9.灵活消元法
[例9]:
(2011年全国高中数学联赛试题)设函 数f(x)=|lg(x+1)|,实数a,b(a4lg2,求a,b的 值.
b1
b2
),f(10a+6b+21)=
[解析]:



[类题]:
1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试 题B)如果x和y是非零实数,使得|x|+y=3和|x|y+x
=0,那么x+y等于 .
3
2.(2010年美国数学邀请赛试题)已知x,y满足y=
3m
yx
x,x=y,设x+y=((m,n)=1),则m+n= .
4n
10.消去常数法
[例10]:
(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x) ,g(x)的迭代函数定义为:f
(1)
(x)=f(x),f
(2)
(x) =f(f(x)),
…,f(x)=f(f
(2)(n-1)
(x));g(x)= g(x),g(x)=g(g(x)),…,g(x)=g(g
(1)(2)(2)(n-1)
(x)).其中n=2,3,4,…,设f(x)=2x-3,g(x)=3x+2.
Y.P.M数学竞赛讲座
5


f
(9)
(x)g
(6)(y)

(9)(6)
方程组


f(y)g(z)
,的解为 .

f
(9)
(z)g
(6 )
(x)


[解析]:

[类题]:
1.(2 011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知a
(b+c)=b(a+c)=2011,且a≠b,则 abc= .
22
2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)已 知实数a、b、c、d,且a≠b,c≠d.若关系式:a
+ac=2,b+bc=2,c+ac=4, d+ad=4
2222
同时成立,则6a+2b+3c+2d的值为 .
11.整体换元法

xyzw2

2222

xyzw6
11]:
(2006年全国高中数学联赛试题)解方程组
3333
.

xyzw20
4444
< br>
xyzw66
[例
[解析]:





[类题]:
1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)已知
2.(2003年德国数学奥林匹克试题)解方程组

11
1
112
3
4
1
1
11
+=,+=,+=,则++的值为 .
x
yz
2
y
zx
3
z
xy4x
y
z


x
3
y
3
 7
.

xy(xy)2

12.数形结合法

[例12]:
(2006年美国数学邀请赛试题)已知实数x,y,z满足x=
y
2

y
2

11111
+
z
2

,y=
z
2

+
x
2
,z=
x
2

+
1616252536
1
m
,且x+y+z=(m,n∈Z
+
,
n
为最简根式),则m+n= .
36
n
[解析]:



[类题]
1.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b∈R,关于x的方程x
+ax+2x+ bx+1=0有一个实根.求a+b的最小值.
43222
2.(2008年美国数学邀请赛 试题)令a,b(a≥b)为正实数.ρ为
的解(x,y)满足0≤x2
a
222222
的可能的最大值,使得方程组a+y=b+x=(a-x)+(b -y)
b
m
((m,n)=1),则m+n= .
n
二、根的问题
在不求方程根的条件下讨论方程根的性质,是方程的另一根本问题.基本思路是等价变形和函数(图像_分析.
13.二次方程
[例13]:
(1982年全国高中数学联赛试题)己知x< br>1
,x
2
是方程x
2
-(k-2)x+(k
2
+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根,x
1
2
+x
2
2< br>的最
大值是( )

6
Y.P.M数学竞赛讲座
(A)19 (B)18 (C)
50
(D)不存在
9
[解析]:


[类题]:
1.①( 2004年全国高中数学联赛试题)设锐角θ使关于x的方程x
+4xcosθ+cosθ=0有重根. 则θ的弧度数为 .
2
②(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请 赛(高二)试题)设f(x)=x
+bx+9,g(x)=x+dx+e,若f(x)=0的根是r,s ,g(x)
22
=0的根是–r,–s,则f(x)+g(x)=0的根是 .
2.①(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)己知关于x的方程sin
x-(2a +1)cosx-a=0有实数解.则实数a的取值范围
22
是 .
②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)若关于x的方程4
+(a+3)2+5=0至少有一个 实根在区间[1,2]内,则实数a
xx
的取值范围为 .
3.①(20 07年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x
-2ax-3a,且方程|f(x)|= 8有三个不同的实根,则实数
22
a= .
②(2004年全国高中数 学联赛福建初赛试题)设f(x)=(x-8x+c
1
)(x-8x+c
2
) (x-8x+c
3
)(x-8x+c
4
),M={x|f(x)=0}.己知
M={x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
,x
6
,x
7
,x
8
}

N.那么max{c
1
,c
2
,c
3
,c
4
}-min{c
1
,c
2
,c
3
,c
4
}= .
2222
14.二次迭代
[例14]:(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“ 不动点”,若f(f(x))=x,
则称x为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳 定点”的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.

(Ⅰ)求证:A

B;
(Ⅱ)若f(x)=ax-1(a∈R,x∈R),且A=B≠φ,求实数a的取值范围.
2
[解析]:



[类题]:
1.(200 8年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设f(x)=x
+ax,{x|f(x)=0,x∈R}={x| f(f(x))=0,x∈R}≠

,则满足条件的所
2
有实数a的取值范围 为 .

