锦州市教师进修学院-设计师工作总结

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
2012年4月8日 上午9：00至11：00 得分
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中， 仅有一个是正确的，请将表
示正确答案的英文字母写在后面的圆括号内。
1
ab cd
；○
2
adbc
；○
3
cd
，则< br>a,b,c,d
的大小1. 实数
a,b,c,d
满足：○
关系是（ ）
（A）
acdb
（B）
bcda

（C）
cdab
（D）
cdba

2.下列等式中不恒成立的是（ ）
(A)
abababab


abab

(B)
abab


a1b1a1b1
aa< br>a
2

2
（C）
a
2

a 1a1
a
3
b
3
ab
（D）
3
< br>
3
a(ab)
a(ab)
3.一组数据由五个正整数组成， 中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数
等于（ ）
（A）4.2或4.4 （B）4.4或4.6 （C）4.2或4.6 （D）4.2或4.4或4.6
4.化简：
4747
（ ）
（A）1 （B）
2
（C）
3
（D）2
8 identical balls into 3 different boxes, each box has at least 2 balls. How
many different ways to put the balls?( )
(A)6 (B)12 (C)18 (D)36
(英汉词典：identical完全相同)
6.如图1，在平面直角坐标系内 ，A、B、C三点的坐标分别是（0，0），（4，
0），（3，-2），以A、B、C三点为顶点画平 行四边形，则第四个顶点不可能
在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
k
图象上的两点，AC、BD都垂直于
x
y轴，垂足分别是C、D。连接OA、OB，若OA交BD于点E，且
OBF
的面
7 .如图2，设点A、B是反比例函数
y
积是2011，则梯形AEDC的面积是（ ）
（A）2009 （B）2010 （C）2011




（D）2012
8.如图3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是AD上的动点， PE

BD
于F，则PE+PF的值是（ ）
（A）4.6 （B）4.8 （C）5 （D）7

9.设
a,b
是实数，且
（A）3
1111b1a

，则的值是（ ）
1a1bba1a1b
（C）
3(ba)
（D）无法确定的 （B）-3
10.循环节长度是4的纯循环小数化成最简分数后，分母是三位数，这样的循环小数有（ ）
（A）798个 （B）898个 （C）900个 （D）998个
二、填空题（每小题4分，共40分）
2012
a
2011
a
11.若
a0
，计算：
a
12.若以x为未知数的方程
2xa< br>1
的根是负数，则实数
a
的取值范围是 < br>x2
2
13.若
n(n0)
是以x为未知数的方程
xm x5n0
的根，则m-n的值是
14.正整数
a,b满足等式
15.已知
x
13ab

，那么
a ，
b

1535
1
1
6(0x1)
，则
x
的值是
x
x
16.已知点A（4，m），B（-1，n）在反比例函数
y
8
的图象上，直线AB与x轴交于C，
x
如果点D在y轴上，且DA=DC，则点D的 坐标是
17.如图4，等腰直角
ABC
中，
A90
，底边BC的长为10，点D
在BC上，从D作BC的垂线交AC于点E，交BA的 延长线于点F，则DE
＋DF的值是


18.如图5， 在边长为6的菱形ABCD中，DE

AB于点E，并且点E
是AB的中点，点F在线 段AC上运动，则EF+FB的最小值是 ，
最大值是



19.若实数
a,b,c
满足

abbcca abc
3,4,5
，则的值是
abbccaabbcca
e
Mabc321
is a 6-digit number,
a,b,c
are three different 1-digit
numbers, and not less than 4. If M is a multiple of 7, then the minimum value of
M is
(英汉词典：multiple倍数)

三、解答题
每题都要写出推算过程
21.（本题满分10分）
如图6，直线
yxb(b0)
交坐标轴于 A、B两点，交双曲线
y
别作两坐标轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接BC、O D。
（1） 求证：AD平分
CDE
。
（2） 对任意的实数
b(b0)
，求证：AD·BD为定值。
（3） 是否存在直线AB ，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，
求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。






