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2007年第18届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）假定未拧紧的水龙头每秒 钟渗出2滴水，每滴水约0.05毫升，现有一个水龙头未
拧紧，4小时后，才被发现拧紧，在这段时间 内，水龙头共滴水约（用科学记数法表示，
结果保留两位有效数字）（ ）
A．1440毫升
C．0.14×10毫升
4
B．1.4×10毫升
D．14×10毫升
2
3

2．（4分）如图，直线l与∠O的两 边分别交于点A、B，则图中以O、A、B为端点的射线
的条数总和是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
3．（4分）整数a，b满足：ab≠0且a+b＝0，有 以下判断：①a，b之间没有正分数；②a，
b之间没有负分数；③a，b之间至多有一个整数；④a， b之间至少有一个整数．其中，
正确判断的个数为（ ）
A．1
4．（4分）方程
A． B．
B．2 C．3
的解是x＝（ ）
C． D．
D．4
5．（4分）如图，边长为1的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（ ）

A．1 B．3 C．6 D．9
2
6．（4分）在9个数：﹣5，﹣4，﹣3，﹣ 2，﹣1，0，1，2，3中，能使不等式﹣3x＜﹣14
成立的数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4
第1页（共17页）

D．5

7．（4分）韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图A放置，然后又如图B放置，则
图B中四 个底面正方形中的点数之和为（ ）

A．11 B．13 C．14 D．16
8．（4分）对于彼此互质的三个正整数a，b，c，有以下判断：①a，b，c均为奇数；②a，
b ，c中必有一个偶数；③a，b，c没有公因数；④a，b，c必有公因数．其中，不正确
的判断的个数 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）将棱长为1厘米的42个立方体 积木拼在一起，构成一个实心的长方体．如果长
方体底面的周长为18厘米，那么这个长方体的高是（ ）
A．2厘米 B．3厘米 C．6厘米 D．7厘米
10．（4分）If 0＜c＜b＜a，then（ ）
A．
C．


B．
D．



二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
11．（4分）若有理数m，n，p满足，则＝ ．
12．（4分）今天（2007 年4月15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行
第2试的日子，那么今天以后的第2 007+15天是星期 ．
13．（4分）孔子诞生在公元前551年9月28日，则2007年9月28日是孔子诞辰 周
年．（注：不存在公元0年）
14．（4分）In Fig，ABCD is a rectangle．The area of the shaded rectangle is ．
4

15．（4分）下表是某中学初一（5）班2007年第一学期期末考试数学成绩统计表：
第2页（共17页）

这个班数学成绩的平均分不低于 分，不高于 分．（精确到0.1）
16．（4分）已知，其中x，y，z代表非0数字，那么x+y+z＝ ．
222
17．（4分）某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月平均5吨，由于6，7，8月天热，
每户每月多用水1吨，为了不超过全年用水定额，则全年的其它月份每户的用水量应控
制在每月平均 吨之内．如果每户每天节约用水2千克，则全市一年（按365天计）
节约的水量约占全年用水定额的 %（保留三位有效数字）
18．（4分）a，b，c都是质数，且满足a+b+c+abc＝99，则
＝ ．
19．（4分）一项机械加工作业，用4台A型车床，5天可以完成；用4台A型车床和2台B
型车床，3天可以完成；用3台B型车床和9台C型车床，2天可以完成．若A型、B
型和C型车床各一 台一起工作6天后，只余下一台A型车床继续工作，则再用 天
就可以完成这项作业．
20．（4分）设0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，则
的是 ，值最小的是 ．
三、解答题（共3小题，满分40分）
21．（10分）小明在平面上标出了2007个点并 画了一条直线L，他发现：这2007个点中的
每一点关于直线L的对称点，仍在这2007个点中，请 你说明：这2007个点中至少有1
个点在直线L上．
22．（15分）小明和哥哥在环形跑 道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每
隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点 沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥
追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：
（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？
（2）哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？
23．（15分）满足1+3n≤2007，且使得1+5n是完全平方数的正整数n共有多少个？