2.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设f(x)=x
+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x∈R}=f(f(x))=0,,x∈R}≠φ,则满足条件2
的所有实数a,b的值为 .
15.根的个数
[例15]:
(1984年全国高中数学联赛试题)方程sinx=lgx的实根个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)大于3
[解析]:


[类题]:
1.(2007年全国高中数学联赛海南初赛试题)方程
x-lgx=2的实数根个数为( )
2
1
3
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
2.(2008年全国高中数学联 赛甘肃初赛试题)方程10sin(x+

6
)=x的根的个数为 .
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7

16.根的讨论
[例16]:
(2000年 全国高中数学联赛试题)给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,q是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,
则一元二次方程bx-2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
2
[解析]:

[类题]:
1.(2006年全国高中数学联赛河北初赛试题)包含方程x+lnx=3的根的区间为( )
(A)(1,
e
) (B)(
e
,2) (C)(2,e) (D)(e,3)
2
2.(1981年全国高中数学联赛试题)对方程x|x|+px+q= 0进行讨论,下面的结论中,哪一个是错误的( )
(A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根 (C)仅当p-4q≥0时才有实根 (D)当p<0和q>0时有三个实根
17.参数范围
[例17]:
(1995年全国高中数学联赛试题)己知方程 |x-2n|=k
范围是( )
(A)k>0 ( B)01
2n1
x
在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的 实根,则k的取值
(C)
1
1
2n1
2n1
[解析]:

[类题]:
1.(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若关于x的方程
1 x
2
=kx+2恰有一个实根,则k的取值范围是 .
2.(2006年全 国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x的方程
1x
2
=log
2
(x-a)有正数解,则实数a的取值范围为 .
3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛 试题)若方程x=
xk
有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 .
4.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知关于x的方程|x-k|=
则实数k的取值范 围是 .
5.(2009年全国高中数学联赛试题)若方程lg(kx)=2l g(x+1)仅有一个实根,那么k的取值范围是 .
2
k
x
在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,
2
18.根的定义
[例1 8]:
(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若f(x)=(2x
5
+2x< br>4
-53x
3
-57x+54)
2006
,则f(
[ 解析]:


1111
)= .
2
[类题]:
1.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题) 若sinα是方程x
+
3
x-1=0的根,则sin2(α+
2
< br>4
)的值是___.
2.(2004年北京高一竞赛初赛题)己知f(x)=x
+x-1,若ab≠1,且有f(a)=f(b)=0,试确定
22-12
432
a
1ab
2
的值
3.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一 )试题)f(x)=x
-8x+16x+1,则f(2-
3
)= .




Y.P.M数学竞赛讲座
1

方程问题
方程问题是初等数学的基础问题,是数学竞赛命题的着力点之一.方程问题包括:解方程(组)与根的问题.
一、解方程(组)
数学解题的中心是从已知探索未知,解方程(组)是研究处理这一中 心问题的有力手段.解方程(组)的基本思想是同解变
形与消元降次.
1.指对方程
[例1]:
(2002年美国数学邀请赛试题)若方程组


log
225
xlog
64
y4
的两组解为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),则log
3 0
(x
1
y
1
x
2
y
2
)= .


log
x
225log
y
641

[解析]:
设a=log
225
x,b=log
64y,则


1

1
1


ab

ab4

a35

a35



x
1
=
225
3
,
< br>

b15


b15
5
,y1
=
64
15
,x
2
=
225
3 5
,y
1
=
64
15


log
30
(x
1
y
1
x
2
y
2
)= 12.
[类题]:
1.①(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)方程9
+|1-3|=5的实数解为 .
xx
解:x<0无解;当x≥0时,原方程变形为3
+3－6=0,解得3=2, x=log
3
2.
2xxx
②(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知
③(2006年全国高中数学联赛福建初赛试 题)方程
3
x
1
3
x
1
=
1
33
1x
,则实数x＝ .
8
x
2 7
x
1218
xx
=
7
解的个数是( )
6
(A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多
xxx3x3x2x2
解:令2
=a,3=b

8=a,27=b,12=ab,18=ab
< br>a
3
b
3
a
2
bab
2
=a
2
abb
2
77

=

(2a -3b)(3a-2b)=0

x=-1,1.
ab
66
x
2
6x7)
log
(
6
2.①(2009年第二十届“希望杯 ”全国数学邀请赛(高一)试题)方程
13
-x
=
2
log
13
6
x
的解x＝ .

-1x
②(200 7年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=lg(10
+1),方程f(-2)=f(2) 的解为 .
③(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若关于x的方 程
xlg
2
a1
=x只有一个实数解,则a的值等于 .

xlga
xyzw
3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题) 对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w,若①a
=b=c=30②
1.试求a+b+c的值.
w
1
1
1
++=
x
y
z
解:由a
=b=c=30

xyzw
1
a< br>w
1
=
30
x
1
,
b
w
=
30
1
y
1
,
c
w
1
=
30
z

1
(abc)
w
=
30
111< br>
xyz

abc=30

a=2,b=3,c=5

a+b+c=10.
2.换元法
[例2]:
(2005年美国 数学邀请赛试题)已知方程2
333x-2
+2
111x+2
=2
2 22x+1
+1的所有根之和为
m
((m,n)=1),则m+n= .
n
[解析]:
设2
111x
=t(t>0),则
1t
3
+4t=2t
2
+1

t
3
-8 t
2
+16t-4=0

x
1
+x
2
+x
3
=
4
112
(log
2
t
1
+ log
2
t
2
+log
2
t
3
)=log
2
(t
1
t
2
t
3
)=
111111111
[类题]:
1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题 )已知a,b是方程log
3x
3+log
27
(3x)=-
解:令 log
3x
3=t

log
27
(3x)=
4的两个根,则a+b= .
3
11411
111110

t+

a+b=+=-=(-1)+(-)

t=-1,-

x=,=.
3t3t39
81
9
818133
ab< br>4
13
②(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知log
ab+3log
b
a=,当a>b>1时,
22
的值是 .
2
ab
解:令log
a
b=t∈(0,1)

log
b
a=
ab
4
11
13
111
2

t+3=

=6+t=log
a
b=a=b=1 .
tt222
2
a
2
b
2
2
2.①( 2006年上海杯高二试题)方程
x
sinx
=2在区间[0,20]内有多少个实根 ？
②(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2
sinx=cosx在[0,2π]上的根的个数是 .

