赣州市人民检察院-六一儿童节活动策划

希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题
一、选择题（每题1分，共5分）
1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是
A．a%． B．(1+a)%． C.
a1
100a
( )
D.
a
100a

2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨 水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里,0
＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时
A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．
B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．
C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．
D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．
3.已知数x=100,则( )
A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．
C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．
4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则
大小关系是( )
1
abbac
,
1
,
1
( )
的

A.
1
ab

1
ba

1
c
; B.
1
ba
<
1
ab
<
1
c
; C.
1
c
<
1
ba
<
1
ab
; D.
1
c
<
1
ab
<
1
ba
. < br>5．x=9，y=－4是二元二次方程2x
2
+5xy+3y
2
=30 的一组整数解，这个方程的不同的整数解
共有( )
A．2组． B．6组．C．12组． D．16组．
二、填空题（每题1分，共5分）
1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．
2．对于任意有理数x ，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示
已知数，等式右边是 通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m
的数值是___ ___．

3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房 间的门，他知道每把钥匙只能开其中
的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有 关闭着的20个房间，他
最多要试开______次．
4．当m=______时，二元二次 六项式6x+mxy－4y－x+17y－15可以分解为两个关于x，y
的二元一次三项式的乘积．
5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数
的 平方．

三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）
1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽
油，途中不能用 别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可
以不同时返回，两车相互可 借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一
辆车应当在离出发地点多少公里的地方返 回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公
里？
2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆 ，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直
线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四 个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，
n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1
，S
2
，S
3
满足关系式S
3
=
1
3
22
S
1
=
1
3
S
2
,求S．

3.求方程
1
x

1
y

1
z

5
6
的正整数解.

答案与提示
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．C 5．D
提示：
1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是
前年比去年少
这个产值差占去年的应选D．
2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：

再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：
乙杯中含有的红墨水的数量是
乙杯中减少的蓝墨水的数量是
∵①=②∴选C．

①
②

∴x－25=(10
n+2
+5)
2

可知应当选C．

4．由所给出的数轴表示（如图3）：
可以看出



∴①＜②＜③，∴选C．
5．方程2x
2
+5xy+3y
2
=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5
∵x，y是整数，
∴2x+3y，x+y也是整数．
由下面的表


可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．
二、填空题

提示：
1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．

2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy
及x*m=x(m≠0)
得a·0+bm-c·0·m=0，
∴bm=0．
∵m≠0，∴b=0．
∴等式改为x*y=ax-cxy．
∵1*2=3，2*3=4，
解得a=5，c=1．
∴题设的等式即x*y=5x-xy．
在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．
3．∵打开所有关闭着的20个房间，
∴最多要试开

4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式
6x
2
+mxy-4y
2
-x+17y-15
中划波浪线的三项应当这样分解：
3x -5
2x +3
现在要考虑y，只须先改写作
然后根据-4y
2
，17y这两项式，即可断定是：
由于(3x+4y-5 )(2x-y+3)=6x
2
+5xy-4y
2
-x+17y-15就是原六 项式，所以m=5．
5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2
+a
2
+(a+1)
2
=3a
2
+2，
显然，这个和被3除时必得余数2．
另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成
3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方
(3b)
2
=9b
2

(3b+1)
2
=9b
2
+6b+1，
(3b+2)
2
=9b
2
+12b+4

=(9b+12b+3)+1
被3除时，余数要么是0，要么是1 ，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然
数的平方．
三、解答题
1． 设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，
将多余的(24-2 x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，
依题 意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．
甲、乙分手后，乙继续前行的路程是

这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所
以当 x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），
因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．
2．由题设可得

2


即2S-5S
3
=8„„②


∴x，y，z都＞1，

因此，当1＜x≤y≤z时，解
(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，
(3，3，6)，(3，4，4)四组．
由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．