和四个式子中，值最大
第3页（共17页）

2007年第18届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第
2试）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出2滴水，每滴水约0.05毫升，现有一个水龙头未
拧紧 ，4小时后，才被发现拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（用科学记数法表示，
结果保留两位有效数 字）（ ）
A．1440毫升
C．0.14×10毫升
4
B．1.4×10毫升
D．14×10毫升
2
3

【分析】先列式表示4小时后水龙头滴水的毫升数，再把结果用科学记数法表示．
有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：∵水龙头每秒钟滴水的体积为：0.05×2＝0.1（毫升），
4小时＝3600秒×4＝14400秒，
∴水龙头4小时共滴水的体积为：0.1×14400＝1440≈1.4×10（毫升）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法在实际生活中的应用，科学记数法的表示方 法，
以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
2．（4分）如图，直线l与∠O的 两边分别交于点A、B，则图中以O、A、B为端点的射线
的条数总和是（ ）
3

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据射线的定义，分别数出以O、A、B为端点的射线的条数，再相加即可解得．
【解答】解：以O为端点的射线有2条，
以A为端点的射线有3条，
第4页（共17页）

以B为端点的射线有3条，
共有2+3+3＝8条．
故选：D．
【点评】本题主要考查射线的定义，熟练根据定义判断射线是解题的关键．
3．（4分）整数 a，b满足：ab≠0且a+b＝0，有以下判断：①a，b之间没有正分数；②a，
b之间没有负分数 ；③a，b之间至多有一个整数；④a，b之间至少有一个整数．其中，
正确判断的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先知道整数包括正整数、0、负整数，然后再根据 ab≠O且a+b＝O，判断出正
确的个数即可．
【解答】解：∵ab≠O且a+b＝O，
∴a与b互为相反数．
又∵a，b是整数，
∴a，b之间至少有一个整数；a，b之间没有正分数；a，b之间没有负分数
∴结论中只有一个正确．
故选：A．
【点评】认真掌握整数、分数的定义与特点， 注意整数和正数的区别，注意0是整数，
但不是正数．
4．（4分）方程
A． B．
的解是x＝（ ）
C． D．
【分析】这是一个比较复杂的方程，解答此题的关 键是将方程变形为x[（1﹣）+（
﹣）+（﹣）+…+（
项，系数化为1，即可求解．
【解答】解：
提取公因式，得
x （+++…+）＝1，
，
﹣）]＝1，然后提取公因式，移项，合并同类
将方程变形，得
第5页（共17页）

x[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（
提取公因式，得
（1﹣+﹣+﹣+…+
移项，合并同类项，得
（1﹣）＝1，
﹣）＝1，
﹣）]＝1，
系数化为1，得
x＝．
故选：C．
【点评】此 题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，
是道难题．
5．（4分）如图，边长为1的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（ ）

A．1 B．3 C．6 D．9
【分析】根据轴对称图形的定义及性质求解．如果一个图形 沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． < br>【解答】解：正六边形是轴对称图形，有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的
垂直平分线 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义及性质．轴对称图形具有以下性质：
（1）轴对称图形被对称轴分成的两部分是全等的；
（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．
6．（4分）在9个数：﹣5，﹣4， ﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3中，能使不等式﹣3x＜﹣14
成立的数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4
2
2
D．5
【分析】本题只需根据解不等式的知识先计算出x的范围，然后将各数代入即可得出答
案．
第6页（共17页）

【解答】解：由题意得：x＞
2
，
∴满足条件的数有﹣5．﹣4，﹣3，3共4个．
故选：C．
【点评】本题考查一 元二次不等式的知识，解答本题的关键是根据不等式的形式表示出
x的范围，然后代入检验．
7．（4分）韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图A放置，然后又如图B放置，则
图B中四个 底面正方形中的点数之和为（ ）
2