81
3 .①(2010年美国数学邀请赛试题)已知正实数x,y,z满足xyz=10
,且lgxlg(yz )+lgylgz=468,则
lg
2
xlg
2
ylg
2
z
= .
解:设lgx=a,lgy=b,lgz=c

a+ b+c=81,ab+bc+ca=468

a
+b+c=(a+b+c)-2(ab +bc+ca)=81-2×468=75.
222222
②(1993年第四届“希望 杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知x≥1,y≥1,且log
a
x+log
a< br>y=log
a
(ax)+log
a
(ay)(其中
2222< br>a>0,a≠1),则log
a
(xy)的取值范围是 .
解 :log
a
x+log
a
y=log
a
(ax)+log< br>a
(ay)

(log
a
x–1)+(log
ay–1)=4,log
a
x=2cosθ+1,log
a
y=2sinθ +1

log
a
(xy)=2
222222
(cosθ+ sinθ)+2∈[2-2
2
,2+2
2
].
3.主元法
[例

xyz0
xyzz0
3]:
(2008年 全国高中数学联赛试题)方程组

的有理数解(x,y,z)的个数为 .


xyyzzxy0


xy0

x0

x1
,解得

,或

;若z ≠0,则由xyz+z=0得xy=-1,由x+y+z=0得z=-x-y,代入xy+yz+
< br>xyy0

y0

y1
[解析]:
若z=0 ,则

22
zx+y=0得x+y+xy-y=0

(-
1
22
1
33
)+y+(-)y-y=0

(y-1)(y- y-1)=0,易知y-y-1=0无有理数根,故y=1

x=-1

z= 0,
yy
矛盾,故该方程组共有两组有理数解.
[类题]:
1.①(20 07年全国高中数学联赛广西初赛试题)k∈R,方程x
-2kx+k+2k-3=0的实数x的取值范 围是 .
422
解:x
-2kx+k+2k-3=0
< br>k+2(1-x)k+x-3=0

4(1-x)-4(x-3)≥0

x∈[-
2
,
2
].
422224224
②(20 06年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数x、y、z(x≠y)满足:5(x-y)+
5
( z-y)+(z-x)=0,则
= .
解:由题知,
5
是方程( x-y)t
+(z-y)t+(z-x)=0的根,而该方程恒有一根t=-1

2< br>(yz)(zx)
(xy)
2

(yz)(zx)
(xy)
2
=(
5
-1)(-
5
).
2.(2 006年上海交通大学自主招生试题)设k≥9,解方程:x
+2kx+kx+9k+27=0. 322
3222232232
解:x
+2kx+kx+9k+27=0

xk+(2x+9)k+x+27=0,△=(2x+9)-4x(x+27)=(6x-9)

k=
(2x
2
9)(6x9)

k=
2x
-x-3,或k=-
(3k)(k9)(k3)
x
2
 3x9
2

x=-k-3,或x+(k-3)x+9=0

x=- k-3,或x=.
2
x

xyza

3.(第三届 国际数学奥林匹克试题)设a、b是常数,解方程组

x
2
y
2< br>z
2
b
2
,并求出若使x、y、z是互不相同的正数,a、

xyz
2

b应满足什么条件？

xyza
a
2
b
2
a
2
b
2

222222

x+y=
解:

x
2
y
2
z
2
b
2

(a-z)=b-z+2z

2az=a-b.①若a=0

b=0

x=y=z=0;②若a≠ 0

z=,
2a2a
2

xyz

x y=(
a
2
b
2
2
a
2
b
2
a
2
b
2
22
)

x,y是方程t-t +()=0的两根

△=

2a2a2a
4.配方法

[例4]:
(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x>1,y>1,则方程 x+y+
(x,y)=_____.
3
3
+=2(
y1
x1
x2
+
y2
)的解
[解析]:
x+y+
x2
]+
331
33
2
+=2(
x2
+
y2
)

(x+-2
x2
)+(y+-2
y2)=0

[x-x+3-2(x-1)
y1
x1
y1< br>x1x1
1
11
2222
[y-y+3-2(y-1)
y 2
]=0

[(x-1)-2(x-1)
x2
+(
x 2
)]+[(y-1)-2(y-1)
y2
+
y1y1
x 1
2
(
y2
)]=0

11
1
22[(x-1)-
x2
]+[(y-1)-
y2
]=0
x=y=(3+
13
).
y1
x12
[类题]:
1.①(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程
x1
+2
y4
+3
z9
=
解:
x1
+2
y4
+3
z9
=
=0.
②(1992年北欧数学奥林匹克试题)试求大于1的实数x ,y,z满足方程:x+y+z+
z2
).
33
3
++=2(
x2
+
y2
+
x1
y1
z1
1
(x+y+z)的实数解(x,y,z)= .
2
1
222
(x+y+z)

x-2
x1< br>+y-4
y4
+z-6
z9
=0

(
x 1
-1)+(
y4
-2)+(
z9
-3)
2
2.①(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)满足方程:
x20092x2010
+
x20092x2010
=2的所有实数
为 .
解:x20092x2010
+
x20092x2010
=2

|
x2010
-1|+|
x2010
+1|=2
0≤
x2010
≤1.

