圣彼得堡国立大学-2019中考时间

希望杯第九届(1998年)初二年级第二试试题
一、选择题
1．若a＋b ＋c＝0，则a
3
＋a
2
c－abc＋b
2
c＋b
3
的值为【 】
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．适合关系式｜3x－4｜＋｜3x＋2｜＝6的整数x的值的个数是【 】
A．0 B．1 C．2 D．大于2的自然数
3．已知x＜0＜z，xy＞0，｜y｜＞｜z｜＞｜x｜，那么｜x＋z｜＋｜ y＋z｜－｜x－y｜
的值【 】
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号
4.代数式
863863
的值为【 】

2
;
3
;
2
;
5
.
5．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A＝∠B，那么∠C的外角的大小是【 】
A．140° B．80°或100° C．100°或140° D．80°或140°
6．如图15，ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD 于E，若DE＝2AB，则∠AED的
大小是【 】
A．60° B．65° C．70° D．75°
7.若对于

3以外的一切实数,等式
mn8x

2
均成立,则mn 的值为【 】
x3x3
x9
A．8 B．－8. C．16 D．－16

【 】
A．15 B．18. C．24 D．27

xyz0
9.在方程组

3
中,x,y,z是互不 相等的整数,那么此方程组的解的组
33

xyz36
数为【 】
A．6 B．3 C．多于6 D．少于3
10．如图16，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CA B交CD于E，交CB于F，
且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是【 】
A．CF＞GB B．CF＝GB C．CF＜GB D．无法确定的

二、填空题
2
分解成因式的乘积，11．把代数式（x＋y－2xy）（x＋y－2 ）＋（xy－1）应当是________.
12．设实数x满足方程｜x
2
－1｜ －x｜x＋1｜＝0，则x的值为________.
13设x＝
335
,那么代 数式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值是__________.
2
14.
19981999200020011
的值是__________.
4< br>15．如图17，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，点D、E在AB上，AC＝AD，BE＝BC，则 ∠DCE

的大小是________.

16．如图18，△ABC 中，∠ABC＝45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延
长线于F，则∠CA F的大小是_____.

17．如图19，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝A C，BD平分∠ABC交AC于D，作CE⊥BD交
BD的延长线于E，过A作AH⊥BC交BD于M， 交BC于H，则BM与CE的大小关系是________.

18．如图20，四边形AB CD中有两点E、F，使A、B、C、D、E、F中任意三点都不在同一
条直线上，连接它们的顶点，得 若干线段，把四边形分成若干个互不重叠的三角形，
则所有这些三角形的内角和为______；同样， 若四边形ABCD中有n个点，其中任意三点
都不在同一条直线上，以A、B、C、D和这n个点为顶点 作成若干个互不重叠的三角形，
则所有这些三角形的内角和为_________.

19．如图21，直线段AB的长为l，C为AB上的一个动点，分别以AC 和BC为斜边在AB的同
侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCD′，那么DD′的长的最小值为_ _______.
20．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶，乙的速度是甲的速 度的3倍，
此时公共汽车由始发站A开出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在始发站
公共汽车发 车的间隔时间x＝______.
三、解答题
21.已知n,k均为自然数,且满足不等式
7n6

.若对于某一给定的自然数n,
13nk11
只有唯一 的一个自然k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数.

22．甲、乙、丙三人分糖块，分法如下： 先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使
p＜q＜r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的 数减去p，就是他这一轮分得的
糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖 ，丙得到9块糖，
又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是
18，问：p、q、r分别是哪三个正整数为什么

答案·提示
一、选择题
题号 答案
1 B 2 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 D 8 D 9 A 10 B
提示：
1．a
3
＋a
2
c－abc＋b
2
c＋b
3

＝（a
3
＋b
3
）＋（a
2
＋b
2
）c－abc
＝（a＋b）（a－ab＋b）＋（a＋b）c－abc
＝（a＋b）（a
2
＋b
2
）－ab（a＋b）＋（a
2
＋b
2
）c－abc
∵a＋b＋c＝0
∴a＋b＝－c
∴原式＝－c（a
2
＋b2
）＋abc＋（a＋b）c－abc＝0∴选B.
2．解（1）当3x－4≥0时，即3x≥4时，原式为3x－4＋3x＋2＝6.

当－2≤3x＜4时.
原式为4－3x＋3x＋2＝6，即6＝6
2222

（2）由已知｜3x－4｜＋｜3x＋2｜＝6＝｜（3x－4）－（3x＋2）｜
∴（3x－4）－（3x＋2）≤0.
∴－2≤3x≤4.

∴x
1
＝0，x
2
＝1，∴选C.
3．由已知条件，可在数轴上标出x、y、z三数，如图22.
∴x＋z＞0，y＋z＜0，x－y＞0.
∴原式＝x＋z－y－z－x＋y＝0.∴选C.

5．△ABC中，若∠A＝40°，则∠B＝40°，∠C＝100°，∠C的外角为80°.
若∠C＝40°，则∠C的外角为140°.∴选D.
6．如图23，取DE的中点G，连接AG.在Rt△AED中，AG为斜边上的中线

∴∠AGB＝∠ABG.
又 ∵AG＝GD
∴∠AGB＝2∠ADG
∵AD∥BC

∴∠ADG＝∠DBC
∴∠ABG＝∠AGB＝2∠ADG＝2∠DBC
又 ∵∠ABC＝75°
∴∠ABG＝50°，∠DBC＝25°
∴∠AED＝∠BEF＝90°－∠EBF＝90°－25°＝65°.∴选B.