A．11 B．13 C．14 D．16
【分析】从a中间2个图形看，和点4相邻的有点1，点3，点5，点6，那么和点4相
对的就 是点2，再由图形1和图形4可看出和点5相对的是点1，即可求出点6的相对面
是点3．依此将点5、 点6、两个点3的相对面相加即可．
【解答】解：根据四个图形的点数，可推断出来，点4对面是点2 ；点5对面是点1；点
6对面是点3．
则图B中四个底面正方形中的点数是1，3，6，6，
1+3+6+6＝16，
则图B中四个底面正方形中的点数之和为16．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体 ，根
据题意在各个面上标上点数，再确定对面上的点数，可以培养动手操作能力和空间想象
能力 ，解题的关键是根据图形1和图形4的旋转得出点5相对的面是点1．
8．（4分）对于彼此互质的三 个正整数a，b，c，有以下判断：①a，b，c均为奇数；②a，
b，c中必有一个偶数；③a，b， c没有公因数；④a，b，c必有公因数．其中，不正确
的判断的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别根据质数与和数的性质对每小题进行分析即可．
【解答】解：①、当a＝2时，2是偶数，故此小题不成立；
②、当a、b、c三个数都不为2时，则a，b，c均为奇数，故此小题不成立；
第7页（共17页）

③、因为a，b，c都能整除因数1，所以a，b，c有公因数1，故此小题不成立；
④、由③可知a，b，c有公因数1，所以此小题成立．
故选：C．
【点评】本题 考查的是质数与合数，解答此题的关键是熟知在所有质数中只有2是偶数
这一关键知识点．
9 ．（4分）将棱长为1厘米的42个立方体积木拼在一起，构成一个实心的长方体．如果长
方体底面的周 长为18厘米，那么这个长方体的高是（ ）
A．2厘米 B．3厘米 C．6厘米 D．7厘米
【分析】首先根据底面周长确定底面的长宽，进而根据长方体的体积公式，求得高．
【解答】 解：∵如果长方体底面的周长为18厘米，且立方体积是有棱长为1厘米的42
个立方体积木拼在一起，
∴长方体的长与宽的和是9，长宽高均为整数，体积为42，
故设长为a，宽为b，高为c，
则有且a、b均为整数，
解得a＝7、b＝2、c＝3；a＝2、b＝7、c＝3（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的表面积．培养学生的观察能力和实际问题应用能力，注意a、
b、c 均为整数这一隐含条件．
10．（4分）If 0＜c＜b＜a，then（ ）
A．
C．


B．
D．



【分析】可代入特殊值一一验证．
【解答】解：∵0＜c＜b＜a，∴可设a＝3，b＝2，c＝1．
A、＝，，，
∵＜＜2，
∴
故本选项错误；
，
第8页（共17页）

B、
∵
∴
＝2，＝，
，
≤≤，
＝，
故本选项错误；
C、＝，＝2，＝，
∵＜＜2，
∴
故本选项错误；
D、
∵
∴
故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较．解答本题时，采用了“特殊值”代入法．
二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
11．（4分）若有理数m，n，p满 足
【分析】有理数m，n，p满足
质，本题可分三种情况：
①当m＞0，n＞0，p ＜0时②当m＞0，n＜0，p＞0时③当m＜0，n＞0，p＞0时，根
据以上三种情形分类解答．
【解答】解：有理数m，n，p满足，所以m、n、p≠0；
＝；
，则＝ ．
＝，＝，
，
，
＝2，
，
，所以m、n、p≠0，根 据绝对值的性
根据绝对值的性质：①当m＞0，n＞0，p＜0时，原式＝1+1﹣1＝1，则
②当m＞0，n＜0，p＞0时，原式＝1﹣1+1＝1，则
③当m＜0，n＞0，p＞0时，原式＝﹣ 1+1+1＝1，则
＝
＝
；
；
第9页（共17页）