②(1995年第六届“希望杯”全国数 学邀请赛(高二)试题)如果关于x的方程x+
x
则实数a的取值范围是 .
解:x+
x
1
1
1
1
2
1
1
1111
x
=a

x+
(x)
2
=a

x+
x
+=a

(
x
+)= a(
x
≥0)

a≥.
4
2
4
24
4
2442
222222
11
x
=a有且仅有一 个实根,
24
3.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数x,y,z满足x
+2y=7,y+4z=-7,z+6x=-14,则x+y+z= .
解:把三个式子相加得:(x+3)
+(y+1)+(z+2)=0即得.
222
5.不等式法
[例5]:
(2006年全国高中数学联赛试题 )方程(x
2006
+1)(1+x
2
+x
4
+…+x2004
)=2006x
2005
的实数解的个数为 .
[解析]:
由(x
2006
+1)(1+x
2
+x4
+…+x
2004
)=2006x
2005

x>0 .(x
2006
+1)(1+x
2
+x
4
+…+x
2004
)=2006x
2005

(x+
=2006
< br>x+x+x+…+x+
等号成立:x=
n
352005
1
x< br>2005
)(1+x+x+…+x)
242004
1
x
20 05
+
1
x
2003
+
1
x
2001+…+
11
11
32005
=2006

2006=( x+)+(x+
3
)+…+(x+
2005
)≥2×1003=2006.< br>xx
xx
1
x
n

x=1

原方程 的实数解个数为1.
[类题]:
1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高 二)试题)方程2cos
x
x–x
=10+10+1的实根的个数是 .
3
x-x2
②(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题 )已知a是正常数且a≠1,则方程a
+a+1=3cosy的解是 .

③(2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足方程log
2
[2cos(xy)+
2
1
2cos(xy)
2
]=-y+y+< br>2
3
.的所有实数对(x,y)= .
4
2

x=.
2
解:log
2
[2co s(xy)+
2
1
2cos(xy)
2
]≥log
2
2=1;-y+y+
2
1
311
2

cos(x)=
≤1.当且仅当y=,2cos(xy)=
2
422
2cos(xy)
3
2.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程x
–
解:当x>0时,x
–
3
3
2
3
6
x+3=0的 全部负根之和是 .
3
x3
3
=
2
,即x=
3
6
,x–
2
x
2
2
3
2
3
6
x+3=0

x+
2
3
x
2
=
3
2
3
6
.x+
3
x
2
=< br>3
xx3
++
2
≥
22
x
2
36
.当且仅当
3
6
x+3=
2
(x-
36
)(x+
2
1
2
3
6
)=0.

yx
3
(32x)

3
3.(《数学通报》数学问题1 433号)在正实数范围内,解方程组


zy(32y)
.

xz
3
(32z)


解:x=z
(3-2 z)=z[zz(3-2z)]≤z[
3
zz(32z)
3
]=z,同 理可得:y≤x,z≤y

x≤z≤y≤x

x=y=z

x=1.
3
6.单调函数法
[例6]:
(2001年第十二届“希 望杯”全国数学邀请赛试题)方程log
5
(3
x
+4
x
) =log
4
(5
x
-3
x
)的解集为 . [解析]:
令log
5
(3
x
+4
x
)=lo g
4
(5
x
-3
x
)=t

3
x
+4
x
=5
t
,5
x
-3
x
=4
t

(消去3
x
)5
x
+4
x
= 5
t
+4
t

(由函数f(x)=5
x
+4
x
单调递增)x=t

3
x
xx
+4=5
< br>(
3
x
4
x
3
x
4
x
)+ ()=1

(由函数f(x)=()+()单调递减,且f(2)=1)x=2.
5555
[类题]:
1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程3
+4+5=6的解是 .
xxxx
②(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设t=(
解之和等于 .
解:
1
x
2
x
5
x
)+()+(),则关于x的方程( t-1)(t-2)(t-3)=0的所有实数
236
2.①(2008年第十九届“希望杯” 全国数学邀请赛(高一)试题)设方程x
+x+1=0与x+
3
x
+1=0的 根分别是α,β,则α+β
3
= .
②(1998年第九届“希 望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若α,β分别是方程log
2
x+x+2=0和2+x+ 2=0的根,则
x
α+β= .
③(2011年全国高中数学联赛河南初赛 试题)设α是方程x10
=2011的解,β是方程xlgx=2011的解,则αβ= .
x
2011.
解:
3.①(1983年第17届全俄数学奥林匹克试题) 解方程组

22323232


y
2
x
3
3x
2
2x
.
232

xy3y2y

323223
解:两式相 减得y
-x=(x-3x+2x)-(y-3y+2y)

x-2x+2x=y-2y +2y,令f(t)=t-2t+2t

f

(t)=3t-4t+2>0< br>
x=y

x
-4x+2x=0

x=0,
1

32

xyy
3

1
 ②(1990年第16届全俄数学奥林匹克试题)解方程组

y
3
 z
2
z
.
3

1
32

z xx

3

2

解:令f(t)=
3< br>t
2
t
1
,则f(t)>0,且f(t)在(0,+∞)内单调递 增.x,y,z>0,若x>y,由x=f(y),y=f(z),z=f(x)

f(y)>
3
f(z)

y>z

f(z)>f(x)
z>x矛盾.x=y=z

t=
3
1
41
.
7.方程的方程组法
[例7]:
方程x
2
+
[解析 ]:
设
9x
2
(x3)
2
=16的实数解的和为 .