8．∵1998＝2×999

9．∵x
3
＋y< br>3
＋z
3
－3xyz
＝（x＋y＋z）（x＋y＋z－xy－yz－zx）
＝0.
∴x＋y＋z＝3xyz
∴3xyz＝－36即xyz＝－12
∴x，y，z中一定是两正一负，且x＋y＋z＝0
∴x，y，z中负数的绝对值一定等于两个正数的绝对值的和.
又 ∵12＝1×1×12＝1×2×6＝1×3×4＝2×2×3
这四种组合中只有12＝1×2×4符合条件
333
222

共有6个解，选A.
10．如图24，自F作FH⊥AB交AB于H.
∵AF平分∠CAB
∴FC＝FH
又 ∵△ABC中，∠ACB＝90°CD⊥AB
∴∠ACD＝∠B
∴∠1＝∠CAE＋∠ACD,∠2＝∠FAB＋∠B

∴∠1＝∠2，FC＝CE
∴CE＝FH
又 ∵EG∥AB
∴∠CGE＝∠B
在Rt△CEG和Rt△FHB中，
∵CE＝FH，∠CGE＝∠B
∴Rt△CEG≌Rt△FHB
∴CG＝FB.∴CF＝GB，选B.
二、填空题
题号 答案
11 （x－1）
2
·（y－1）
2
12 13 48
14 15 45° 16 45° 17 BM＞CE 18 1080°，（
19 20 8分钟
提示：
11．(x＋y－2xy)(x＋y－2)＋(xy－1)
2

＝(x＋y)
2
－2xy(x＋y)－2(x＋y)＋4xy＋x
2
y
2
－2xy＋1
＝（x＋y）
2
－2（x＋y）（xy＋1）＋（xy＋1）
2

＝（x＋y－xy－1）
2

＝（x－1）
2
·（y－1）
2
.
12．｜x
2
－1｜－x｜x＋1｜＝0.
n＋1）360°

∴｜x＋1｜（｜x－1｜－x）＝0.
当｜x＋1｜＝0时，得x＝－1.
当｜x－1｜－x＝0时，
得｜x－1｜＝x，若x≥1，得x－1＝x，矛盾，舍去.


14．设2000＝k

把k＝2000代入，得原式＝
15．△ACD中，AC＝AD.

16．∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，∠FDA＝FAD.
∵∠FDA＝∠B＋∠BAD.
∠FAD＝∠CAF＋∠DAC.
∵AD是∠BAC的平分线，∠BAD＝∠DAC
∴∠CAF＝∠B＝45°.
17．如图25延长CE交BA延长线于F.
∵∠ABE＝∠CBE. BE＝BE.
∴Rt△FBE≌Rt△CBE.

又∵∠ACF＝90°－∠F＝∠＝AC
∴Rt△ABD≌Rt△ACF，∴BD＝CF.
在△ABM中，∠BAM＝45°＞∠ABM.

∴BM＞AM.
在△AMD中，∠ADM＞45°＝∠DAM.
∴AM＞MD.
∴BM＞MD.

18．四边形ABCD中两个点E、F把图形分成6个三角形，这些三角形的内角和为6×1 80°
＝1080°.
若四边形内有n个点，则以这n个点所成n个周角再加上原来四边形的内角和360°，即
得
n·360°＋360°＝（n＋1）·360°
19．设AC＝x，BC＝l－x.
∵△ACD、△BCD′均为等腰直角三角形.

20．设公共汽车 的速度为v
1
，甲的速度为v
2
，因为两辆车间隔距离相等，汽车与甲是追< br>及问题，即两车之间距离为s＝10（v
1
－v
2
）.汽车与乙是相遇 问题，即两车之间距离为
s＝5（v
1
＋3v
2
）.
∴ 10（v
1
－v
2
）＝5（v
1
＋3v
2
）
∴v
1
＝5v
2
.

三、解答题

综上得n的最大值为84，n的最小值为13.
22．每一轮三人得到的糖块数之和为
r＋q＋p－3p＝r＋q－2p
设他们共分了n轮，则
n（r＋q－2p）=20＋10＋9＝39.
∵39＝1×39＝3×13.
且n≠1，否则拿到纸片p的人得糖数为0，与已知矛盾n≠ 39，因为每次至少分出2块糖，
不可能每轮只分1块糖.
∴n＝3或n＝13.
由于每个人所得糖块数是他拿到的纸片上数的总和减去np，由丙的情况得到
9＝18－np
∴np＝9 p≥1.
∴n≠13，只有n＝3.
∴p＝3.

把n＝3，p＝3代入①式得
r＋q＝19.
又乙得的糖块总数为10，最后一轮得到的糖块r－3块.
∴r－3≤10，r≤13. < br>若r≤12，则乙最后一轮拿到的纸片为r，所得糖数为r－p≤9.这样乙必定要在前两轮
中再 抽得一张q或r.这样乙得的总糖数一定大于等于（r＋q）－2p＝13，这与乙得到的
糖数为10块 矛盾.
∴r＞12 ∵12＜r≤13.
∴r＝13. q＝19－r＝6.
综上得 p＝3，q＝6，r＝13
甲、乙、丙三人在三轮中抽得的纸片数如下：：