故答案为
【点评】本题综合考查了绝对值的性质，能够根据已知 条件正确地判断出m、n、p的值
是解答此题的关键．
12．（4分）今天（2007年4月 15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行
第2试的日子，那么今天以后的第2007 +15天是星期 三 ．
【分析】首先算出2002能整除7，2007除以7的余数为5，转化等于 2007就和5＝625
除以7的余数相同，再利用（625+15）÷7＝91余3，得出2007+ 15除以7的余数，从
而得出是星期几．
【解答】解：因为2002能被7整除，所以2007除以7的余数为5．
这样，2007就和5＝625除以7的余数相同，
所以2007+15与625+15除以7的余数相同；
然后（625+15）÷7＝91余3，
所以，2007+15除以7的余3，
∴第2007+15天是星期 三；
故答案为：三．
【点评】此题主要考查了带余数的除法运算性质，正确的分解数据是解决问题的关键．
13．（4分）孔子诞生在公元前551年9月28日，则2007年9月28日是孔子诞辰 2557 周
年．（注：不存在公元0年）
【分析】公元前有550周年，公元2007周年，即550 +2007＝2557，或2007﹣（﹣551）
﹣1．
【解答】解：根据题意得，2007﹣（﹣551）﹣1，
＝2007+551﹣1，
＝2557（年）．
故答案为：2557．
【点评】本题考查了有理数的减法以及应用，是基础知识比较简单．
14．（4分）In Fig，ABCD is a rectangle．The area of the shaded rectangle is 18 ．
4
4
4
44
4
44
4
第10页（共17页）

【分析】 在直角三角形BCG中，利用勾股定理的知识求出BG，再根据锐角三角函数值
的定义求出∠GBE的正 弦和正切值，然后再直角三角形中求出EF和FG，最后根据矩形
面积公式求出面积．
【解答】解：在直角三角形BCG中，
由勾股定理得，
BG＝10，tan∠BGC＝，
又知∠BGC＝∠GBE，
∴tan∠GBE＝，
因此EF＝sin∠GBE•BE＝×5＝3，
BF＝cot∠GBE×3＝4，
FG＝BG﹣BF＝6，
故知阴影面积＝3×6＝18，
故答案为18．
【点评】本题主要考查面积及等积 变换的知识，解答本题的关键是利用好勾股定理和三
角函数的知识求出边长EF和GF的值．
15．（4分）下表是某中学初一（5）班2007年第一学期期末考试数学成绩统计表：

这个班数学成绩的平均分不低于 67.9 分，不高于 80.9 分．（精确到0.1）
【分析】分别计算每组中最低分的平均数和最高分的平均数即可确定本题的答案．
【解答】解 ：最低分的平均分不低于（40×5+60×19+71×12+86×14）÷（5+19+12+14）＝67.92≈67.9；
最低分的平均分不低于（59×5+70×19+85×12+100 ×14）÷（5+19+12+14）＝80.9；
故答案为：67.9，80.9．
【点评】本题考查了加权平均数的知识，解题的关键是牢记其计算公式．
第11页（共17页）

16．（4分）已知，其中x，y，z代表非0数字，那么x+y+z＝ 98 ．
222< br>【分析】首先根据题意的方程：（70+x）（100y+10z+6）＝41388，将方程化简，根据 x，y，
z 代表非0数，则 x，y，z皆为大于等于1而小于等于9的正整数，依次分析y的取值，
x的取值，z的取值，即可求得结果．
【解答】解：根据题意得：（70+x）（100y+10z+6）＝41388，
整理得：3500y+50xy+350z+5xz+3z＝20694，
∵x，y，z 代表非0数，则 x，y，z皆为大于等于1而小于等于9的正整数，
∴3500y＜20694，
∴y＝5，
∵50x×5+350z+5xz+3x＝3194，
∵3194，个位是4，
∴x＝8，
∴350z+5×8×z＝1170，
∴z＝3；
∴x+y+z＝98．
故答案为：98．
【点评】此题考查 了数字的表示方法与性质．解此题的关键是理解各数字间的关系，注
意解题时要细心．
17． （4分）某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月平均5吨，由于6，7，8月天热，
每户每月多用 水1吨，为了不超过全年用水定额，则全年的其它月份每户的用水量应控
制在每月平均 4 吨之内．如果每户每天节约用水2千克，则全市一年（按365天计）
节约的水量约占全年用水定额的 1.22 %（保留三位有效数字）
【分析】设全年的其它月份每户的用水量应控制在每月平均x吨， 则6，7，8月平均每
天用水（x+1）吨，根据每户用水量定额为月平均5吨，列出不等式求出x的最 大值，然
后算出每户一年节约用水量，继而可求解．
【解答】解：设全年的其它月份每户的用 水量应控制在每月平均x吨，则6，7，8月平
均每天用水（x+1）吨，
由题意得，9x+3（x+1）≤12×5，
解得：x≤4，
第12页（共17页）

