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2019年小学第十五届“希望杯”全国数学邀请赛
六年级（特1） 第2试试题
一、填空题（每题5分，共60分）
1、2019＝
AAA
＋
AA A
＋
AA
＋
AA
＋A＋A＋A＋A＋A＋A＋A＋B，字母“A，B ”均代表一个非零
数字，则B＝ 。
2、将一个两位数
ab
的个位数字和十位数字交换，得到两位数
ba
，若
ba
—
ab
＝63，则满足条
件的两位数
ab
有 个。
3、如图1，一只青蛙从五边形ABCDE的顶点A出发顺时针跳跃，每步从五边形的一个顶点跳
到另一个顶点，A B C D E，若这只青蛙第一次跳1步，第二次跳2步，……，第n
次跳n步，则它在跳完10次时，到达顶点 。
4、按顺时针方向不断取图中的12个数，可组成不超过1000的循环小数x，如
23. 067823
，

678.230678
等，若将x的所有数字从左至右依 次相加，在加完某个循环节的所有数字之后，
得到2019，则x＝ 。
51
22
5、若A：B＝
1
：
4
，C：A＝
2
：
3
，则A：B：C用最简整数比表示是 。 65
33

6、电视机厂接到生产一批电视机的订单，订单价每台2019元， 预计可以获利30万元，实际
1
上，由于生产成本提高了，所以利润减少了25%，则此次订单 需要电视机 台。
6
7、已知某些两位数，若把它分解成两个自 然数的乘积可以有5种方法（a×b与b×a算一种
方法），则这样的两位数有 个。
8、A、B两个健步行走着，沿围绕旗杆的同心圆跑道行走，旗杆刚好位于两圆的圆心，沿外跑< br>道走的人五分钟走完一圈，沿内跑道走的人三分钟走完一圈，如图3，O，A，B在同一条半径
上 ，A，B反向而行，则他们下一次与旗杆又在同一半径上时，所需要的时间是 分
钟。
9、如图4，六边形ABCDEF的周长是16厘米，六个角都是120°，若AB＝ BC＝CD＝3厘米，则
EF＝ 厘米。
10、如图5所示的容 器中放入底面相等且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图5和图6
的变化知，圆柱形铁块的体积是 立方分米。
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图7

11、已知十个互不相等的非零自然数的和是2019，则它们的最大公因数的值最大
是 。
12、如图7所示，一个5×5×5的立方体，每个小正方体的棱长都是1厘米，在一个方向上开< br>有1×2×5的孔，在另一个方向上开有1×3×5的孔，在第三个方向上开有2×2×5的孔，那
么剩余部分的体积是 立方厘米。
二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程。
13、用1，2，3，4， 5，6，7，8，9九个数字组成三个三位数（每个数字只能用1次），使最
大的数能被3整除，次大的 数被3除余2，且尽可能的大；最小的数被3除余1，且尽可能的
小，求这三个三位数。
14 、某日是台风天气，雨一直均匀地下着，在雨地里放一个如图8所示的长方体容器，此容器
装满雨水需要 1小时，请问：雨水要下满图9所示的三个不同的容器，各需要多长时间？
15、对大于0的自然数n规定一种运算“G”：
①当n是奇数时，G
（n）
＝3n＋1；
②当n是偶数时，G
（n）
等于n连续被2除，直到商是奇数；
将k次“G ”运算计作G，如G（5）＝3×5＋1＝16，G（5）＝16÷2÷2÷2÷2＝1，G（5）
＝3 ×1＋1＝4，G（5）＝4÷2÷2＝1
（1）G（2019）的值
（2）G（19）的值
（3）G
2019
5
1
4
k123
（19）的值；
16、根据图10的信息计算：鸡大婶和鸡大叔买的花束中，玫瑰、康乃馨、百合各多少枝？
2019年小学第十五届“希望杯”全国数学邀请赛
六年级（特1） 第2试答案解析
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一、填空题（每题5分，共60分）
1、答案：9
解析：【考察目标】位置原理。
根据位置原理：
AAA
＋
AAA< br>＋
AA
＋
AA
＋＋A＋A＋A＋A＋A＋A＋B＝251A＋B＝20 19
要保证B是一个一位数，则A要尽可能取的值比较大，251×9＝2259＞2019，
B＝2019—251×8＝9
2、答案：2个
解析：【考察目标】位置原理。
由“
ba
—
ab
＝63”可得：（10b＋a）—（10a＋b）＝ 63，化简后b—a＝7
①b＝9，a＝2；②b＝8，a＝1，所以满足条件的两位数
ab
有2个。
3、答案：A
解析：【考察目标】周期问题。
因为五边形有五条边，每跳完5步就 会回到出发点A，当这只青蛙跳完10次时一共跳了1＋2
＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55 （步），55÷5＝11（个），所以还是回到出发点A。
4、答案：
78.230678

