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1995年第6届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列五个数：3.1416，
A．0个 B．1个
，，3.14，π﹣1，其中是有理数的有（ ）
C．2个 D．3个
2．（4分）﹣的平方的立方根是（ ）
A．4 B． C．﹣ D．
3．（4分）适合不等式2x﹣1＞﹣3x+14≥4x﹣21的x的值的范围是（ ）
A．x＞3 B．x≤5 C．3＜x≤5 D．3≤x＜5
4．（4分）已知a是非零实数，则
A．3或﹣1 B3或1
的值是（ ）
C．﹣3或1 D3或﹣1
5．（4分）若a，b，c为三角形的三条边长，则﹣（a+b+ c）+|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|c﹣b﹣
a|＝（ ）
A．2（a﹣b﹣c） B．2（b﹣a﹣c） C．2（c﹣a﹣b） D．2（a+b﹣c）
6．（4分）在△ABC中， ∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A
等于（ ）

A．50° B．60°
2222
C．70° D．80°
7．（4分）已知实数a、b满足条件a+b+ab＝4ab﹣1，则（ ）
A．
C．

或
B．
D．
或


8．（4分）某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了c（c＜a）天后，剩下工作由乙单独完
成还需b天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（ ）天．
第1页（共19页）

A． B． C． D．
2

9．（4 分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝m，P为BC上任意一点，则PA+PB•PC的值为
（ ）

A．m
2
B．m+1
2
2
C．2m
2
D．（m+1）
2
10．（4分）如图，△ABC的面积为18cm，点 D、E、F分别位于AB、BC、CA上．且AD
＝4cm，DB＝5cm．如果△ABE的面积和四边 形DBEF的面积相等，则△ABE的面积是
（ ）

A．8cm
2
B．9cm
2
C．10cm
2
D．12cm
2
二、填空题（共20小题，每小题4分，满分80分）
11．（4分）化简：12．（4分）计算：
13．（4分）化简1+x+x（1+x）+x（1+x）+…+x（1+x ）
22
21995
＝ ．
＝ ．
＝ ．
14．（4分）若n满足（n﹣1994）+（1995﹣n）＝1，则（1995﹣n）（•n﹣ 1994） ．
15．（4分）已知△ABC中，∠ACB＞90°，∠B＝25°，CD⊥ BC于点C，BD＝2AC，点E
在BC的延长线上，则∠ACE的大小是 ．
16．（4分）在一个凸n边形（n＞3）的n个外角中，其中最多有 个钝角．
1 7．（4分）如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，
BC ＝13cm，则FC的长度是 ．
第2页（共19页）

18．（4分）已知a，b，c，d是四个不相等的正数，其中a最大，d最小，且满足条件
则a+d与b+c的大小关系为 ．
19．（4分）若方程有唯一解，则a与b应满足的条件是 ．
，
20．（ 4分）有5根木条，其中2根完全相同，长8cm，另外三根分别长4cm，10cm，12cm，
用其 中三根组成一个三角形，则选择的办法有 种．
21．（4分）一个自然数n减去59之后是 一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全平方
数，则n＝ ．
22．（4分）已 知x是实数，并且x+2x+2x+1＝0，则x
321994
+x
1997
+x
2000
的值是 ．
23．（4分）△ABC中，∠C＝90°，DE 是AB的中垂线，AB＝2AC，且BC＝18cm，则BE
的长度是 ．
24．（ 4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥
AB， 垂足为E，且AB＝10cm，则△DEB的周长是 cm．

25．（4分）已知 x＝2﹣
26．（4分）化简：（
，那么x﹣8x+16x﹣x+1的值是 ．
）÷＝ ．
432
27．（4分）已知：，则（y﹣x）的值是 ．
28．（4分）已知a，b，c，d是四个两两不等的正整数，它们的乘积abcd＝1995，则 a+b+c+d
的最大值是 ．
29．（4分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC， AF⊥DC，AB：AD＝2：3，∠BAD＝2∠ABC，则
FC：FD＝ ．
第3页（共19页）