222

即全年的其它月份每户的用水量应控制在每月平均4吨之内，
若每户每天节约用水2千克，
则每户每年节约2×365＝730（千克）＝0.73吨，
≈1.22%．
答：全市一年节约的水量约占全年用水定额的1.22%．
故答案为：4，1.22%． < br>【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适 的等量关系，列出不等式求解．
18．（4分）a，b，c都是质数，且满足a+b+c+abc＝99，则
．
【 分析】先根据假设a，b，c都是奇数，判断出与已知相矛盾，可得出a，b，c中必有
两个偶数是2， 再求出另一个数的值，代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：若a，b，c都是奇数，那么ab c也为奇数，则a+b+c+abc为偶数，与a+b+c+abc
＝99矛盾，
∴a，b，c中必有一个偶数，
又∵a，b，c都是质数，
∴a，b，c中必有一个偶数是2，
令a＝2，则b+c+2bc＝97，
同理，若b，c都是奇数，则bc为奇数，则b+c+2bc为偶数，与b+c+2bc＝97矛盾，
∴b，c中也必有一个偶数，则偶数必是2，
令b＝2，可得c＝19，
∴
故答案为：．
＝．
＝
【点评】本题考查的是质数与合数，熟知“在所有质数中只有2是偶数”是解答此题的
关键．
19．（4分）一项机械加工作业，用4台A型车床，5天可以完成；用4台A型车床和2台B
型车床，3天可以完成；用3台B型车床和9台C型车床，2天可以完成．若A型、B
第13页（共17 页）

型和C型车床各一台一起工作6天后，只余下一台A型车床继续工作，则再用 2 天
就可以完成这项作业．
【分析】由A型车床完成工作的台数和时间可得到其工作效率，进而 得到B、C型车床
的工作效率，根据A型机床6天的工作量+B型机床6天的工作量+C型机床6天的工 作
量+A型机床x天的工作量＝1，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：∵用4台A型车床，5天可以完成；
∴A型机床的工作效率为1÷5÷4＝，
∵用4台A型车床和2台B型车床，3天可以完成；
∴B型机床的工作效率为（1﹣×4×3）÷3÷2＝，
∵用3台B型车床和9台C型车床，2天可以完成．
∴C型机床的工作效率为（1﹣
设再用x天完成这项工作．
+++＝1，
×3×2）÷9÷2＝，
解得x＝2，
故答案为2．
【点评】考查一元 一次方程的应用；得到3种类型机床的工作效率是解决本题的突破点；
得到3种类型机床总工作量1的等 量关系是解决本题的关键．
20．（4分）设0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，则
的是 ，值最小的是 ．
22
和四个式子中，值最大
【分析】首先由0＜a＜1，﹣2＜ b＜﹣1，即可求得：a﹣b＜a+b＜0＜a＜a﹣b，则可求
得和四个式子的大小．
【解答】解：∵0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，
∴a﹣b＞a＞0，a+b＜0，
∴a﹣b＝（a+b）（a﹣b）＜0，a﹣b＝（a+b）（a﹣b）＜a+b，
∴a﹣b＜a+b＜0＜a＜a﹣b，
∴＜＜＜，
22
2222
第14页（共17页）