x
2
y
2
16
2222
(x+y)=x+y+2xy=16+6(x+y)

(x+y)-6(x+y )-16=0

x+y=8,-2



xy3(x y)
3x
=y

xy=3(x+y)

x3
< br>xy8

xy2
22



t- 8t+24=0(无解),t+2t-6=0

和为-2. ,


xy24

xy6
[类题]:
1. (2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)方程
3
(x1)(x4)
+
3
(x2)(5x)
=6的实数解的个数为 .
解:设a=
3
(x1)(x4)
,b
3
(x2)(5x)
,则a+b =6,a+b=6,因此a+b-ab=1,从而可得ab=
3322
2525
2,因此a,b是方程t-6t+=0
33
的两个实根,判别式△<0无解.
2. (2006年美国数学邀请赛试题)使得cos
3x+cos5x=8cos4xcosx(100333300
333
解:设a =cos3x,b=cos5x,则a+b=cos3x+cos5x=cos(4x-x)+cos(4x+x )=2cos4xcosx

a
+b=(a+b)

ab(a+b) =0.
000000
①a=0

cos3x=0

3x= 180k+90

x=60k+30

x=150;和=906.
3.方程
解:设
3
3x3x
2
=
2
的实数解的 个数为 .
1x
x1
3x3x
2
=
2
=y

1x
x1
22

3x
21x1x

xy
2
y
2
x3
222 2

xy-xy+y-x+x-y=0

(x-y)(xy+x+y-1)= 0

y=x,

2
=x,

22
1x 1x
x1


xyxy3

x+x+x=3,x -2x-1=0

x=1,1+
2
(增),1-
2
.个数为 2.
8.方程组的方程法
[例

x
3
xyz 2

2
m
333
8]:
(2010年美国数学邀请赛试题) 设(a,b,c)为方程组


yxyz6
的实数解,若a+b+c的最 大值为((m,n)=1),
n

z
3
xyz20
< br>
则m+n= .
[解析]:
设t=xyz,则t
3
=x
3
y
3
z
3
=(t+2)(t+6)(t +20)

7t
2
+43t+60=0

t=-4,-15
7

x+y+z=3t+28的最大值为3(-
333
15
)+28
7
=
151

m+n=158.
7
[类题]:
1.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知a、b、c、 d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.则
(a+c)(b +c)=( )
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1
解;a、b是(x+c)(x+d )=1的两个根,所以a+b=-(c+d),ab=cd-1

(a+c)(b+c)=ab +(a+b)c+c
=cd-c(c+d)+c-1=-1.
22
2.①(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)若实数x,y满足:
x
2
10
5
3
+
y
2
10
6
3
=1,
x
35
103
+
y
36
310
=1,则x+y= .

解;据条件,2
,3是关于t的方程
1010
x
t5
3
+
y
t6
3
23310103310
= 1,即t-(x+y-5-6)t+？=0的两个根,所以2+3=x+y-5-6

x+y= 2+
3+5+6.
②(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知αβ∈R,直 线
xyxy
+=1与+=1
sin

sin

s in

cos

cos

sin

c os

cos

1033
的交点在直线y=-x上,则sinα+ cosα+sinβ+cosβ= .

xyz3

3.(1973年第2届美国数学奥林匹克试题)解方程组

x
2
y2
z
2
3
.

x
5
y
5
z
5
3

解;设x,y,z是方程t
+at+bt +c=0的根

x+y+z=-a,xy+yz+zx=b

a=-3,b=
32
333222444333222
1
222232
[(x+y+ z)-(x+y+z)]=3

t=3t-3t-c


2
5554443
x+y+z=3(x+y+z)-3(x+y+z)-3c=-3c

x+y+z=3(x+y+z)-3(x+y+z)-c(x+y+z)=-9-12c

x+ y+z=3(x+y+z)-3(x
+y+z)-c(x+y+z)=-27-30c=3
< br>c=-1

t-3t+3t-1=0

(t-1)=0
t=1.
33222323
9.灵活消元法
[例9]:
(20 11年全国高中数学联赛试题)设函数f(x)=|lg(x+1)|,实数a,b(a4lg2,求a,b的值.
b1
b2
),f(10a+6b+21)=
[解析]:
由f( x)=|lg(x+1)|,则f(m)=f(n)

|lg(m+1)|=|lg(n+1) |

m=n,或(m+1)(n+1)=1.注意到:f(-
b1
b2< br>b1
b2
)=|lg(1-
)|=|lg(b+2)|=f(b+1); f(15)=|lg(15+1)|=4lg2.所以,f(a)=f(-
b1
b2
)

f(a)=f(b+1)

a=b+1(与a+1)(b+2)=1

(a+1)(b+2)=1;f(10a+6b+21)=4l g2

f(10a+6b+21)=f(15)