22.（本题满分15分）
如图7， 在一条平直的公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向
山壁驶去。
（1） 若汽车的行驶速度是30ms，在距离山壁925m处时汽车鸣笛一声，则经过多长时
间后司机听到回声？
（2） 某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过4.5s再次鸣笛，若司机听到两次鸣 笛的回声的
时间间隔是4s，求汽车的行驶速度。
（已知声音在空气中的传播速度是340ms）







23.生产某产品要经过三道工序，同一个人在完成这三道工序时所用的时间相同 ，甲、乙二
人同时开始生产，一段时间后，甲恰好完成第k个产品的生产，此时，乙正好在进行某个产< br>品的第一道工序的操作，若甲、乙的生产效率比是6:5，问此时乙至少生产了多少产品？









2
于点D，从点D分
x

2012年参考答案
一、选择题
题号
答案
1
A
2
B
3
D
4
B
5
A
6
B
7
C
8
B
9
A
10
C

二、填空题
题
号
答
案
11 12
1
13 14
且
15 16 17 18 19 20
a2
a4

-5 2；1 -2
(0,
11
10
)

4
33;637

120
468321

47


三、解答题
21.（1）因为A、B是直线
yxb(b0)
和坐标轴的交点，所
由


yxb

yxb
及



y0

x0
得A（-b,0）,B(0,b)
所以
DACOAB45

又DC⊥x轴，DE⊥y轴
所以∠CDE=
90

因此
ADC45

即AD平分
CDE

（2）由（1）知
ACD
和
BDE
都是等腰直角三角形，所以



AD2CD,BD2DE
，
ADBD2CD DE224

即
ADBD
为定值。
（3）若存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形，则
AO=AC，OB=CD
由（1）知AO=BO，AC=CD。
并且B（0，b）
所以得D（-2b,-b）
因为
b
2
,b1
（正数舍去）
2b
即存在直线AB：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形。
22.（1）如图1，设经过ts后司机听到回声，则有30t+340t=2×925，解得t=5.
所以，经过5s后司机听到回声。

（2）设汽车的行驶速度是v
1
，声音传播的速度是
v
2
，汽车两次鸣笛的时间间隔是t
1
；汽
车第一次鸣笛
t
1
时间后，司机第一次听到 回声；汽车第二次鸣笛
t
2
时间后，司机第二次听到
回声；汽车第一次鸣笛时 距离山壁为
s
.
如图2，如果司机先听到第一次鸣笛的回声，则有
2sv
1
t
1
v
2
t
1



2(sv
1
t
1
)v
1
t< br>2
v
2
t
2
两式相减，得
2v
1
t
1
(v
1
v
2
)(t
1
t< br>2
)

即
t
1
t
2

2 v
1
t
1

v
1
v
2
司机两次听到回声的时间间隔是
t
2
t
1
t
2
t
1
t
1
(t
1
t
2
)
代入数据，得
v
2
v
1
t
1

v
1
v
2
4
340v
1
4.5

v
1
340
解得
v
1
20ms

如图3，如果司机先听到第二次鸣笛的回声，同理，
得
t
1
t< br>2

2v
1
t
1

v
1
v
2
司机两次听到回声的时间间隔是

 t
2
(t
1
t
2
)t
1


代入数据，得
v
1
v
2
t
1

v
1
v
2

4

v
1
340
4.5

v
1
340
解得
v
1
5780ms

这样的速度不切合实际。
所以，汽车的行驶速度是20ms

23.设甲 生产一个产品所用的时间为t，则乙生产一个产品所用的时间为
用[a]表示不大于a的最大整数，{a }=a-[a],如[3.14]=3,{3.14}=0.14
6t
。
5


kt


5k

甲生产k个产品所用的时 间为kt，此时乙生产了



个产品

6t


6



5


由题知， 乙正在进行某个产品的第一道工序的操作，所以

5k

1
0



6

3
而

11125

5k
,,,,,0,
（见下表） 可能取值是

63236

6


从表中可以看出 ，满足
0


5k

1


的 最小的k的值是5，

6

3
因此，乙至少已经生产了


55


=4个产品。
6