解析：【考察目标】周期问题。
通过观察可以发现，不管起始数字是几，循环小数的循环节都是6，7，8，2，3，0这6个数
字。2 019÷（6＋7＋8＋2＋3＋0）＝77（组）……15，而15＝7＋8，
所以这个循环小数x是：
78.230678

5、答案：10：29：6
解析：【考察目标】化连比。
51
22
A：B＝
1
：4
＝10：29；C：A＝
2
：
3
＝3：5＝6：10，所以A ：B：C＝10：29：6
65
33


6、答案：375台
解析：【考察目标】经济问题。
1
原来的总成本是：300000×25%÷＝450000（元）
6
原计 划的售价是：450000＋300000＝7500000（元），因为原计划订单价是每台2019元，
所以此次订单需要电视机的台数是：7500000÷2019＝375（台）
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7、答案：3
解析：【考察目标】因数的个数。
要保证把一个自然 数分解成两个自然数的乘积有5种方法，则这个自然数的因数的个数可能是
9个也可能是10个。 （1）如果一个自然数的因数的个数有9个，因为9＝3×3，所以这个自然数分解质因数的结
果是 a×b，2×3＝36，2×5＝100，而100是一个三位数，不符合题意，所以只有36；
（2 ）如果一个自然数的因数的个数有10个，因为10＝2×5，则这个自然数分解质因数的结
果是a×b ，这时有2×3＝48，2×5＝80，所以满足条件的两位数有36，48，80这3个数。
8、答案：
15
分钟
8
144141
222222
解析：【考察目标】行程问题中的相遇问题。
相遇时间＝总路程÷速度和
因为两人是反向而行，等再次与与旗杆又在同一半径上时，两人所 走的路程和正好是一圈的长
11
15
度。1÷（＋）＝（分钟）
53
8
9、答案：5厘米
解析：【考察目标】几何问题。
如下图 ，分别延长并反向延长AF，BC，DE，因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以∠G
＝ ∠N＝∠H＝60°，所以△HCD，△AGB，△NEF，△GHN都是等边三角形。
因为AB＝B C＝CD＝3厘米，所以GB＝BC＝HC＝3厘米，则△GHN的边长是3＋3＋3＝9（厘米）
六 边形ABCDEF的周长就变成了如图所示的红线部分，则DE的长是：16—9—3—3＝1（厘米）
因为HD＋DE＋EF＝9，所以EF＝9—3—1＝5（厘米
10、答案：9.42
解析：【考察目标】等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系。
由图6可知，15.7立方分米是一个圆柱和两个圆锥的体积之和
等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系是：圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
15.7÷（1＋1＋3）×3＝9.42（立方分米）
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图7