10a+6b+21=15 ,或(10a+6b+21+1)(15+1)=1.
①若(a+1)(b+2)=1,10a+6b +21=15

10(a+1)+6(b+2)=16

10(a+1)+< br>a
10a+6b+21+1=10(a+1 )+6(b+2)=
a=-
2
1
,b=-.
5
3
62
1
=16

a=0,-

b=-1,-,其中,a=0 ,b=-1与
a15
3
10
+6(b+2)>1

(10 a+6b+21+1)(15+1)=1不成立.所以
b2
[类题]:
1.(20 11年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)如果x和y是非零实数,使得|x|+y=3和|x|y+x
=0,那么x+y等于 .
3
解:①当x>0时,x+y=3

y=3-x

x(3-x)+x
=0

x-x+3=0无实根;② 当x<0时,y=x+3

-x(x+3)+x=0

x-x-3=0

x=
3232
113

x+y=2x+3=4-
13
. 2
2.(2010年美国数学邀请赛试题)已知x,y满足y=
解:
3
x
x
4
=(
33
3m
yx
x,x=y,设x+y=( (m,n)=1),则m+n= .
4n
11
xxxx
33
xx
3
x
3
x
32567x448
x

x+y=

m+n=529. x)(x>0)

x
4
=()x

x
4
=()

x
4
= ()

x
4
=

x==
4444481481 10.消去常数法
[例10]:
(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函 数f(x),g(x)的迭代函数定义为:f
(1)
(x)=f(x),f
(2)(x)=f(f(x)),
…,f(x)=f(f
(2)(n-1)
(x)); g(x)=g(x),g(x)=g(g(x)),…,g(x)=g(g
(1)(2)(2)(n-1 )
(x)).其中n=2,3,4,…,设f(x)=2x-3,g(x)=3x+2.


f
(9)
(x)g
(6)
(y)

(9)(6)
方程组


f(y)g(z)
,的解为 .

f
(9)
(z)g
(6)
(x)



f
(9)
(x)g
(6)
(y)

2
9
(x3)33
6
(y1)1
①

9(9)(6)6
[解析]:
f
(n)
(x)=2
n
x-3(2
n
-1)=2
n
(x-3)+3;g
(n)(x)=3
n
x+3
n
-1=3
n
(x+1)-1,< br>

f(y)g(z)


2(y3)33(z1 )1
②
.

f
(9)
(z)g
(6)
(x)

2
9
(z3)33
6
(x1)1< br>③



2
9
(xy)3
6
(yz)

9
3
6
3
6
2
3
6
3
6

①-②,②-③,③-①得:

x-y=(y-z )=()(z-x)=()(x-y)

x-y=0

y-z=0

x=y=z,代入
2(yz)3(zx)

999
22296

2(zx)3(xy)


①得:2(x-3)+ 3=3(x+1)-1

x=-
96
323323


x=y=z=-.
3131
[类题]:
1.(2011年全国高 中数学联赛江苏初赛试题)已知a
(b+c)=b(a+c)=2011,且a≠b,则abc= .
22
2
abab
222
b
解:二式相减得:a
(b+c)-b(a+c)=0

ab+(a+b)c=0

c=-,代入a (b+c)=2011

a(b-)=2011

a
ab
abab
22
=2011

abc=ab(-
ab
) =-2011.
ab
2222
2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题) 已知实数a、b、c、d,且a≠b,c≠d.若关系式:a
+ac=2,b+bc=2,c+ac=4 ,d+ad=4
同时成立,则6a+2b+3c+2d的值为 .0
解: 二式:a
+ac=2,b+bc=2相减得:(a-b)(a+b+c)=0

a+b +c=0;二式c+ac=4,d+ad=4相减得:(c-d)(c+d+a)=0

a+c +d=0
2222

b=d

b+ab=4;由a+ac=2,b +bc=2

ab+abc=2b,ab+abc=2a相减得:ab=-2

b=-6

b=-3a

6a+2b+3c+2d=6a+4b+
222222
3c=3a+b=0.
11.整体换元法

xyzw2

2
xy
2
z
2
w2
6
11]:
(2006年全国高中数学联赛试题)解方程组

.

3333
xyzw20

4444

xyzw66
[例
[解析]:
设x+z=a,xz=b,y+ w=c,yw=d,则a
2
=x
2
+z
2
+2b,a
3
=x
3
+z
3
+3ab,a
4
=x
4
+z
4
+4a
2
b-2b
2
,c
2
=y
2
+w
2
+2d,c
3
=y
3
+w
3
+3cd,c
4
=y
4
+w
4
+ 
3b2c2
a
2
c
2
4c4



22

332


203ab3 cd6c
2
12c8
4cd-2d.由x-y+z-w=2

a-c=2

a=c+2


ac6c12c8


a
4
c
4
8c
3
24c
2
32c16




[类题]:
1.( 2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)已知
解:设x+y+z=a,则
11
1
112
3
4
1
1
11
+=,+=,+=,则++的 值为 .
x
yz
2
y
zx
3
zxy
4x
y
z
1112xx4x2
3
4
3< br>2
+=

x-ax+2a=0

=1-,同理可得:=1-, =1-

++=2.
y
xax2xaazax
y
z

x
3
y
3
7
2.(2003年德国数 学奥林匹克试题)解方程组

.


xy(xy)2
解:设x+y=a,xy=b

x,y是方程t
-at+b=0的两根
< br>t=at-b

x+y=a(x+y)-2b=a-2b,x+y=a(x+y)-b( x+y)=a-3ab.所
2222233223
以



a
3
3ab7

a=1,b=-2

.

