历届(1-23)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案(最新整理WORD版)
茅山后裔吧-关爱留守儿童工作计划
“希望杯”全国数学竞赛
（第1-23届）
初一年级七年级
第一二试题
目 录
1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题
.............................................
003-005
2.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题
.............................................
010-012
3.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题
.............................................
016-020
4.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题
.............................................
022-026
5.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题
.............................................
029-032
6.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题
.............................................
034-040
7.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题
.............................................
043-050
8.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题
.............................................
050-058
9.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题
.............................................
057-066
10.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题
.......................................... 063-073
11.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题
...........................................
070-080
12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题
...........................................
077-087
13.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题
...........................................
086-098
14.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题
.............................................
91-105
15.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题
.............................................
99-113
16.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题
...........................................
106-120
17.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题
...........................................
114-129
18.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题
...........................................
123-138
19.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题
...........................................
130-147
20.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题
...........................................
148-151
21.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题
....................................... 143-161
22.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题
....................................... 150-169
23.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题
....................................... 154-174
24.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题
....................................... 158-178
25.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题
....................................... 164-184
26.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题
....................................... 168-189
27.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题
....................................... 175-196
28.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题
....................................... 179-200
29.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题
.............................................. 183
30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题
.............................................. 184
31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题
....................................... 213-218
32.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题
.............................................. 184
33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题
....................................... 228-233
34.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题
....................................... 234-238
35.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题
....................................... 242-246
26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题
....................................... 248-251
37.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题
....................................... 252-256
38.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题
....................................... 257-262
39.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题
....................................... 263-266
20.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题
....................................... 267-271
21.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题
................................... 274-276
22.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题
................................... 285-288
23.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题
................................... 288-301
希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题
一、选择题（每题
1
分，共
10
分）
1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )
A．a，b都是0．
B．a，b之一是0．C．a，b互为相反数．D．a，b互为倒数．
2．下面的说法中正确的是 (
)
A．单项式与单项式的和是单项式．B．单项式与单项式的和是多项式．
C．多项式与多项式的和是多项式．D．整式与整式的和是整式．
3．下面说法中不正确的是
( )
A. 有最小的自然数． B．没有最小的正有理数．
C．没有最大的负整数． D．没有最大的非负数．
4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么
A．a，b同号．
B．a，b异号．C．a＞0． D．b＞0．
( )
( )
5．大于－π并且不是自然数的整数有
A．2个． B．3个．C．4个． D．无数个．
6．有四种说法：
甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；
丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身．
这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )
A．0个． B．1个．C．2个．
D．3个．
7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )
A．a大于－a．B．a小于－a．C．a大于－a或a小于－a．D．a不一定大于－a．
8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )
A．乘以同一个数．B．乘以同一个整式．C．加上同一个代数式．D．都加上1．
9．杯子
中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，
那么，第三天杯中的水
量与第一天杯中的水量相比的结果是( )
A．一样多． B．多了．C．少了．
D．多少都可能．
10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么
，当
这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )
A．增多．
B．减少．C．不变． D．增多、减少都有可能．
二、填空题（每题1分，共10分）
1.
0.01253
111516
(87.5)(22
)4
______．
571615
2
．
19
891990
2
－
19891989
2
=______
．<
br>
(21)(2
2
1)(2
4
1)(2
8
1)(2
16
1)
3.=________.
32
21
4.