∴值最大的是，值最小的是
故答案为：，．
．
【点评】此题考查了分式的求值与实数大小的比较．题目难度不大，注意仔细分析求解．
三、解答题（共3小题，满分40分）
21．（10分）小明在平面上标出了2007个点并 画了一条直线L，他发现：这2007个点中的
每一点关于直线L的对称点，仍在这2007个点中，请 你说明：这2007个点中至少有1
个点在直线L上．
【分析】首先假设这2007个点都不 在直线L上，得出每个点A
i
（i＝1，2，…，2007）
关于直线L的对称点A′
1
仍在这2007个点中，
不在直线L上点A
i
（i＝1，2，2 007）与A
i
关于直线L对称的点A′
i
成对出现，即平面
上标出 的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾．
【解答】证明：假设这2007个点都不在直线L上，
由于其中每个点A
i
（i＝1，2，…，2007）关于直线L的对称点A′
1
仍在这2007个点中，
所以A′
i
不在直线L上．
也就是说，不在直线L上点A
i
（i＝1，2，2007）与A
i
关于直线L对称的点A′
i
成对出
现，
即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾，
因此，“这20 07个点都不在直线L上”的假设不能成立，即这2007个点中至少有1个点
在直线L上．
【点评】此题主要考查了反证法的应用，从命题的反面出发，假设出2007个点都不在直
线L上，根据 平面上点的坐标性质得出矛盾，进而肯定命题正确是解决问题的关键．
22．（15分）小明和哥哥在 环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每
隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一 起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥
追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：
（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？
（2）哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？
【分析】（1）由“他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次”得到等
量关系：哥哥 所跑路程+小明所跑路程＝环形跑道的周长；由“经过25分钟哥哥追上小
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明，并且比小明多跑了20圈”，知经过分钟哥哥追上小明，并且 比小明多跑了1圈，
得到等量关系：哥哥所跑路程﹣小明所跑路程＝环形跑道的周长，据此列出方程组， 求
出问题的解．
（2）由（1）中求出的哥哥的速度与小明的速度的比为2：1，可知在时间 相同时，他们
所行的路程比也为2：1．如果设小明跑了x圈，那么哥哥跑了2x圈．根据哥哥比小明多
跑了20圈列式解答即可．
【解答】解：设哥哥的速度是V
1
米秒，小明的 速度是V
2
米秒．环形跑道的周长为s米．
（1）由题意，有，

整理得，4v
2
＝2v
1
，
所以，V
1
＝2V
2
．
答：哥哥速度是小明速度的2倍．
（2）设小明跑了x圈，那么哥哥跑了2x圈．
根据题意，得2x﹣x＝20，
解得，x＝20．
故经过了25分钟小明跑了20圈．
【点评】本题考查分式方程 、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根
据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列 出方程组，再求解．本题要注意追及问题
和相遇问题不同的求解方法及时间相同，路程比等于速度比．
23．（15分）满足1+3n≤2007，且使得1+5n是完全平方数的正整数n共有多少个？ < br>【分析】首先求出n的取值范围，然后设1+5n＝m（m是正整数），则
正整数，然后对m﹣1 和m+1进行讨论确定n的值．
【解答】解：由条件1+3n≤2007得，n≤668，n是正整数．
设1+5n＝m（m是正整数），则
2
2
，这是
，这是正整数．
故可设m+1＝5k，或m﹣1＝5k（k是正整数）
①当m+1＝5k时，
当k＝12时，5k﹣2k＝696＞668．
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2
，由5k
≤668，得，k≤11
2

所以，此时有11个满足题意的正整数n使1+5n是完全平方数；
②当m﹣1＝5k时，
222
，
又5k﹣2k＜5k+2k，且当k＝11时5k+2k＝627＜668，
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1+5n是完全平方数．
因此，满足1+3n≤2007且使1+5n使完全平方数的正整数n共有22个．
【点评】 本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是对m﹣1和m+1进行讨
论确定k的取值范围，本 题难度较大．


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