河南文科分数线-注册会计师准考证

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

22．（本题满分15分 ）如图7，等腰直角
△ABC
的斜边
AB
上有两点
M、N
， 且满足
MN
2
BN
2
AM
2
，将
△A BC
绕着
C
点顺时针旋转
90
后，点
M、N
的对 应点分别为
T、S
．
⑴请画出旋转后的图形，并证明
△MCN△MCS

⑵求
MCN
的度数．
B
B
N
C
NM
A
S
M
CA
r
图7

【解析】
⑴将
△ABC
绕着
C
点顺时针旋转
90
，如图．
根据旋转前后的对应关系，可知
BNAS，CNCS，NBCSAC45

所以
MASMACSAC90
．
由色股定理，得
MS
2
AM
2
AS
2
AM
2
BN
2< br>MN
2
，
所以
MNMS
．
CM
是公共边， 又因为
CNCS，
所以
△MCN△MCS
．
⑵因为
CN
顺时针旋转
90
后得到
CS，

所以
NCS90
，
上面已证得
△MCN△MCS
，
1
故
MCNMCSNCS45
．
2
23． （本题满分15分）已知长方形的边长都是整数，将边长为2的正方形纸片放入长方形，要求
正方形的边 与长方形的边平行或重合，且任意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越

多越好．
⑴如果长方形的长是4，宽是3，那么最多可以放入多少 个边长为2的正方形？长方形被覆盖的面
积占整个长方形面积的百分比是多少？
⑵如果长方形 的长是
n(n≥4)
，宽是
n2
，那么最多可以放入多少个边长为2的正方 形？长方形
被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？
⑶对于任意满足条件的长方形， 使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55%求长方形边长
的所有可能值．（已知
0.5 50.74
）
【解析】
⑴最多可以放入2个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是
22
2
2
66.7%
．
433
1
⑵当
n
是偶数时，
n2
也是偶数，最多可以放入
n(n2)< br>个正方形，长方形被覆盖的面
4
积占整个长方形面积的百分比是100%．
1
当
n
是奇数时，
n2
也是奇数，最多可以放入
(n1) (n3)
个正方形，长方形被覆盖的
4
面积占整个长方形面积的百分比是

n1

n3

100%
．
n

n2

⑶设长方形的宽与长分别是
x，y
．
若
x，y
都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100%，不符合题意 ．
若
x，y
中一个是偶数
2a
，一个是奇数
2b1（
a，b
是正整数），则
4ab4ab2b
0.55
．
xy2a(2b1)2b1
解得
b0.61
．
没有满足此结果的正整数
b
，这种情况也不符合题意．
因此，
x，y
都是奇数．
令


x2a1，
a≤b，a，b
是正整数，

y2b1，
4ab
0.55
．

2a1

2ba

则有
4 ab

因为

2a1

2ba

4 a4a

2a



，
1

1


2a1




2a1

2


2a1


2
b

a

2


2a

所以

．

0.55
2a1

2
得
2a
，
0.7，4a1.4

2a1
由于
a
是正整数，
所以
a1

代入①式，得
4b
0.55
，
3(2b1)
解得
b2.4
，
由于
b
是正整数，
所以
b1
或2
故有
x3，y3
或5．
即长方形长为5，宽为3，或长与宽都是3．

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初二 第2试
一、选择题（每小题4分．）
题号
答案

二、填空题（每小题4分，第17、19题，每空2分．）
题号 11 12
答案 -4
13 14 15
≥

1
1
B
21
D
3
B
4
C
5
C
6
A
7
D
8
A
9
D
10
B
16 17 18 19
3
4

2
20



b，a



x1
 
xa1

xa1


15 4；6
40

2；
1.
2
12
5
9
2
3
10
9
810
9
，∴得数是
10< br>位数．
xy3
2. ∵

1
，∴
yx3

232
3
x 318
9xy1821x42
7

x2

2 将其代入代数式，得

9xy18
9x
3
x 318
15x305

x2

2

9x

当
x2
时，原式

7
；当
x2
时，原式的值不存在．
5
1

x≥ a


3x3a2≥4x22a
11

7


3. 原不等式


a≤xb

75

2x2b3b3x

x
1
b

5

11
于是
0a≤1
，
3b≤4
所以
a
有
7
个不同的取值，
b
有
5
个不同 的取值，
75
于是整数对

a,b

共有
7535
个．
4. ∵
xyz
，∴
xyz2z
，即
180 2z
，∴
z90
，三角形为钝角三角形．
5. 如图，补三个等边 三角形，则
abccdeafe
，于是
abde
．
a
a
b
c
d
e
e
c
f

