。A、B两地的路程
是 千米。
14、若
Mabc321
是一个六位数，其中a，b，c是三个互异的数字 ，且都不等于0，1，
2，3，又M是7的倍数，那么M的最小值是 .
15、分解因式：
(x1)(x2)(x3)(x6)x
.
16、若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中，最多有M个锐角，最少有m个锐角，
则M＝ ；m＝ .
17、如图1，等腰Rt△ABC的 直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D
1
，
再从D
1< br>作D
1
D
2
⊥AC交AC于D
2
，再从D
2
作D
2
D
3
⊥BC交BC于D
3
，„，则AD1
＋D
2
D
3
＋D
4
D
5
＋ D
6
D
7
＋D
8
D
9
＝ ；D
1
D
2
＋D
3
D
4
＋D
5< br>D
6
＋D
7
D
8
＋D
9
D
10
＝ .
2

18、如图2 ，将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF∥BC)，已知图3的面积与原三
角形的面积之比 为3∶4，且阴影部分的面积为8平方厘米，则原三角形面积为 平
方厘米。

19、如图4，△ABC中，BC∶AC＝3∶5，四 边形BDEC和ACFG均为正方形，已知△ABC与正
方形BDEC的面积比是3∶5，那么△CEF 与整个图形的面积比等于 .

20、如果正整数n有以 下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二
十五分之一是五次方数，那么n就称为 “希望数”，则最小的希望数
是 .
三、解答题
21、图5是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点，且A、B之间
有一条50米的直线通道。甲、乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度v
1
沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度v
2
沿跑道跑步，当跑到B
点处时沿直线通道跑回A点处。假设两人跑步时间足够长。求：
⑴如果v
1
∶v
2
＝3∶2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？
⑵如果v
1
∶v
2
＝5∶6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇？

22、⑴如果a是小于20的质数，且
1
可化为一个循环小数， 那么a的取值有哪几个？
a
1
⑵如果a是小于20的合数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？
a

23、如图6，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上 的点，连结PB和PD
得到△PBD。求：
⑴当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；
⑵△PBD的周长的最小值。

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一、选择题（每小题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C A B C A A

二、填空题（每小题5分，含两个空的小题，前空3分，后空2分）
1
题号
1
答案 6
12 13 14 15 16 17 18 19 20
527

54 468321
(x
2
6x6)
2

3；0
31
2
；31
16

2
15
·3
20
·5
12
7224





三、解答题
21、⑴设甲跑了n圈后，两人首次 在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v
1
＝3m，
v
2
＝2 m，

由题意可得在A处相遇时，他们跑步的时间是
是
400n
（2分）
3m
400n800
2mn
（3分）
3m3
800
因为乙跑回到A点处，所以（4分）
n
应 是250的整数倍，从而知n的最小值是15，
3
所以甲跑了15圈后，两人首次在A点处相遇 （5分）
⑵设乙跑了
250p200
米，甲跑了
400q200
米时，两人首次在B点处相遇，设甲、乙
两人的速度分别为v
1
＝5m，v
2
＝6m，由题意可得
400q200250p200
，即

5 m6m
8q45p4
， （7分）

56
所以48q2425p20
，即
48q425p
(p，q均为正整数)。
所以p，q的最小值为q＝2，p＝4， （8分）
此时，乙跑过的路程为250×4＋200＝1200（米）。 （9分）
所以乙跑了1200米后，两人首次在B点处相遇。 （10分）
22、⑴小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分）
除了2和5以外，其余各数的倒数均可化为循环小数， （4分）
所以a可以取：3，5，7，11，13，17，19。 （5分）
⑵由⑴可知，只要合数a的因数中含有2或5以外的质数，那么该数的倒数均可化为循环小数，（8分）
所以a可以取：6，9，12，14，15，18。 （10分）
23、⑴如图1，当点P运动到AC的中点时，BP⊥AC，DP∥AB， （2分）
所以
BP
3
11
a
，
DPa，
BDa
， （4分）
2
22


3

< br>即△ABC的周长为BP＋DP＋BD＝

2
1

a
。 （5分）

A








⑵如图2，作 点B关于AC的对称点E，连结EP、EB、ED、EC，则PB＋PD＝PE＋PD，因此
ED的长就 是PB＋PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小。
（7分）
P
F
B
D
图1
C
B
D
图2
G
C
A
P
E < br>1

1

2
从点D作DF⊥BE，垂足为F，因为BC＝a， 所以
BDa
，
BE2a

a

3a
。
2
2

因为∠DBF＝30°，所以
DF
23
11
a
，
BDa
，
BFBD
2
DF
2

4
24
，
EFBEBF
（9分 ）
33
a
4
DEDF
2
EF
2
< br>7
a
2
。
所以△PBD的周长的最小值是
1717
aaa
222
。

（10分）