11、答案：36
解析：【考察目标】短除法求最大公因数。
设这十个互不相等的非零自然数的最大公因数的最大值是M，则
M（a
1
＋ a
2
＋a
3
＋……＋a
10
）＝2019＝2×2×2×2 ×2×3×3×7
因为a
1
＋a
2
＋a
3
＋…… ＋a
10
最小值是：1＋2＋3＋……＋9＋10＝55
所以M（a
1＋a
2
＋a
3
＋……＋a
10
）＝2019＝2×2× 2×2×2×3×3×7＝36×56，所以
这十个互不相等的非零自然数的最大公因数的最大值是36。
12、答案：90立方厘米
解析：【考察目标】立体图形的体积。
在一个方向上开有1×2×5的孔，去掉1×2×5＝ 10（个）；在另一个方向上开有1×3×5的
孔，去掉1×3×5＝15（个），这两次交叉的有2× 3＝6（个）；第三个方向上开有2×2×5的
孔，去掉2×2×5＝20（个），和第一次交叉1个， 和第二次交叉3个，所以剩余部分的体积
是5×5×5—1×2×5—1×3×5—2×2×5＋6＋4 ＝90（立方厘米）
二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程。
13、答案：这三个数从大到小依次是：963（或936）、875、124
解析：【考察目标】数的整除及最值问题。
首先可以确定满足条件的最小的三位数是：124 ；最大的三位数的最高位是9，次大的三位数
的最高位是8，还要保证最大数是3的倍数，次大的数是3 的倍数加2，所以最大数963，
次大数是875。
答：这三个数从大到小依次是963（或936）、875、124。
14、答案：①3小时；②1.5小时；③2小时
解析：【考察目标】立体图形的体积。
雨水要下满容器所需要的时间不仅和容器的体积有关，而且还和容器接收雨水的速度有关，一
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般容器的口越大，接收雨水的速度越快。
在图8中的容器中，接收水 的面积是：30×10＝300（平方厘米），体积是：30×10×10＝3000
（立方厘米），所 以在1小时内每平方米接收雨水的速度是：3000÷300÷1＝10（立方厘米）
容器①接收水的 面积是：10×10＝100（平方厘米），体积是：10×10×30＝3000（立方厘米）
所以容器①接满水的时间是：3000÷（100×10）＝3（小时），同理：
容器②接满 水的时间是：（10×20×20＋10×10×10）÷（10×20×10）＝1.5（小时）
容器③接满水的时间是：（3.14×1×20）÷（3.14×1×10）＝2（小时）
答：雨水下满三个容器所需要的时间分别是3小时、1.5小时、2小时。
15、答案：（1）63；（2）34；（3）4
解析：【考察目标】定义新运算。
（1）G（2019）＝2019÷2÷2÷2÷2÷2＝63；
（2）G（19）＝3×1 9＋1＝58，G（19）＝58÷2＝29，G（19）＝29×3＋1＝88，
G（19）＝88÷2÷2÷2＝11，G（19）＝3×11＋1＝34；
（3）G（19 ）＝34÷2＝17，G（19）＝3×17＋1＝52，G（19）＝52÷2÷2＝13，
G（1 9）＝3×13＋1＝40，G（19）＝40÷2÷2÷2＝5，G（19）＝3×5＋1＝16，
G（19）＝16÷2÷2÷2÷2＝1，G（19）＝3×1＋1＝4，G（19）＝4÷2÷2＝1，
G（19）＝3×1＋1＝4，……，从第12个数开始循环，循环节是1、4两个数。
（2 019—11）÷2＝1003，所以G
2019
15
121314
9101 1
678
45
123
1
22
（19）＝4
16、答案：玫瑰：10枝；康乃馨：15枝；百合：3枝。
解析：【考察目标】比的应用。
因为玫瑰：康乃馨＝2：3＝10，15，玫瑰：百合＝10：3，
所以玫瑰：康乃馨：百合 ＝10：15：3，又知道它们的单价分别是15元，6元和20元，则它
们的总价钱的比是：玫瑰：康 乃馨：百合＝（10×15）：（15×6）：（20×3）＝150：90：60
300÷（150 ＋90＋60）＝1，所以玫瑰＝10×1＝10（枝）；康乃馨＝1×15＝15（枝）；
百合＝1×3＝3（枝）。
答：玫瑰是10枝，康乃馨是15枝，百合是3枝。
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