关于
x
的方程
1xx21
的解是
_________.
48
5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______． 6.当x=-
24
时,代数式(3x
3
－5x
2
+6x
－1)－(x
3
－2x
2
+x－2)+(－2x
3
+3x<
br>2
+1)的值是____．
125
7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式
______.
72
2
711
(ab)(ba0.16)(ab)
的值是
7
3724
8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重<
br>是______克．
9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的.如果工作4天后,工作效
率提高了,那么完
35
11
成这批零件的一半，一共需要______天．
10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．
答案与提示
一、选择题
1．C 2．D 3．C 4．D 5．C
6．B 7．D 8．D 9．C 10．A
提示：
1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此
2．x，2x，x都是单
项式．两个单项式x，x之和为x+x是多项式，排除A．两个单项
式x，2x之和为3x是单项式，排
除B．两个多项式x+x与x－x之和为2x是个单项式，排除
C，因此选D．
3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正
22232323
2233232所以C“没有最大的负整数”的说法不
正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易
知无最大非负数，D正确．所以不正
确的说法应选C．
5．在数轴上容
易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，
0共4个．选C．
6．由1=1，1=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)=－1，可知丁也是正确的说法．而
负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”
的说法不正确
．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以
选B．
7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D．
8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A．
我们考察方程x－2=
0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x
－2)=0，其根为x
=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数
式去了原方程x=2
的根．所以应排除C．事
233
实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，
这里所加常数为1，因此选D．
9．设杯中原有水量为a，依题意可得，
第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；
第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；
第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为
所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．
10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v
0
，则往返一次所用时间为
设河水速度增大后为v，(v＞v
0
)则往返一次所用时间为
由于v－v
0
＞0，a+v
0
＞a－v
0
，a+v
＞a－v
所以(a+v
0
)(a+v)＞(a－v
0
)(a－v)
∴t
0
－t＜0，即t
0
＜t．因此河水速增大所用时间
将增多，选A．
二、填空题
提示：
2．19891990－19891989
=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)
=(19891990+19891989)×1=39783979．
3．由于(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)
=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)
=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)
=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)
=(2－1)(2+1)(2+1)
=(2－1)(2+1)=2－1．
161632
8816
44816224816
24816
24816
22
2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=4
5．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000
=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)
=－2500．
6．(3x－5x+6x－1)－(x－2x+x－2)+(－2x+3x+1)=5x+2
323232
7．注意到：
当a=－0.2，b=0.04时，a－b=
(－0.2)－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．
22
8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即<
/p>
0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%
解得：x=45000（克）．
10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即
希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题
一、选择题（每题1分，共5分）
以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有
一个是正确的．请你在括号填
上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．
1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是 ( )
A．a%． B．(1+a)%． C.
a1a
D.
100a
100a
2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出
a毫升到乙杯里,
0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时 ( )
A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．
B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．
C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．
D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．
3.已知数x=100,则(
)
A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．
C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．
4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则
大小关系是(
)
111
,,
的
abbac
A.
1
; B.<<; C. <<; D. <<.
c
b
a
abcab
baabbacba
abc
22
5．x=9，
y=－4是二元二次方程2x+5xy+3y=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解
共有 (
)
B．6组．C．12组． D．16组． A．2组．
二、填空题（每题1分，共5分）
1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．
2．对于任意有理数x
，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示
已知数，等式右边是
通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m
的数值是___
___．
3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中<
br>的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他
最多要试开______次．
4．当m=______时，二元二次六项式6x
+mxy－4y－x+17y－15可以分解为两个关于x，y
的二元一次三项式的乘积．
5
．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数
的平方．
三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）
1．两辆汽车从同一
地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽
油，途中不能用别的油，每桶油可使
一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可
以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了
使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一
辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远
的那辆车一共行驶了多少公
里？
2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B
，C，D，直线m通过A，B，直
线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总
面积是5(S－1)，直线m，
n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S
1
，S
2
，S
3
满足关系式S
3
=
22
11S
1
=S
2
,求S．
33
1115
3.求方程
的正整数解.
