2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试试题
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第 26 届（2015
年）“希望杯”全国数学邀请赛初中一年级初赛试题
第 26 届“希望杯”全国数学邀请赛
初一 第 2 试试题
考试时间：2015 年 4 月 12 日 上午 9:00 至
11:00
一、 选择题
（每小题 4 分，共 40
分。一下每个题目的选择支中，仅有一个是正确的。）
1． 请你想好一个数，将该数与 2015
之和乘以 4，减去 12，再将其差除以 4，然后减去你 想
好的那个数，最后的结果等于（ ）
(A) 0 (B) 2008 (C) 2012 (D)2015
2、若
a
2015 0
，则
a 2015
的值是（ ）
(B)
2015
(C)
0
(D)
2015
(A)
4030
3、如图 1，MABNCP，若 BA =BC，∠MAC =
50°，∠NBC = 150°，则∠ABC =（ ）
(A) 60° (B) 150°
(C) 140° (D) 130°
4、红光中学初一年级有 3 个班，已知一班、
二班的平均人数与三班人数之和为 45，二班、
三班的平均人数与一班人数之和为
48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为 47。则三
个班的总人数为（ ）
(A)
68 (B) 70 (C) 72 (D)74
5、As shown in the
Fig.2，Points
A, B
and
C
on
the number axis represent nonzero rational
number a
a, b
，and
c
respectively . If
0 is（
(A)
(B)
(C)
(D)
| a | | a b | | b
c | c
，then the point represent
）
on the right side of
A
on the left
side of
C
between
B
and
C
between
B
and
A
（英汉小词典：number axis：数轴；rational number：有理数）
6、如图 3，正方形
ABCD
由四个相同的小长方形和一个小正方形
EFGH
组成。若一个小
长方形的周长和小正方形的周长相等，则正方形
ABCD
和正方形
EFGH
的面积比是（ ）
(A)
2 :1
(B)
3 :1
(C)
4 :1
(D)
9 : 4
7、甲、乙两人沿同一路线骑车
（匀速）
从
A
站到
B
站，甲要用 30 分钟，乙要用 40 分钟。
如
果乙比甲早出发 5 分钟去
B
站，则甲緀上乙时，是甲出发后的第（ ）
(A) 12 分钟 (B) 13 分钟 (C) 14 分钟 (D) 15 分钟
第 26 届（2015
年）“希望杯”全国数学邀请赛初中一年级初赛试题
8、如图 4， 在矩形
S
△ABE
= 2，S
△ADF
= 7，S
△ADF
=
8，
ABCD
中，
E, F
分别在
BC, CD
上，若
则△AEF 的面积为（ ）
(A) 15 (B) 14 (C) 13
(D) 12
9、小明、小红、小华、小彬四人中的一人书包里有苹果。老师问：谁的书包里有苹果？四
人回答如下：
小明：苹果不在我这里； 小红：苹果在小彬那里；
小华：苹果在小红那里； 小彬：苹果不在我这里。
若其中只有一人说了假话，则书包里有苹果的是（ ）
(A) 小明 (B) 小红 (C)
小华 (D) 小彬 10、
若
a
1
, a
2
,
a
3
, a
4
, a
5
, a
6
是 1 到 6 这六个自然数的一个排序，则
| a
1
a
2
| | a
2
a
3
| |
a
3
a
4
| | a
4
a
5
| | a
5
a
6
| | a
6
a
1
|
的最大值是（
）
(A)
14 (B) 16 (C) 18 (D) 20
二、 填空题
（每小题 4
分，共 40 分）
a
2
ab b
2
=
11． 已知
= 19，则
a
2
b
2
b
12．In the Fig.5，the value of
y
is
a
.
.
59
1
13．
(3
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15
)
的值为
3
.
14．如图 6，
ABCD
为矩形，
E,
F, M , N
是
AB
的五等分点，
G, H , P, Q
是
DC
的五等
分点，其中
AE
1
2
AD 1
cm. 那么图中所有直角梯形面积的和为
cm.
2
15．若一个四位数与 4 的乘积是这个四位数的反序数
（如
1234 的反序数是 4321）
，则这个四 位
数是 .
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16．如图 7，△ABC 中，
AB AC BC
，分别延长
CA, AB, BC
到点
A ', B ', C '
，连接
A' B ', B 'C ', C ' A'
. 若
ABC
A ' B 'C '
，
ACB A 'C ' B '
，则除这两对相等的角外，
图
中还有
对相等的角.
17．某人在早晨 6 时至 7 时的某时刻开始晨练，7 时至 8
时的某时刻结束晨练，结果发现晨 练结
束时与晨练开始时，手表的时针与分针恰好交换位置.
这个人共晨练 分钟.
18．如图 8，在四边形
ABCD
中，S
△ABC
= 15，S
△BCD
=
27，S
△ACD
= 30，
AC
与
B
D
交于点
O
， 则
S
△OAB
=
.
19．有一列数
1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数起每一个数都等于它前面两个
数的和，则第
2015 个数被 12 除，得到的余数是 .
20．如图 9，点
P
在线段
MN
上.以
MP
为直径画圆
A
，以
PN
为直径画圆
B
，以
MN
为
直径
画圆
C
. 已知
MP m
厘米，
PN
n
厘米. 若
mn 12
，则阴影部分的面积为
平方厘米.
（圆周率用
表示）
三、
解答题
（每题都要写出推算过程）
21．
（本题满分 10 分）
设有
2015 个数：
a
1
, a
2
,…, a
2015
，其中
a
i
(i 1, 2,…, n)
取值只能是
1,
0,1
2
4001
， 中的一个。已知
a
1
a
2
a
3
…
a
2015
70
，且
(a
1
1)
2
(a
2
1)
2
…
(a
2015
1)
0
的以及取值为
1
的各有多少个？ 求
a
1
, a
2
,…, a
2015
中取值为
1
的、取值为
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22．
（本题满分 15
分）
求证：若正数
a
不能被
2
和
3
整除，则
a 23
必能被
24
整除。
2
23．
（本题满分 15 分）
如图 10，在
ABC
中，点
D, E
在
BC
上，且
BD EC
BC , F
在
AC
上，且
AF
（1）
1
2
3
5
AC
。
BF
和
AD, AE
分别交于点
G, H
，若
ABC
的面积为
1155
，求：
AH
HE
的值；
（2）四边形
GHED
的面积的值.
第
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参考答案
一、
选择题( 每小题 4 分. )
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
9
1 0 答 案 C A C B D C D
A B C
二、
填空题( 每小题 4 分. )
题 号 11 12 13 14 15 16
17
55
5
13
18
6
19
1
20
6π 答 案 1
7
120
20 243 100 2178 4
21 答: 在这列数中, 有 958 个 1 ,
169 个 0 , 888 个-1 .
22.证明:先证明是 8 的倍数，再证明是 3
的倍数！
23.243