6. 利用直角三角形中斜边大于直角边易得结论
amh
．
7. 设该球队胜、平、负的场数分别为
x
、
y
、
15xy
， 则
3xy33
．

x≥0

y≥0

，于是
0≤y≤6
，又
y
能整除
3
，于是
y0 ,3,6
．

xy≤15



3xy3 3
对应的
x11,10,9
，共3种情况．

11

11
8. ∵

与
xy成反比，∴

xy




m
， 其中
m
为非零常数．
xy

xy

于是
yx
y
m
2
，因此
为定值．
xy
x
2
而

xy



y

2< br>


y

2
y

y
22 2
x


1

，
xyx


1

，结合为定值
x

x
< br>
x




x


 
2
所以

xy

与
x
2
y
2
成正比．
2
9.
B
与
C
的纵坐标 相等，即
k2AC
，∴
k
2

6

ACABAB
10. 假设报出来的数是
3
的人心里想的数是
x
，则

报出来的1
数
心里想的
数
4x

2 3 4 5 6 7 8 9 10

x


8x


4x


12x


于是

4x



12x

20
，解得
x2
．
11.
x
4
24x
2
27x22427x228x
2
87x4487x48
28x
2
567x52

72

282x

2


56x752
．
4
12. 过
A
、
A
1
作
x
轴 的垂线，利用弦图容易得到
A
1

b,a

．
b

a
2
bab
2
ab

a
< br>11

13. ∵

2

2


ab


2

2
，

< br>

ab

11

a

bababa

b

ab

a
2
b
2
a
2
b
2
而
2

2
≥22

2
2

baba
∴

b

ab11

a

11


2


ab

≥




ab

，即
2

2
≥
．
2
a
baab

b

ab

2
14. ∵
a
2
b2a2b2

a1


b10
，∴
a1
，
b1


2
于是
a
ab
b
ab1
2
1
0
1
．
15.
x
3


2a1

x
2


a
2
2a1

x

a
2
1


x
3
2ax
2


a
2
1

xx
2
2ax

a
2
1


2


x1


x

2ax

a1

a1

< br>



x1

xa1

xa1


16. 设当
B
在
A
、
C
正中间是
ABBC1
，则
C
相对
B
的速度 为
因此
B
相对
A
的速度为
12
，
C
相对
A
的速度为，
1015
1
，故
B
追上A
需要时间为
30
分钟．
30
于是再过
15
分钟，
B
追上
A
．
17. 设等腰三角形的腰长为
x
，则底边长为
202x
，于是
0202xxx
，有
5x10
，
∴
x
的可能取值有
6,7,8,9
，共4种．
其面积为< br>10

10x

2x10

，∴当
x7
时三角形面积最大，此时底边长为
6
．
2
18. 在BC
上取一点
E
，使得
CECA
，容易证明
△AEB ≌△ADC
，于是
ABC40
．
19. ∵
A

3,0
，
B

0,1

，∴
AB2 于是
S
△ABC


1
2
AB2

2

∵
S
△ABP


1



a

31
2222

1

1

11

3a

3
1
4
．
2
，解得
a
2
2
20.
△ABC
的面积不小于三边长分别为
3,9,10
的三角形面积，于是 S
△ABC
≥11

113



119



1110

262
； 而
△A

B

C

的面积不大于周长为
18
的正三角形面积，于是
3

18

S
2< br>≤

93
4

3

2
243
．
∴
S
1
S
2
．