xyz6
答案与提示
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．C 5．D
提示：
1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是
前年比去年少
这个产值差占去年的应选D．
2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：
再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：
乙杯中含有的红墨水的数量是
乙杯中减少的蓝墨水的数量是 ②
∵①=②∴选C．
∴x－25=(10
n+2
+5)
2
可知应当选C．
4．由所给出的数轴表示（如图3）：
可以看出
①
∴①＜②＜③，∴选C．
5．方程2x+5xy+3y=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5
∵x，y是整数，
∴2x+3y，x+y也是整数．
由下面的表
22
可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．
二、填空题
提示：
1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．
2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy
及x*m=x(m≠0)
得a·0+bm-c·0·m=0，
∴bm=0．
∵m≠0，∴b=0．
∴等式改为x*y=ax-cxy．
∵1*2=3，2*3=4，
解得a=5，c=1．
∴题设的等式即x*y=5x-xy．
在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．
3．∵打开所有关闭着的20个房间，
∴最多要试开
4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式
6x+mxy-4y-x+17y-15
中划波浪线的三项应当这样分解：
3x
-5
2x +3
现在要考虑y，只须先改写作
然后根据-4y
2
，17y这两项式，即可断定是：
由于(3x+4y-5
)(2x-y+3)=6x+5xy-4y-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．
5．设三
个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)+a+(a+1)=3a+2，
显然，这个和被3除时必得余数2．
另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成
3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方
(3b)
2
=9b
2
(3b+1)
2
=9b
2
+6b+1，
(3b+2)=9b+12b+4
=(9b
2
+12b+3)+1
被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然
数的平方．
三、解答题
1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶
汽油，
将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)
=48-3x桶汽油，
依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．
甲、乙分手后，乙继续前行的路程是
这个结果中的代数式30(48-4x)表明
，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所
以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=
480（公里），
因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．
2．由题设可得
22
2222
22
22
即2S-5S
3
=8……②
∴x，y，z都＞1，
因此，当1＜x≤y≤z时，解
(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，
(3，3，6)，(3，4，4)四组．
由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．
希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题
一、选择题（每题1分，共15分）
以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是
正确的，请在括号内填上正确的
那个结论的英文字母代号．
1．数1是 ( )
D．最小有理数． A．最小整数． B．最小正数．C．最小自然数．
2．若a＞b，则
( )
A.
11
; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．
ab
D．a
2
＞b
2
．
3．a为有理数，则一定成立的关系式是 ( )
A．7a＞a．
B．7+a＞a．C．7+a＞7． D．|a|≥7．
4．图中表示阴影部分面积的代数式是(
)
A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．
5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )
A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+
1
;
2468
C.(-13579)×
11
; D.(-13579)÷ 24682468
6．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是
( )
A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132． D．5.3692．
7.如果四个数的和的
1
是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是(
)
4
11
且小于-的是( )
34
A．16．
B．15． C．14． D．13．
8.下列分数中,大于-
A.-
11436
; B.-; C.-; D.-.
20131617
3
(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是(
)
4
4
x;
3
9.方程甲:
A.甲方程的两边都加上了
同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以
C. 甲方程的两边都乘以
10．如图:
43
; D. 甲方程的两边都乘以.
34
，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中O
是原点,则
111
,,
的大小关系是( )
abc
A.
1
; B.>>; C. >>; D. >>.
bcabaccab
abc
x5
的根是( )
22.23.7
11.方程
A．27． B．28． C．29． D．30．
12.当x=
4x2y
1
,y=-2时,代数式的值是(
)
xy
2
A．-6． B．-2． C．2． D．6．
13．在-4，
-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积
是(
)
A．225．
14.不等式
1
B．0.15．C．0.0001．
D．1．
xxxx
x
的解集是( )
24816
1
.
16
A．x＜16．
B．x＞16．C．x＜1．
D.x>-
15．浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是 (
)
A.
(mpnq)
pq(mpnq)
%
;D.
%
;
B.
(mpnq)%
; C.
%
.
pq
2mn
二、填空题（每题1分，共15分）
1．
计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______．
2．
计算：-3÷6×
2
1
=_______.
6
3．
计算：
(63)36
=__________.
162
4．
求值：(-1991)-|3-|-31||=______．
5．
计算:
111111
=_________.
2612
203042
6．n为正整数，1990
n
-1991的末四位数字由千位、百位、十
位、个位、依次排列组成的
四位数是8009．则n的最小值等于______．
7.
计算：
8. 计算：
191919
19
19
=_______.
9191919191
1
[(-1989)+(-1990)+(-1991
)+(-1992)+(-1993)]=________.
5
1
9.在(-2),(-3),
2
55
5
1
,
<
br>
中,最大的那个数是________.
3
5
10．不超过(-1.7)
2
的最大整数是______．
11.解方程
2x110x12x1
1,x_____.
<
br>3124
355
355
11
3
113
12.求值:=_________.
3
55
113
13．一个质数
是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．
14.一个数的相反数的负倒数是
1
,则这个数是_______.