ab2


12.数形结合法
[例12 ]:
(2006年美国数学邀请赛试题)已知实数x,y,z满足x=
y
2

y
2

11111
+
z
2

,y =
z
2

+
x
2

,z=
x2

+
1616252536
1
m
,且x+y+z= (m,n∈Z
+
,
n
为最简根式),则m+n= .
36
n
[解析]:
由根式的形式联想到勾股定理,作△ABC,使AB=z,BC=x ,CA=y,则三边AB,BC,CA上的高分别为
1
,
1
,
1.设△ABC
645
的面积为S,则x=8S,y=10S,z=12S
p=
1
12
2

x+y+z=(x+y+z)=15S,由海伦 公式:S=p(p-x)(p-y)(p-z)

S=.
2
1577
[类题]
1.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已 知a,b∈R,关于x的方程x
+ax+2x+bx+1=0有一个实根.求a+b的最小值.
43222
解:x
+ax+2x+bx+1=0

xa+xb+(x+2x +1)=0(视为a,b关于的直线l,直线l上的P(a,b)满足:|OP|≥d,其中d是点O到
432342
直线l的距离)

+b=8

a=b=
2).
2
a
2
b
2
≥
|x
4
2x
2
1|
x
6
x
2
=
x
4
12x
2
|x|x
4
1
=
2|x|x
4
1
222
+≥2
2

a+b≥8(当 且仅当x=

1,a+b=

4,a
|x|
x
4< br>1

2.(2008年美国数学邀请赛试题)令a,b(a≥b)为正实数.ρ为的解(x,y)满足0≤x2
a
222222
的可能的最大值,使得方程组a+y=b+x=(a-x)+(b-y)
b
m
((m, n)=1),则m+n= .
n
解:作矩形ABCD,使AB=a,AD=b,点P,Q分别在AB,BC边上, D C
AP=x,CQ=y.则|PQ|=(a-x)+(b-y),|DP|=b+x,|DQ|=a+y, Q
△DPQ为正三角形,令∠ADP=α

∠CDQ=30-α A P B
x
b
b
2
x
2
a
2
y
2
bx3bx3
2
xyyy
20

tanα=,tan(30-α)=

=
3
=
3===1+()=1+()=
baa
1
1
tan

1
1x
b3x
a
a
2
a
2
b3x< br>33
b
tan


11
0
2222222 22
4(b
2
x
2
)
(b3x)
2

(b
3
+x)=4a

x=2a-b
3

y=2
22
bba
22
22

ρ=(-
3
.由y≥0

2-
3
≥0

≤)

m+ n=7.
aab
33
二、根的问题
在不求方程根的条件下讨论方程根的性质,是方程的另一根本问题.基本思路是等价变形和函数(图像_分析.
13.二次方程
[例13]:
(1982年全国高中数学联赛试题)己知x< br>1
,x
2
是方程x
2
-(k-2)x+(k
2
+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根,x
1
2
+x
2
2< br>的最
大值是( )
(A)19 (B)18 (C)
50
(D)不存在
9
[解析]:

[类题]:
1.①(2004年全 国高中数学联赛试题)设锐角θ使关于x的方程x
+4xcosθ+cosθ=0有重根.则θ的弧度数 为 .
2
②(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试 题)设f(x)=x
+bx+9,g(x)=x+dx+e,若f(x)=0的根是r,s,g(x)
22
=0的根是–r,–s,则f(x)+g(x)=0的根是 .

2.①(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)己知关于x的方程sin
x-(2a+1)cosx-a=0有实数解.则实数a的取值范围
22
是 .
②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)若关于x的方程4
+(a+3)2+5= 0至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数a
xx
的取值范围为 .
3.①(2007年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x
-2ax-3a,且方程| f(x)|=8有三个不同的实根,则实数
22
a= .
②(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=(x-8x+c
1
)(x-8x+c
2
)(x-8x+c
3
)(x-8x+c
4
),M={x|f(x) =0}.己知
M={x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
,x
6
,x
7
,x
8
}

N.那么max{c
1
,c
2
,c
3
,c
4
}-min{c
1
,c
2
,c
3
, c
4
}= .
2222
14.二次迭代
[例 16]:
(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为 f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,
则称x为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不 动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.
(Ⅰ)求证:A

B;
(Ⅱ)若f(x)=ax-1(a∈R,x∈R),且A=B≠φ,求实数a的取值范围.
2
[解析]:

[类题]:
(2008年全国高中数学联赛吉林初 赛试题)设f(x)=x
+ax,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R }≠

,则满足条件的所
2
有实数a的取值范围为 .
< br>(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设f(x)=x
+ax+bcosx,{x|f( x)=0,x∈R}=f(f(x))=0,,x∈R}≠φ,则满足条件
2
的所有实数a,b 的值为 .

14.根的个数
[例14]:
(1989年全国高中数学联赛试题)
[解析]:

[类题]:
(1984年全国高中数学联赛试题)方程sinx=lgx的实根个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)大于3
(2007年全国高中数学联赛海南初赛试题)方程
x-lgx=2的实数根个数为( )
2
1
3
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)方程10sin(x+




6
)=x的根的个数为 .
15.根的讨论 < br>[例15]:
(2000年全国高中数学联赛试题)给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q. 若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,
则一元二次方程bx-2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
2
[解析]:

[类题]:

(1981年全国高中数学联赛试题)对方程x|x|+px+q=0进行讨论,下面的结论中,哪一个是错误 的( )
(A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根 (C)仅当p-4q≥0时才有实根 (D)当p<0和q>0时有三个实根
(2006年全国高中数学联赛河北初赛试题)包含方程x+lnx=3的根的区间为( )
(A)(1,
e
) (B)(
e
,2) (C)(2,e) (D)(e,3)
2


17.参数范围
[例17]:< br>(1995年全国高中数学联赛试题)己知方程|x-2n|=k
范围是( )
(A)k>0 (B)01
2n1x
在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则k的取值
(C)
1
1
2n1
2n1
[解析]:

[类题]:
(2006年 全国高中数学联赛安徽初赛试题)若关于x的方程
1x
2
=kx+2恰有一个实根, 则k的取值范围是 .
(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x的方程
1x
2
=log
2
(x-a)有正数解,则实数a的取值范围为 .
(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若方程x=
xk
有两个不相等 的实根,则实数k的取值范围是 .
(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知关 于x的方程|x-k|=
实数k的取值范围是 .
(2009年全国 高中数学联赛试题)若方程lg(kx)=2lg(x+1)仅有一个实根,那么k的取值范围是 .

