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第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛
初三
(浙江赛区)
第
1
试试题
2011年3月13日 上午8:30至10:00 得分
未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不< br>准以任何形式（包括网络）转载。
一、选择题
（每小题4分，共40分.）
以 下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案
前的英文字母写在下面的表格内.

题号
答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

共得分

1.
假期里，王老师有一个紧急通知，要用电话通知到50位同学.假设没通知一位同学需要1分钟，同学接到电话 后也可以相互
通知，那么要是所有同学都接到通知，至少需要（ ）
（A）5分钟. （B）6分钟. （C）7分钟. （D）8分钟.
2.
若关于
x
的一元一次方程
(3a+2b)x
2
+ax+b=0
有唯一解， 则这个解是（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
图
1

3.
如图
1
，已知
AD ∥EF∥BC
，若
AD:EF:BC=1:2:4
，则梯形与
AEFD
梯形
EBCF
的面积之比为（ ）
（A）1:2. （B）1:3. （C）1:4. （D）2:3.

4 .
一个乒乓球队有男队员
6
人，女队员
5
人，其中男女队员左撇子分 别有
3
人和
2
人.若从这个球队中任意抽取两人，则抽到
2
个左撇子的概率是（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）
，则
y
的最小值为（ ）
.
5.
已知
x
,
y
都是负整数，且满足
y=
（A）-3. （B）-4. （C）-5. （D）-6.
6.
已知等腰
△ABC
中，
AB=AC
，< br>∠ABC=30°
，
AD
为
BC
边上的高，点
P在
AC
上，
E
点在
AD
上，若
PE+EC的最小值
为
4
，则
△ABC
的面积为（ ）
（A）8. （B）16. （C）32. （D）64.

7.
如图
2
，
AB
是半圆的直径， 点
C
平分
AB
，点
D
平分
AC
，
DB
、
CA
交于点
E
，则
（A）. （B）. （C）. （D）.

○
○
=
（ ）
图
2

8.
已知直线
y =kx
(k<0)与双曲线
y=
交于点
A(x
1
,y
1
)
和
B(x
2
,y
2
)
，则
3x
1
y
2
-8x
2
y
1
的值是（ ）
（A）-10. （B）-5. （C）5. （D）10.

9.
用一些棱长是
1
的小正方体堆成一个立体，图< br>3
是它的俯视图，图
4
是主视图，
则这个立体的表面积
(含下 底面面积)
的值最小是（ ）
（A）42. （B）43. （C）44. （D）46.

∠BAC
的度数为（ ）
（A）60°. （B）70°. （C）80°. （D）90°.

图
3

图
4

10.
如图
5，在
△ABC
中，
∠BAC
、
∠BCA
的平分线相交于 点
I
，若
∠APB=35°
，
BC=AI+AC
，则
图
5

二、
A
组填空题
（每小题4分，共40分.）
初三（浙江） 第一页 共两页

11.
如图
6
正六边形的边向外延长一倍，连接端点后又构成一个大的正六边形，则小正六边形与大正六边形的面 积之比
为
.
12.
若对于
p
的任意 值，抛物线
y=2x
2
-px+3p+1都过一个定点，则这个定点的坐标是 .
13.
如图
7
，正方形
ABCD
的边长为
4< br>，
E
点在
BC
上，以
E
为圆心，
EC
为半径的半圆以
A
为圆心，
AB
为半径的圆弧外切，则
EC= .
图
6

14.
在锐角
△ABC
中，
A B=5
，
AC=4
，则
BC
的取值范围是
.
15.
袋中装有大小相同的黑球、白球、红球各2个.规定：取出一个黑球计0分，取出一 个白球计1分，取出
一个红球计2分；在抽取这些球的时候，看不到球的颜色.甲先取出3个球，不再放 回袋中，然后，乙取出剩余的
3个球；取出球的总积分多者获胜.则甲乙成平局的概率为
.
图
7

16.
不等式
|x-2|+|x-1|
≥
a
对所有实数x都成立，则a的最大值是
.
17.
如图
8
，设
M
是
△ABC
的重心，过
M< br>的直线分别交边
AB
、
AC
与
P
、
Q
两点，且
则
=m
，
=n
，
图
8

=
.
18.
已知抛物线
y=ax
2
+bx+c(c≠0)
与
x
轴的交点坐标为
(-1,0)
,
(3,0)
,当
-2
≤
x
≤
5
时，
y
的最大值为
12
，则该抛物线的解析式
为

.
19.
已知平面直角坐标系中有
A(1,3)，B(3,1)
两 点，在
x
、
y
轴上分别找一点
C
、
D
，使 四边形的周长最小，则最小周长
为

.
20.
明明用计算器求代数式
a(b+c)的值.他依次按出
“
a,
×
,b ,
+
,c,
=
”，显示
11
；当他依次按“
b,< br>+
c,
×
,a,
=
”，显示
14
(其中a,b,c
均为正整数).这时他才明白不按括号时，计算器先做乘法再做加法.那么如果他按键正 确(该加括号时加括号)时，显示结果应
为
.
三、B组填空题
（每小题8分，共40分.）
21.
已知代数式
x
2
-3xy-4y
2
-x+by-2
能分解为两个关于
x< br>、
y
的一次式的乘积，则
b=
或

.
22.
已知
x,y,z
是三个非负实数，满足
3x+2 y+z=5
，
x+y-z=2
，若
S=2x+y-z
，则
S
的最大值
为
，
最小值为
.
23.
已知
f(x)=
，若
f(0)=1
，并且
f(x+1)-f(x)=2x
，则
f(1)=
，
f(-1)=
，
a=
，
b=
.
图
9
24.
如 图
9
，在平面直角坐标系中，矩形
OABC
的顶点
A
、C
分别在轴上，顶点
B
在
(14,8)
，点
E
、
F
分别在
OA
、
OB
、上.将
△AEF
沿
EF
对折，使点
A
落在线段
BC
上的点
D
处.经过抛物线
y=ax
2
-2abx+ab
2
+c(c<0)< br>顶点
P
的每一条
直线总平分矩形
OABC
的面积.若点
P
在线段
DE
上，
AF
的长为整数，且已知抛物线与线段
EF
仅有一个交点，则点
F的坐标是

，
a
的取值范围是

.
25.
某种在同一平面内进行传动的机械装置如图
10
，图
11
是它的示意
图.其工作原理是：滑块
Q
在平直滑道
l
上可以左右滑动，在
Q< br>滑动的过程
中，连杆
PQ
也随之运动，并且
PQ
带动连杆OP
绕定点
O
摆动.在摆动过
程中，两连杆的接点
P
在 以
OP
为半径的
⊙O
上运动.数学兴趣小组为进一步
图
10
图
11
研究其中所蕴含的数学知识，过点
O
做
OH⊥l< br>于点
H
，并测得
OH
=4分米，
PQ
=
3< br>分米，
OP
=
2
分米.则点
Q
在
l
上
允许滑动的最大距离为

分米，点
P
在
⊙O
上的最大移动路线长为

分米.
参考答案及评分标准
初三（浙江） 第二页 共两页

题号
答案
题号
答案
1
B
11
4
2
D
3
C
12
4
A
5
C
13
1
18
6
B
7
D
14
38
A
9
C
15


20
20
10
B
(3，19)
17
1
题号
16
答案
题号
答案
评分标准：
19
6
21
-6;9
25
1
22
3;2
y=(x+1)(x-3)或y=-3(x+1)(x-3)
23
1;3;1;-1
24
(14,5);6;
1~20题,每题4分；
21~25题,每题8分(其中23题每空3分；其余各题每空4分)；