19<
br>15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之
abcdef
和都相等,则=____.
abcdef
答案与提示
一、选择题
1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B
11．D 12．A 13．B
1 4．A 15．D
提示：
1．整数无最
小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小
自然数．选C．
有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有2＜
(-3)
2
，排除D；事实上，a＞
b必有-a＜-b．选B．
3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，
事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选
B．
4．把图形补成一个大矩形，则阴影部
分面积等于
ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-
ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．
5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。
6．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)
=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416
=6.2832．选B．
为32．第四个数数=32-(-6+11+12)=15．选B．
2
新方程x-4=4x与原方程同解．选C．
13
．-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.0
1)
×(-15)=0.15．选B．
15．设混合溶液浓度为x，则m×p%+n×q%=(m+n)x．
二、填空题
提示：
1．(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1．
4．(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019．
6．1990的末四位数字应为1991+8009的末四位数字．即为0000，即199
0末位至少要4
个0，所以n的最小值为4．
nn
(-1993)]=-1991．
2
10．(-1.7)=2.89，不超过2.89的最大整数为2．
去分母得
4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12．
8x-4-10x-1=6x+3-12．
8x-10x-6x=3-12+4+1．
13．十位数比个位数大7的两位数有70，81，9
2，个位数比十位数大7的两位数有18，29，
其中只有29是质数．
b+d+7=-1+3+7=9，所以各行各列两条对角线上三个数之和等于9．易求得a=
4，e=1，c=5，
f=0．
希望杯第二届（1991年）初中一年级第2试试题
一、 选择题（每题1分，共10分）
1．设a，b为正整数（a＞b）．p是a，b的最大公约数，q是a，b的最小公倍数．则p，q，<
br>a，b的大小关系是 ( )
D．p≥a＞b≥q． A．p≥q≥a＞b．
B．q≥a＞b≥p． C．q≥p≥a＞b．
2．一个分数的分子与分母都是正整数，且分子比分
母小1,若分子和分母都减去1,则所
得分数为小于
6
的正数,则满足上述条件的分数
共有( )
7
B．6个． C．7个． D．8个． A．5个．
3.下列四个等式:
A．3个．
a
222
=0,ab=0,a=0,a+b=0中，可以断定a必等于0的式子共有
( )
b
C．1个． D．0个． B．2个．
4．a为有理数．下列说法中正确的是( )
A．(a+1)
2
的
值是正数．B．a
2
+1的值是正数．C．-(a+1)
2
的值是负数．D．
-a
2
+1的值小
于1．
5.如果1
的值是( )
x2x1x
A．-1． B．1． C．2． D．3．
6．a，b，c均为有理数．在下列
甲：若a＞b，则ac＞bc．乙：若ac＞bc，则a＞b．两个结论中， ( )
A．甲、乙都真． B．甲真，乙不真．C．甲不真，乙真． D．甲、乙都不真．
7．有理
数a，b，c在数轴上的位置如图所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为
(
)
A．2a+3b-c． B．3b-c．C．b+c． D．c-b．
2222
8．①若a=0，b≠0，方程ax=b无解．②若a=0，b≠0，不等式ax＞b无解．③若a≠0,则方程ax=b有唯一解x=
bb
;④若a≠0,则不等式ax>b的解为x>.则(
)
aa
A．①、②、③、④都正确．B．①、③正确，②、④不正确．
C．①、③不正确，②、④正确．D．①、②、③、④都不正确．
9.若abc=1,则
abc
的值是( )
aba1bcb1cac1
A．1． B．0． C．-1． D．-2． 10．有一份选择题试卷共六道小题．其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分，
<
br>
不答得2分．某同学共得了20分，则他( )
A．至多答对一道小题．B．至少答对三道小题．
C．至少有三道小题没答．D．答错两道小题．
二、填空题（每题1分，共10分）
1．
绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于______．
m
m900
21
3
2
11
2．
单项式
xyz
与
3xy
2
z
7
17
是同类项,则m=________.
4
3．
化简:
190091
=_________.