2
k
x
在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则
2
17.根的定义
[例17]:
(2006年全国高中数学联赛湖南 初赛试题)若f(x)=(2x
5
+2x
4
-53x
3
-5 7x+54)
2006
,则f(
[解析]:
令
[类题]:
1.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若sinα是方程x
+
3
x-1=0的根,则sin2(α+
2
1111
)= . < br>2
1111
2232006
=x,则2x+2x-55=0,故f(x)=[ (2x+2x-55)(x+x-1)-1]=1.
2

4
)的值是___.
2.(2004年北京高一竞赛初赛题) 己知f(x)=x
+x-1,若ab≠1,且有f(a)=f(b)=0,试确定
22-12< br>432
a
1ab
2
的值
3.(1994年第五届“希望杯 ”全国数学邀请赛(高一)试题)f(x)=x
-8x+16x+1,则f(2-
3
) = .

18.抽象函数
[例18]:
(199 1年全国高中数学联赛试题)设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)=f(3-x),且方程f( x)=0恰有6个
不同的实根,则这6个实根的和为 .
[解析]:

[类题]:
1.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若定义在R上的奇函数y=f (x)的图象关于直线x=1对称,且当0

时,f(x)=log
3< br>x,则方程f(x)=-+f(0)在区间(0,10)内的所有实根之和为 . 解:由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,以及f(x)为奇函数知,f(x)是周期函数,4,是它 的一个周期.f(0)=0,结合图象可
知,f(x)=-,在(O,1)、(1,2)内各有一个实根 ,且这两根之和为2;在(4,5)、(5,6)内各有一个实根,且这两根之和为10;
在(8,9) 、(9,10)内各有一个实根,且这两根之和为18.所以方程f(x)=-在区间(0,10)内有6个不同 的实根,这6个实根
之和为30.
(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)

1
x

()a(x0)
(2007年福建高一试题)已知函数 f(x)

2
,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取 值范

f(x1)(x0)

1
3
1
3
1
3
围为 .

1
x

()a(x0)
(2004年安徽初赛题)己知f(x)=

2
,且方程 f(x)=x恰有两解,则实数a的取值范围是 .


f(x1)(x0)



(2007 年辽宁沈阳高二试题)已知关于的方程x
+2px-(q-2)=0(p,q∈R)无实根,则p+q的 取值范围是
22
(2,2)
.
(2006年陕西初赛题)己知实系数一元二次方程x
+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x
1
,x
2
,且01
<1,x
2
>1, 则
2
b
a
的取值范围
是 .

(2006年河南初赛题)己知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根,而且没有正根.则实数a 的取值范围是( )
(A){a|a≥1} (B){a|a≥1,或a≤-1} (C){a|a<-1,或a>1} (D){a|0 (2004年北京高一竞赛初赛题)方程||x|-1|=a恰有3个实数根,则a等于 .
( 2007年浙江宁波高一试题)已知图象连续不断的函数
yf(x)
在区间

a,b

(ba0.1)
上有唯一零点，如果用
“二分法”求这个零点 （精确到0。0001）的近似值，那么将区间
(2008年福建初赛题)方程

a,b

等分的次数至多是 。
x
2
3x2x
2
2x311
的实数解个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
原方程为
|x1|( |x2||x3|)11
.分
x3
、
3x1
、< br>1x2
、
x2
四种情况讨论
知满足方程的实数解有2个．
(2006年上海TI杯高二试题)(1)画出函数f(x)=|3|x|-1|的图像;
(2)如果关于x的方程|3|x|-1|=2+a有4个实数根,求实数a的取值集合.
( 1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程arcsin(sinx)=
x

6
×
xx
|x|
的实根个数是 。1

(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程
a
A．0 B．1 C．2 D．3
x

log
a
x
(
a
0,
a
1)
的实数根的个数 为（ ）
x
(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在区间[2 ，3]上，方程
log
2
log
3
数是------------- ----（ ）
（A）0 （B）1 （C）2
2
log
3
log
2
x
的实根个
（D）无数个
(2008年浙江初赛题)设实系数一元二次方程
x
根在区间
(1,2)
内，则
ax2b20
有两个相异实根，其中一根在区间
( 0,1)
内，另一
b4
的取值范围是 。
a1
x
1
1x
2
2
，则 解： 根据题意 ，设两个相异的实根为
x
1
,x
2
，且
0
1x
1
x
2
a3
，
0x
1
x
2
2b22
。
于是有
3a1,1b2
，也即有
111
, 3b42
。
2a14
故有
1b43

13


，即取值范围为

,

。
2a 12

22



x
3
y
3< br>z
3
3xyz2011
.

x15,y15
(2011年全国高中数学联赛试题)求所有三元整数组(x,y,z),使其满足
< br>解: