经济人-纪念屈原

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第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每
题后 面的圆括号内．）
1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的 称为“阳文”，
刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分）
A。 B。 C。 D。
2．如果
xy1
，那么代数式
y1
x1< br>
y
x
的值是（ ）
A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 图1
3．将
x
的整数部分记为
x

，
x
的小数部分记为

x

，易 知
x

x



x


0

x

1

．若
x3535，那么

x

等于（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
4．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表 示工人分配的扇形
图中，生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的大小依次是（ ）
数量
5050
40
30
2020
甲
乙丙
种 类
1名工人1小时生产某种元件的数量
组装一件成品需要的元件的数量

A．
120，180，60
B．
108，144，108

C．
90，180，90
D．
72，216，72

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5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（ ）
A．20 B．28 C．36 D．40
6．In the rectangular coordinates，abscissa and ordinate of the intersection point of the
lines
yxk
and
ykx2
are integers for integer
k
，then the number of the possible
values of
k
is（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（英汉词典：abscissa横坐标，ordinate纵坐标，intersection point交点，integer整数）
7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张 小纸片，如图3所示．用这四张小纸
片一定可拼成一个（ ）
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．平行四边形
8．若不等式组


x4mx10，

x1m
的解集是
x4
， 则（ ）
图3
A．
m≤
9
2
B．
m≤5

C．
m
9
2
D．
m5

9．如图4所示，四边形
ABCD
中，
A C90
，
ABC60
，
A
4
D
AD 4，CD10
，则
BD
的长等于（ ）
10
A．
413
B．
83

BC
C．12 D．
103

图4
10． 任何一个正整数
n
都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘
数的差的绝对值最小 的一种分解
npq(p≤q)
可称为正整数
n
的最佳分解，并规定
F
(
n
)

p
q
.如：
12=1

12=2

6=3

4，则
F(12)
3< br>4
．
则以下结论
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①
F(2)
1
2
；
②
F(24)
3
8
；
③若
n
是一个完全平方数，则
F(n)1
；
④若
n
是一个完全立方数，即
na
3
（
a
是正整数），则< br>F(n)
1
a
．中，正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．将一根钢筋锯成
a
段，需要
b
分钟，按此速度将同样的钢筋锯成
c
段（
a，b ，c
都是大于1的
自然数），需要__________________分钟．（用
a，b，c
表示）
12．给机器人下一个指令

s，A


s≥0，0≤A≤180

，它将完成下列动作：
①先在原地向左旋转角度
A
；
②再朝它面对的方向沿直线行走
s
个单位长度的距离．
现以机器人站立的位 置为坐标原点，取它面对的方向为
x
轴的正方向，取它的左侧为
y
轴的正方< br>向．要想让机器人移动到点（-5，5）处，应下指令：___________________． < br>13．已知实数
x，y，z
满足
x

y

z

xyz
x1y2z33
，则
xyz
=__ _______________或
______________．
14．已知实数
x，y
满足
2x3y4
，并且
x≥0，y≤1
，则
x y
的
年支出元
l
最大值是_____________，最小值是____ _____________．
2
l
1
15．汽车燃油价税费改革从200 9年元旦起实施：取消养路费，
1440
同时汽油消费税每升提高0．8元．若某车一年的养路 费是1440
O
m
年行驶里程千米
元，百千米耗油8升，在“费改税”前后该 车的年支出与年行驶
图5
里程的关系分别如图5中的
l
1
、l
2
所示，则
l
1
与
l
2
的交点的横坐标
m
___________．（不考虑除养路
费和燃油费以外的其他费用）
16．Given
f(x)ax
3
bx
2
cxd，
if when
x
takes the value of its inverse number，the
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corresponding value of
f(x)
is also the inverse number，and
f(2)
=0，then
cd
ab

_______________．
（英汉词典：inverse number相反数）
17．8人参加象棋循环赛，规定胜1 局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名
的得分与最后4名的得分之和相同，那么第二 名得__________________分．
18．若正整数
a，b
使等式a

ab

ab1

2
=2009 成立，则
A
a
____________，
b
________ _____．
C'
19．如图6所示，长为2的三条线段
AA'
，
S
BB'，CC'
交于
O
点，并
B
1
S
2
O
B'
且
B'OAC'OBA'OC60
，则三个三 角形的面积的和
S
3
A'
C
S
1
S
2< br>S
3
_______________
3
．（填“

”、“=”或“

”）
图6
20．已知正整数
x，y
满 足
2
x
49y
2
，则
x
_________ ____，
y=________________．
三、解答题（每题都要写出推算过程．）
21．在分母小于15的最简分数中，求不等于2
5
但与
2
5
最接近的那个分数．





22．如图7哀兵必胜示，一次函数
y3x3
的图像与
x
轴、
y
y
轴分别交于点
A，B
，以线段
AB
为直角边在第一象限内作
B
Rt△ABC
，且使
AB C30
．
P
30°
C
⑴求
△ABC
的面积；
O
A
x
图7
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
3

⑵如果在第二象限内有一点
P

，
m，


2

试用含
m
的代数式表示四边形
AOPB
的面积，并求当
△APB
与
△ABC
面积相等时< br>m
的值；
⑶是否存在使
△QAB
是等腰三角形并且在坐标轴上的点< br>Q
？若存在，请写出点
Q
所有可能的坐标；
若不存在，请说明理由．




23．点
A(4，0)，B(0，3)
与 点
C
构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点
C
在反比例函数
y
k
x
的图像上，求
k
可能取的一切值．







参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B B A D C A C

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提 示
1．印章在纸上盖出的效果与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转
180
后，将与左侧的效果重合．故选D．

2．因为
xy1
，
所以
x0，x10，xy0，

则 < br>y1yxyxxyyxy
x1

x

x(x1 )

x(x1)
0
，
即该代数式的值是负数，选C．
3．因为
35
625

51
2
1
2

2

5
2
，

所以
x
51512
2

2

2
21.41
，
所以

x

2
，选A．
4．为使生产效率最高，在相同的 时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人
在单位时间内生产这三种元件的数量之 比是5：3：2，所以生产甲、乙、丙元件的工人数量之比
是
5424
5
:< br>3
:
2
，即
1:1:
3
，也即3：4：3，在扇形图 中对应的扇形的圆心角依次是108

，
144
，108

．故
选B．
5．5．设矩形的边长分别是
a，b
，对角线的长是
c
，则
a
2
b
2
c
2

已知矩形的面积是< br>ab4832
4，
a，b
都是整数，不妨设
a≤b，
则

a，b

可能是
（1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），
分别代入
a
2
b
2
c
2
，只有当
a6，b8时，
c
才是整数10，其他情况得到的
c
的值都不是整数．
所以，矩形的边长分别是6，8，周长是28，选B．
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