19901991
2
1990198919901991
11
,而9年前弟弟的年龄只是哥哥的,则哥
哥现在
25
4．
现在弟弟的年龄是哥哥年龄的
的年趟龄是_____.
5．
某同
学上学时步行，放学回家乘车往返全程共用了1.5小时，若他上学、下学都乘
车．则只需0.5小时．
若他上学、下学都步行，则往返全程要用______小时．
6．
四个连续正整数的倒数之和是
19
,则这四个正整数两两乘积之和等于______．
20
7．1.2345
2
+0.7655
2
+2.469×
0.7655=______．
8.在计算一个正整数乘以
3.57
的运算时,某同
学误将
3.57
错写为3.57,结果与正确答
案相差14,则正确的乘积是____
___.
9．某班学生人数不超过50人．元旦上午全班学生的
..
21
去
参加歌咏比赛,
全班学生的
94
去玩乒乓球,而其余学生都去看电影,则看电影的学生有________人.
10．游泳者在河中逆流而上．于桥A下面将水壶遗失被水冲走．继续前游20分钟后他发
现水
壶遗失，于是立即返回追寻水壶．在桥A下游距桥A
2公里的桥B下面追到了水壶．那么
该河水流的速度是每小时______公里．
三、解答题
（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，
字迹与绘图力求清晰、工整
）
1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数，问从这100名运动员中至少要选出多少人，才能使在被选出的人中必有两人，他们运动服的号码数相差9？
请说明你
的理由．
2．少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值
的运算，其运算过程是：输入第一个整数x
1
，只显示不运算，接着再输入整数x
2
后则显示|x
1
-x
2
|
的结果，此后每输入一个整数都是
与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从
1到1991这一千九百九十一个整数随意地一
个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结
果设为p．试求出p的最大值，并说明理由．
答案与提示
一、选择题
1．B 2．A 3．A 4．B 5．B
6．C 7．C 8．B 9．A 10．D
提示：
1．两个自然数的最小公倍数一定
不小于两数中较大者．两个自然数的最大公约数一定
不大于两数中较小者．所以q≥a＞b≥p．选B．
，也有a必为0．所以a必为0的式子共有3个．
选A．
4．a=-1时(a+1)=0，A不真；a=-1时-(a+1)=0，C也不真；
a=0时-a+1=1，D不真；只有
对任意有理数a，a+1＞0成立．选B．
5．当1＜x＜2时，x＞0，x-1＞0，x-2＜0．
∴|x|=x，|x-1|=x-1，|x-2|=2-x．
2
222
=-1-(-1)+1=1．选B．
6．若c=0，甲不正确．对于乙，若ac
2<
br>＞bc
2
，可推出c≠0，∴c
2
＞0，进而推出a＞b，乙
正确．选C．
c-b>0，|b-c|=c-b．∴|a|+|b|+|a+b|+|b-
c|=-a+b+a+b+c-b=b+c．选C．
8．若a=0，b=-1，0x＞-1，可见②无解不
9．abc=1，则a，b，c均不为0．
选A． <
br>10．设选对x题，不选的有z题，选错的有y题．依题意有x+y+z=6，8x+2z=20(x≥0
，y
≥0，z≥0，且都为整数）．解之得x=2，y=2，z=2，选D．
二、填空题
提示：
1．绝对值大于13而小于15.9的所有整数是-15，-14，14，15，其乘
积为
(-14)(-15)(14)(15)=44100．
3．令n=19901990，n-1=19901989，19901991=n+1．
则
分母19901991-19901989×19901991=(n+1)-(n-1)(n+1)=2(n+
1)．
22
5．设步行速度为x，乘车速度为y，学校到家路程为s，则
6．设所求的四个连续整数分别为a，a+1，
∴a=2不合题设条件．
和为3×4+3×5+3×6+4×5+4×6+5×6=119．
7．令x=1.2345
，y=0.7655，则2xy=2.469×0.7655，1.2345+0.7655+2.469×0.7655=(x+y)=(1.2345+0.7655)=2=4
222
22
9．显然全班人数被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小
公倍36整除，但全班人数小
于50，可见全班总计36人，看电影的同学为36-8-9=19．
10．设该河水速每小时x公里．游泳者每小时
解得x=3．即该河水速每小时3公里．
三、解答题
1．若选出54个人，他们的
号码是1，2，…，8，9，19，20，…，26，27，37，38…，
44，45，55，56，
…，62，63，73，74，…，80，81，91，92…，98，99．的时候，任两个
人号码数
之差均不等于9．
可见，所选的人数必≥55才有可能．
我们证明，至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9．