30．（4分）如图， 两圆半径均为1，且图中两块阴影部分的面积相等，那OO
1
的长度是 ．



第4页（共19页）

1995年第6届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第
1试）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列五个数：3.1416，
A．0个 B．1个
，，3.14，π﹣1，其中是有理数的有（ ）
C．2个 D．3个
【分析】根据有理数及无理数的概念进行解答即可．
【解答】解：∵π是无理数，
∴这一组数中，，π﹣1为无理数，
∴3.1416和3.14为有理数．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数及无理数的概念，即整数和分数统称有理数，无限不 循环
小数是无理数．解答此类题目需注意的是π为无理数．
2．（4分）﹣的平方的立方根是（ ）
A．4 B． C．﹣ D．
【分析】由于﹣的平方等于
【解答】解：∵﹣的平方等于
而的立方为，
，然后根据立方根的定义即可求解．
，
∴﹣的平方的立方根是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了立方根的定义和平方运算，解题时首先求出﹣的平方然后求
其立方根．
3．（4分）适合不等式2x﹣1＞﹣3x+14≥4x﹣21的x的值的范围是（ ）
A．x＞3 B．x≤5 C．3＜x≤5 D．3≤x＜5
【分析】先转化为不等式组，再解不等式组即可．
第5页（共19页）

【解答】解：转化为不等式组
解第一个不等式得，x＞3，
解第二个不等式得，x≤5，
∴不等式组的解集为3＜x≤5．
故选：C．
，
【点评】本题考查了求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
4．（4分）已知a是非零实数，则
A．3或﹣1 B3或1
的值是（ ）
C．﹣3或1 D3或﹣1
【分析】化简时首先要对a 的符号进行讨论，然后根据绝对值的性质，正数的绝对值是
它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可 去掉原式中的绝对值符号，从而进行化简．
【解答】解：当时a＞0，|a|＝a，
∴原式＝1+1+1＝3；
当a＜0时，|a|＝﹣a，
原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质， 正确对a的范围进行分类，去掉绝对值符号是
解决本题的关键．
5．（4分）若a，b，c为 三角形的三条边长，则﹣（a+b+c）+|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|c﹣b﹣
a|＝（ ）
A．2（a﹣b﹣c） B．2（b﹣a﹣c） C．2（c﹣a﹣b） D．2（a+b﹣c）
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
来判定绝 对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
【解答】解：a，b，c为三角形的三条边长，满足条件a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b．
∴原式＝﹣（a+b+c）+（b+c﹣a）+（b﹣a﹣c）+（a+b﹣c）＝2（b﹣c﹣a）．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力以及绝对值的化简．
6．（4 分）在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A
第6页（共1 9页）

等于（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据角平分线的性质及三角形内角与外角的关系解答．
【解答】解：∵△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线，
∴2∠ACD＝2∠DBC+∠A，
又∵∠ACD＝∠DBC+∠D，
∴2（∠DBC+∠D）＝2∠DBC+∠A，
∵∠D＝40°，
∴∠A＝80°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系： 三角形的任一外角等于和它不相邻
的两个内角之和．
7．（4分）已知实数a、b满足条件a+b+ab＝4ab﹣1，则（ ）
A．
C．

或
B．
D．
或


2222
【分析】把右边的两项移到左边，再把4ab分成2ab+2ab，然后分别与左边的 四项组成
两个完全平方形式，从而出现两个非负数的和等于0的形式，那么每一个非负数都等于0，解关于a、b的方程，从而求出a、b的值．
【解答】解：∵a+b+ab＝4ab﹣1，
∴a﹣2ab+b+ab﹣2ab+1＝0，
∴（a﹣b）+（ab﹣1）＝0，
∴a﹣b＝0，ab﹣1＝0，
解得a＝1，b＝1或a＝b＝﹣1，
故选：B．
第7页（共19页）

22
2222
2222

222
【点评】本 题主要考查完全平方公式．完全平方公式：（a±b）＝a±2ab+b．注意会正
确的拆项．
8．（4分）某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了c（c＜a）天后，剩下工作由乙单独完
成还需 b天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（ ）天．
A． B． C． D．
【分析】等量关系为：（甲的工作效率+乙的工作效率）×甲乙合作的天数＝总工作量1，
把相关数值代 入计算即可．
【解答】解：设甲乙合作用x天完成．则乙的工作效率为：（1﹣甲工作c天的工作量）
÷乙的工作天数，
由题意：
（+×）x＝1，
x＝1，
解得
，
．故选B．
【点评】考查一元一次方程的应用；得到乙的工作效率 是解决本题的突破点；得到甲乙
合作的工作量的等量关系是解决本题的关键．
9．（4分）如 图，在△ABC中，AB＝AC＝m，P为BC上任意一点，则PA+PB•PC的值为
（ ）
2

A．m
2
B．m+1
2
C．2m
2
D．（m+1）
2
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，利用勾股定理 表示出AB、AP的长，再根据D是
BC的中点，整理得到AB﹣AP＝PB•PC，把AB＝m代入求 解即可．
【解答】解：作AD⊥BC交BC于D，
AB＝BD+AD
①
AP＝PD+AD
②
第8页（共19页）

222
222
22

①﹣②得：
AB﹣AP＝BD﹣PD，
∴AB﹣AP＝（BD+PD）（BD﹣PD），
∵AB＝AC，∴D是BC中点，
∴BD+PD＝PC，BD﹣PD＝PB，
∴AB﹣AP＝PB•PC．
∴PA+PB•PC＝AB＝m．
故选：A．
222
22
22
2222

【点评】此题主要考查了等腰三 角形的性质和勾股定理，使①﹣②得：AB﹣AP＝BD
﹣PD，是此题关键的一步．
10． （4分）如图，△ABC的面积为18cm，点D、E、F分别位于AB、BC、CA上．且AD
＝4c m，DB＝5cm．如果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积是
（ ）
2
2
222

A．8cm
2
B．9cm
2
C．10cm
2
D．12cm
2
【分析】本题由题意 可知△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，可通过连接DE，
DC的方法，证明出DE∥AC， 进而求出△BDC的面积，然后即可求出答案．
【解答】解：连接DE，DC．
∵S四边形
DBEF
＝S
△
ABE

∴S
△
ADE
＝S
△
FDE
，
∵两个三角形有公共底DE，且面积相等，
∴高相等，
∴DE∥AC
第9页（共19页）

从而可得：S
△
ADE
＝S
△
CDE

∴S
△
ABE
＝S
△
BDC

又AD＝4，DB＝5∴
即S
△
ABE
＝10cm
故选：C．
2
＝10cm
2

【点评】本题考查三角形 面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清
各个三角形面积之间的关系．
二、填空题（共20小题，每小题4分，满分80分）
11．（4分）化简：＝ ．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
【解答】解：原式＝25﹣
故答案为：24．
×＝25﹣＝24．
【点评 】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化
为最简二次根式的形式后 再运算．
12．（4分）计算：
22
＝ 0.44 ．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a﹣b，即可解答本题．
【解答】解：原式＝（10+0.01+0.001）﹣（0.01+0.001﹣10），
＝[10+（0.01+0.001）]﹣[10﹣（0.01+0.001）]，
＝4×（0.01+0.001）×10，
＝0.44．
故答案为：0.44．
【点评】本题考查了平方差公式，难度不大，重点掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a
﹣ b．
13．（4分）化简1+x+x（1+x）+x（1+x）+…+x（1+x）
第10页 （共19页）

21995
2
2
22
22
＝ （1+x）
1996
．

2
【分析】先把前两项 看作一个整体，与第三项提取公因式（1+x），计算结果是（1+x），
再与下一项继续提取公因式（ 1+x），计算结果是（1+x），以此类推，进行计算即可．
【解答】解：1+x+x（1+x）+ x（1+x）+…+x（1+x）
＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）+…+x（1+x）＝（1+x）+x（1+x）+…+x（1+x）
＝（1+x）+…+（1+x）
… ＝（1+x）
1996
31995
221995
21995
21 995
23
，
，
，
，
．
【点评】本题考 查了提公因式法分解因式，立意较新颖，对部分项提取公因式后与下一
项出现公因式是解题的关键，也是 规律所在，要求同学们做题时要善于观察、发现、总
结并利用规律．
14．（4分）若n满足 （n﹣1994）+（1995﹣n）＝1，则（1995﹣n）（n﹣1994） 0 ． •
【分析 】根据n满足（n﹣1994）+（1995﹣n）＝1，把（n﹣1994）与（1995﹣n）看
成 一个整体即可解答．
【解答】解：由条件（n﹣1994）+（1995﹣n）＝1，
又∵[（1995﹣n）+（n﹣1994）]＝1，
即（1995﹣n）+2（1995﹣n）（n﹣1994）+（n﹣1994）＝1，
∴2（1995﹣n）（n﹣1994）＝0，则（1995﹣n）（n﹣1994）＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键是把（n﹣1994） 与（1995﹣n）
看成一个整体运用完全平方公式．
15．（4分）已知△ABC中，∠A CB＞90°，∠B＝25°，CD⊥BC于点C，BD＝2AC，点E
在BC的延长线上，则∠ACE 的大小是 75度 ．
【分析】先作辅助线CG，再根据CG＝AC证明△ACG是等腰三角形，所以 求得∠A和
∠B的度数，进而求出∠ACE的度数．
【解答】解：如图：作△BCD的中线CG，
∵△BCD是Rt△，
∴CG＝BD，
∵BD＝2AC
第11页（共19页）

22
2
22
22
22

∴CG＝AC，
∴△ACG是等腰三角形，
∴∠A＝∠CGA＝2∠B＝50°，
∴∠ACE＝∠A+∠B＝75°．
故答案为75度．

【点评】本题主 要考查了等腰三角形的判定：在同一三角形中，有两条边相等的三角形
是等腰三角形．利用三角形是等腰 三角形的条件求角的度数．
16．（4分）在一个凸n边形（n＞3）的n个外角中，其中最多有 3 个钝角．
【分析】本题考查凸多边形的外角和是360°．
【解答】解：凸n边形的n个外角的和是360°，
若有4个外角是钝角，则这4个外角的和就大于360°，
所以最多只能有3个钝角．
【点评】利用反证法是解答本题的关键．
17．（4分）如图，沿AE折叠长方形ABCD， 使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，
BC＝13cm，则FC的长度是 8cm ．

【分析】根据△ADE≌△AFE，得AD＝AF，已知AB，AF根据勾股定理计算BF， FC＝
BC﹣BF．
【解答】解：沿AE折叠后，有△ADE≌△AFE，
AF＝AD＝13cm，
在Rt△ABF中，AF＝13cm，AB＝12cm，
∴BF＝

＝5cm
第12页（共19页）

∴FC＝BC﹣BF＝8cm．
故答案为 8cm．
【点评】本题考查了勾股定理 的运用，考查了矩形对边相等，且各内角为90°的性质，
本题中明白△ADE≌△AFE即AF＝AD ＝13cm是解题的关键．
18．（4分）已知a，b，c，d是四个不相等的正数，其中a最大，d 最小，且满足条件
则a+d与b+c的大小关系为 a+d＞b+c ．
【分析】设条件＝k ，则a＝kb，c＝kd，然后求a+d和b+c的差：通过变形得到（a+d）
，
﹣（b+c ）＝（b﹣d）（k﹣1），再根据题意即可得到b＞d，k＞1，从而得到a+d与b+c
的大小关系 ．
【解答】解：设条件＝k，则a＝kb，c＝kd，
∴（a+d）﹣（b+c）＝kb+d﹣b﹣kd
＝k（b﹣d）﹣（b﹣d）
＝（b﹣d）（k﹣1），
∵a，b，c，d是四个不相等的正数，其中a最大，d最小，
∴b＞d，k＞1，
∴（a+d）﹣（b+c）＞0，
即a+d＞b+c．
故答案为a+d＞b+c．
【点评】本题考查了实数的大小比较：利用求差法比较大小．也考查了代数式的变形能
力．
19．（4分）若方程有唯一解，则a与b应满足的条件是 a+b≠0 ．
【分析】根据隐 含条件，a≠0，b≠0，先去分母、去括号、移项，再合并，保证未知数
的系数不等于0即可．
【解答】解：∵a≠0，b≠0，
∴两边同乘以ab得bx﹣b＝2ab﹣ax+a，
整理后，得（b+a）x＝a+2ab+b
因方程有唯一解，
故a+b≠0，
第13页（共19页）

