北京五中-蒋昕捷

第二十届(2009年)

希望杯初一年级第二试试题word版
初一 第2试
一、选择题（每小题4分，共40分）
以下每题的四个选项中， 仅有一个是正确的，请将正确答案
的英文字母写在每题后面的圆括号内
.
53
2
47
2

（ ） 1．
22
6139
（A）
3579
（B） （C） （D）
11111111
2．每只玩具熊的售价为250元．熊的四条腿 上各有两个饰物，标号依次为1，2，3，„，
8．卖家说：“1，2，3，4，„，8号饰物依次要收 1，2，4，8，„，128元．如果购买全
部饰物，那么玩具熊就免费赠送．”若按这样的付费办法， 这只熊比原售价便宜了（ ）
（A）5元 （B）-5元 （C）6元 （D）-6元
3．如图1，直线MN∥PQ．点O在PQ上．射线OA⊥OB，分
别交MN于 点C和点D．∠BOQ=30°．若将射线OB绕点O逆
时针旋转30°，则图中60°的角共有（ ）
（A）4个 （B）5个 （C）6个 （D）7个
4．如果有理数
a
，
b
使得
M
A
C
O
D
B
N
Q
P
图1
a1
0
，那么（ ）
b1
（A）
ab
是正数（B）
ab
是负数
（C）
ab
是正数（D）
ab
是负数
5．As in figure 2．In the circular ring of which center is point O．if
AO⊥BO，and the area of the shadowy part is 25cm
2
，then the area of the circuiar
ring equals to ( ) (

3.14)

（A）147cm
2
（B）157cm
2
（C）167cm
2
（D）177cm
2

6．
已知多项式
p
1
(x) 2x5x1
和
p
2
(x)3x4
，则
p
1
(x)p
2
(x)
的最简结果为
（ ）
（A）
6x23x23x4
（B）
6x23x23x4

- 1 -
3232
22
2

（C）
6x 23x23x4
（D）
6x23x23x4

2
7．若 三角形的三边长
a
，
b
，
c
满足
abc
，且
a
2
bct
1
2
，
b
2
cat
2
，
2
22
，则
t
1
2、
t
2
、
t
3
中（ ）
c
2
abt
3
2
22
（A）
t
1
2
最大（B）
t
2
最大（C）
t
3
最大（D）
t< br>3
最小
3232
8．如图3，边长20m的正方形池塘的四周是草场，池塘围
栏的M、N、P、Q处各有一根铁桩，QP=PN=MN=4m，用
长20m的绳子将一头牛拴 在一根铁桩上，若要使牛的活动
区域的面积最大，则绳子应拴在（ ）
（A）Q桩 （B）P桩 （C）N桩 （D）M桩
9．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500 元买了30张电影票，其中票价为
20元的比票价为10元的多（ ）
（A）20张 （B）15张 （C）10张 （D）5张
10．将图4中的正方体的表面展开到平面内可以是下列图形中的（ ）
图3
希
希
望
望
杯
图4
数
学
杯
数学
希
望
杯
数
学
希
望
杯
数学
希
望
杯
数
学
(A)(B)
(C)
( D)

二、填空题（每小题4分，共40分）
11．据测算，11瓦节能灯的照明效 果相当于80瓦的白炽灯．某教室原来装有100瓦的白
炽灯一只．为了节约能源，并且保持原有的照明 效果，可改为安装 瓦（
取整数
）
的节能灯一只．
12．将五个有 理数
25151012
，

，，

，每两个的乘积由小到大 排列，则最小的
38
23
1719
是 ；最大的是 ．

- 2 -

13．十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：

19
(10)
162112
4
02
3
0 2
2
12
1
12
0
10011
(2)
，
即十进制的数19对应二进制的数10011．按照上述规则，十进制的数413对应二进 制
的数是 ．
14．如图5，点P在正方形 ABCD外，PB=10cm，△APB的面积是60cm
2
，
△BPC的面积是30 cm
2
,则正方形ABCD的面积是 cm
2
．
2
15．若
x2x5
是
x
4
px
2
q
的一个因式，则
pq
的值是 ．
16．若
abc0
，则
abcabc
的最大值是 ；

abcabc
最小值是 ．
17．已知
F(x)
表示关于
x
的运算规律：
F(x)x
3
，（
例如
F
(2)

2
3

8,
F
(3)

3
3

27,
）．又
规定
F(x) F(x1)F(x)
，则
F(ab)
．
18．一条公交线路从起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．则从前6站上车而在终点站下车的乘客有 人．
19．If the product of a simple binomial
xm
and a quadratic
(x1)
2
is a cubic
3
multinomial
xaxb
，then
a
= ，
b
= ，
m
= ．
20．方程
x
xxx


2009
的 解是
x
．
1212312

2009
三、解答题
（每题都要写出推算过程）

21．（本题满分10分）
如果两个整数
x
，
y
的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有 几对？求
x
与
y
的和的最小值，及
x
与
y
的积的最大值．



- 3 -

22．（本题满分15分）
某林场安排了7天的植树工作．从第二天起每天都 比前一天增加5个植树的人，但从
第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同 数量的树．若这7
天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵树？植树最少的那天，有多少人 在植
树？