22
22

故答案为a+b≠0．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法，一元一次方程有唯一解的条 件是：未知数的
系数不等于0．
20．（4分）有5根木条，其中2根完全相同，长8cm， 另外三根分别长4cm，10cm，12cm，
用其中三根组成一个三角形，则选择的办法有 6 种．
【分析】由已知可得共五根木条，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任
意两边之 差小于第三边，进行分析，从而不难求得选择的办法．
【解答】解：∵当最长的一边为12cm时，有 3种，分别是：12，10，8；12，10，4；12，
8，8；
当最长的一边为10cm时，有2种，分别是：10，8，8；10，8，4；
当最长的一边为8cm时，有1种，分别是：8，8，4；
故答案为：6种．
【点 评】此题主要考查学生对三角形三边关系的掌握及运用能力．要注意三角形形成的
条件：任意两边之和大 于第三边，任意两边之差小于第三边；不符合的应舍去．
21．（4分）一个自然数n减去59之后是 一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全平方
数，则n＝ 1995 ．
【分析】设n﹣ 59＝a，n+30＝b，则存在a﹣b＝﹣89＝﹣1×29，根据奇偶性相同即
可求得a、b的值， 即可求得n的值．
【解答】解：设n﹣59＝a，n+30＝b，
则a﹣b＝﹣89＝﹣1×89，
即（a+b）（a﹣b）＝﹣1×89．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，
故a+b＝89，a﹣b＝﹣1，于是a＝44，b＝45，
从而n＝1995．
故答案为：1995．
【点评】本题考查了完全平方数的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性
的判定．
22．（4分）已知x是实数，并且x+2x+2x+1＝0，则x
32
321994
22
22
2222
+x
1997
+x
2000的值是 1 ．
【分析】首先对x+2x+2x+1＝0，等号左边通过拆分项、提取公因式、完 全平方式因式
分解，转化为（x+1）（x+x+1）＝0．针对因式x+x+1通过配方法证明其大于 0，进而判
定x+1＝0，求得x的值为1．最后将x的值代入x

1994
22
+x
1997
+x
2000
即可求得结果．
第14页（共19页）

32
【解答】解：∵x+2x+2x+1＝0，
∴x（x+2x+1）+（x+1），
＝x（x+1）+（x+1），
＝（x+1）（x+x+1）＝0，
又∵x+x+1＝
∴x+1＝0，即x＝﹣1，
∴x
1994
2
2
2
2
＞0，
+x1997
+x
2000
＝（﹣1）
1994
+（﹣1）
1997
+（﹣1）
2000
＝1﹣1+1＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查高次方程、代数式求值、因式分解．解决本题的关键通过因式分解，
降次转化为一元二 次方程与一次方程，进而求得x的值，原题得解．
23．（4分）△ABC中，∠C＝90°，DE是 AB的中垂线，AB＝2AC，且BC＝18cm，则BE
的长度是 12cm ．
【分析】 先根据题意画出图形，再根据直角三角形及线段垂直平分线的性质得出∠B＝∠
EAD＝∠CAE，再由 全等三角形的判定定理求出△BED≌△AED≌△AEC，再根据BC＝
18cm即可解答．
【解答】解：连接AE，
∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，
∴∠B＝30°，∠BAC＝60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，∠EAD＝∠B＝30°，AD＝BD＝AB，
∴△BED≌△AED，
∵∠BAC＝60°，∠EAD＝30°，
∴∠CAE＝∠EAD＝30°，
∵AB＝2AC，AD＝BD＝AB，
∴AC＝AD，
∴△BED≌△AED≌△AEC，∠B＝30°，
∴EC＝DE＝BE，BC＝BE+EC＝BE+BE，
BE＝18cm，
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∴BE＝12cm．
故答案为：12cm．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线 的性质，全等三角形的判定
与性质，根据题意求出△BED≌△AED≌△AEC是解答此题的关键．
24．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥
AB，垂足为E，且AB＝10cm，则△DEB的周长是 10 cm．

【分 析】由已知利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得到DE＝CD，AC＝AE，
加上BC＝A C，三角形的周长为BE+BD+DE＝BE+CB＝AE+BE，于是周长可得．
【解答】解：CD＝DE
∵AC＝BC
∴∠B＝45°
∴DE＝BE
∵△DEB的周长＝DB+DE+BE＝AC+BE＝AB＝10．
故填10．
【 点评】本题主要考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质和线段的和差关系求
值．利用线段相等， 进行线段的转移是解决本题的关键．
25．（4分）已知x＝2﹣
【分析】由x＝2﹣
，那么x﹣8x+16x﹣x+1的值是
224
432
．
32
得出x﹣4x﹣1＝0，用x﹣4x﹣1除x﹣8x+16x﹣x+1，得出商和
余数，利用：被除数 ＝除数×商+余数，将多项式化简，再代值计算．
【解答】解：由x＝2﹣
2
得x﹣2＝﹣，
两边平方，得x﹣4x+4＝5
∴x﹣4x﹣1＝0
∴x﹣8x+16x﹣x+1＝（x﹣4x﹣1）（x﹣4x+1）+（﹣x+2）
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43222
2

＝2﹣x
＝．
【点评】本题考查了二次根式的代值计算问题，要求学会对已知条件 变形，将多项式变
形，使运算简便．
26．（4分）化简：（）÷＝ 2 ．
【分析】把（）÷化为最简后即可得出答案．
【解答】解：（）÷
＝（）÷
＝•
＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键注意细心运算即可．
27．（4分）已 知：
【分析】先将原分式方程
y的值，进一步代入原代数式即可求解．
【解答】解：∵，
，则（y﹣x）的值是 4 ．
，化为一个二元一次方程组，解出可求出x、
∴，
则有
方程组可化为：
；
，
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解得．
经检验：是原方程的解．
∴（y﹣x）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查分式方程及二元一次方程组的解法，解题的关键是将原 分式方程
化为二元一次方程组．
28．（4分）已知a，b，c，d是四个两两不等的正整数 ，它们的乘积abcd＝1995，则a+b+c+d
的最大值是 142 ．
【分析】此题 先将1995分解质因数，由于a，b，c，d是四个两两不等的正整数，所以
有一个可能是1，将7与 19 相乘，再加上1、3、5即可解答．
【解答】解：abcd＝1995＝3×5×7×19＝1×3×5×（7×19）
令a＝1，b＝3，c＝5，d＝133，
∴a+b+c+d＝142为最大．
故答案为142．
【点评】本题主要考查分解质因数，熟练掌握分解质因数的方法是解决此题的关键．
29．（ 4分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，AB：AD＝2：3，∠BAD＝2∠ABC，则
FC：FD＝ 1：3 ．

【分析】在平行四边形ABCD中，由题中条件可得∠BAE 与∠DAF的大小，进而在直角
三角形中，利用勾股定理求解线段DF的长，进而得出CF的长，最终得 出线段的比例．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ABC，
∴∠BAD＝120°，∠ABC＝60°，
又AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠BAE＝30°，∠DAF＝30°，
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DF＝AD＝•DC＝DC，FC＝DC，
∴FC：FD＝1：3．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及含30°直角三角形的求解，能够熟练掌
握．
30．（4分）如图，两圆半径均为1，且图中两块阴影部分的面积相等，那OO
1
的 长度是 ．

【分析】由S
阴影部分
ABE
＝S
矩形< br>ABO1O
﹣S
扇形
OAD
﹣S
扇形
O1BC
+S
阴影部分
CDE
，再根据图中两块
阴影部分的面积相等，得到S
矩形
ABO1O
﹣S
扇形
OAD
﹣S
扇形
O1B C
＝0，然后分别根据矩形和扇
形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：根据题意得，
S
阴影部分
ABE
＝S
矩形< br>ABO1O
﹣S
扇形
OAD
﹣S
扇形
O1BC
+S
阴影部分
CDE
，
∵两块阴影部分的面积相等，
∴S矩形
ABO1O
﹣S
扇形
OAD
﹣S
扇形
O1 BC
＝0，
∴1×OO
1
＝2×
∴OO
1
＝故答案为：
．
．
，其中n为扇形的圆心角的度数，R
，
【 点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝
为圆的半径），或S＝lR，l为扇形的弧长，R为半径．



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