23．（本题满分15分）
5个有理数两两的乘积是如下的10个数：

10
，
0.168
，
0.2
，
80
，
12.6
，
15
，
6000
，
0.21，
84
，
100
．
请确定这5个有理数，并简述理由．















- 4 -

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初一 第2试
一、选择题
（每小题4分）
题号
答案
1
A
2
B
3
D
4
D
5
B
6
A
7
C
8
C
9
C
10
D
二、填空题
（每小题4分，第12、16题，每空2分，第19题 ，前两空各1分，后一空2分）
题号
答案
11
14

12
510

,
1223
13 14 15 16 17 18 19 20
110011101 180 150 4；-4
3(ab)
2
3(ab)1

20 -3；2；2 1005
三、解答题
21．由题意得，
(xy)(xy)xy
x
100
（
y0)
，
y
即
2xxyxx
1
2
2
2
5
2
，亦即
(y 1)
2
1
2
2
2
5
2
，
yy
因为
x
，
y
为整数，所以
xy
，
xy
，
xy
都是整数，(2分)
又它们与
xx
的和是整数100，故也是整数.
yy
（1） 
x25

x75
x
22
=25，
(y 1)2
时
y12
，所以

或


y

y1

y3

x16

x 24
x
22
（2）=4，
(y1)5
时
y1 5
，所以

或


y
y6
y4

（3）

x9

x11
x
22
=1，
(y1)10
时
y110
，所以
< br>或


y

y9

y11

x0

x200
x
22
（4）=100，
( y1)1
时
y11
，所以

（舍去）或


y
y0y2

由上可知，满足题意的整数
x
，
y
共7对. (8分)
- 5 -

其中
xy
的最小值为-200+（-2）=-202
xy
的最大值为：（-200）×（-2）=400 (10分)
22． 设第4天有
m
人植树，每人植树
n
棵，则第4天共植树
mn
棵.
于是第3天有（
m5
）人植树，每人植树（
n5
）棵，则 第3天共植树
(m5)(n5)
棵.
同理，第2天共植树
(m10)(n10)
棵；
第1天共植树
(m15)(n15)
棵；
第5天共植树
(m5)(n5)
棵；
第6天共植树
(m10)(n10)
棵；
第7天共植树
(m15)(n15)
棵.
由7天共植树9947棵，知： (m15)(n15)
+
(m10)(n10)
+
(m5)( n5)
+
mn
+
(m5)(n5)
+
(m10)( n10)
+
(m15)(n15)
=9947.
化简得
7mn7009947
，即
mn1521

因 为1521=3
2
×13
2
，又每天都有人植树，所以
m15，
n15
.故
mn39
.(9分)
因为第4天植树的棵数为39×39=1521.
其它各天植树的棵数为
(39a )(39a)39
2
a
2
1521a
2
152 1
(※)
(其中
a5
或10或15).
所以第4天植树最多,这一天共植树1521棵. (12分)
22
由(※)知,当
a15
时,
39a
的值最小. < br>又当
a15
时,植树人数为39+15=54或39-15=24,所以植树最少的那 天有54人或24人植
树. (15分)
23.将5个有理数两两的乘积由小到大排列:
-6000<-15<-12.6<-12<0.168<0.2<0.21<80<84<100.
因为5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0,所以这5个有理数中有1个负数和4个
正数 ,或者1个正数和4个负数. (3分)

- 6 -

(1) 若这5个有理数是1负4正,不妨设为
x
1
0x
2
x
3
x
4
x
5
,则

x
2
x
5
x
1
x
5
x
1
x
4
x
1
x
3
x
1
x2
0x
2
x
3
x
2
x
4


x
3
x
5
x
4
x
5< br>

x
3
x
4
(其中
x
2
x
5
和
x
3
x
4
的大小关系暂时还不能断定) < br>所以
x
1
x
5
=-6000,
x
1
x
4
=-15,
x
4
x
5
=100,
三 式相乘,得
(x
1
x
4
x
5
)
2
910
6
,
又
x
1
0
,
x
4
0
,
x
5
0
,所以
x
1
x
4
x
5
3000
,
则
x
1
30
,
x
4
0.5
,
x
5
20 0
.
再由
x
1
30
,
x
1
x
2
12
,
x
1
x
3
12.6< br>,得
x
2
0.4
，
x
3
0.42
.
经检验
x
1
30
，
x
2
0. 4
，
x
3
0.42
，
x
4
0.5，
x
5
200
满足题意.(9分)
（2）若这5个有理数是 4负1正.不妨设为：
x
1
x
2
x
3
x4
0x
5
，

x
1
x
4
则
x
1
x
5
x
2
x
5
x
3
x
5
x
4
x
5
0x
3
x
4
x
2
x
4


x
1
x
3
x< br>1
x
2

xx

23
(其中x
1
x
4
和
x
2
x
3
的大小 关系暂时还不能断定)
所以
x
1
x
5
6000
，
x
2
x
5
15
，
x
1
x
2
100

三式相乘，得
(x
1
x
2< br>x
5
)
2
910
6
，
又
x< br>1
0
，
x
2
0
，
x
5
0
，解得
x
1
x
2
x
5
3000
，
所 以
x
1
200
，
x
2
0.5
，< br>x
5
30
，
再由
x
5
30
，
x
3
x
5
12.6
，
x
4
x
5
12
得
x
3
0.42
，
x
4
0.4
.
经检验,
x
1
200
，
x
2
0 .5
，
x
3
0.42
，
x
4
0. 4
，
x
5
30
满足题意.(15分)
- 7 -