被选出的55人有55
个不同号码数，由于55=6×9+1，所以其中必有7个号码数被9除余数
是相同的．但由1—100
这一百个自然数中，被9除余数相同的数最多为12个数．因此7个数中
一定有两个是“大小相邻”的，
它们的差等于9．
所以至少要选出55名小运动员，才能使其中必有两人运动服的号码数相差9．
2．由于输入的数都是非负数．当x
1
≥0，x
2
≥0时，|x
1
-x
2
|不超过x
1
，x
2
中最大的数．对
x
1
≥0，x
2
≥0，x
3≥0，则||x
1
-x
2
|-x
3
|不超过x
1
，x
2
，x
3
中最大的数．小明输入这1991个数设
次
序是x
1
，x
2
，…，x
1991
，相当于计算：||…|
|x
1
-x
2
|-x
3
|……-x
1990
|-x
1991
|=P．因此P的值≤1991．
另外从运算奇偶性分析，x
1
，x
2
为整数．
|x
1
-x
2
|与x
1
+x
2
奇偶性相同．因此P与
x
1
+x
2
+…+x
1991
的奇偶性相同．
但
x
1
+x
2
+…+x
1991
=1+2+…1991=偶数
．于是断定P≤1990．我们证明P可以取到1990．
对1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．
|||(4k+1)-(
4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，对k=0，1，2，…均成立．因此，1-1988可按<
br>上述办法依次输入最后显示结果为0．而后||1989-1990|-1991|=1990．
所以P的最大值为1990．
希望杯第三届（1992年）初中一年级第1试试题
一、选择题（每题1分，共10分）
1.有理数-
1
a
一定不是( )
A．正整数．
B．负整数．C．负分数． D．0．
2．下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 (
)
A.
1
2
1
32
1
xy与-3x
2
z;
B.3.22m
2
n
3
与nm;
C.0.2a
2
b与0.2ab
2
; D.11abc与ab.
311
1992
( ) 3．(x-1)-(1-x)+(x+1)等于
A．3x-3． B．x-1．C．3x-1． D．x-3．
4．两个10次多项式的和是
( )
A．20次多项式．B．10次多项式．C．100次多项式．D．不高于10次的多项式．
5．若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( )
A．a，-1，1，-a．B．-a，-1，1，a．C．-1，-a，a，1．D．-1，a，1，-a． <
br>6．a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123
.5)，则
A．c＞b＞a． B．c＞a＞b．C．a＞b＞c． D．b＞c＞a．
(
)
7．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( )
A．(a-b)(ab+a)． B．(a+b)(a-b)．C．(a+b)(ab+a)．
D．(ab-b)(a+b)．
8．从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到( )
A．4a-b． B．b-a．C．a-9b． D．7b．
9．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c (
)
A．互为相反数． B．互为倒数． C．互为负倒数． D．相等．
10．张梅写出了
五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是10，
那么张梅写出的五个有理数
的平均值是 ( )
A.5; B.8
11
; C.12;
D.13.
32
二、填空题（每题1分，共10分）
1．
2+
(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=
______．
(2)5(8)(12)
2．
=_________________.
(3)4(15)
199232
2
3.
[(1)(1)(1)(1)]
=_____________
____.
1
2
4.若P=a
2
+3ab+b
2
，Q=a
2
-3ab+b
2
，则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)
]中，化简后，是______．
5.1992-{1991-1992[1991-1990(19
91-1992)
1990
]}=_______________.
2
23
3a
2
b
3
6.
六个单项式15a,xy,ab,0.11m,-abc,-的数字系数之和等于
3
4
2
_____________.
7．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为2，17
，-1，-3，那么小华写出的四个
有理数的乘积等于______．
8．一种小麦磨成面粉
后，重量要减少15%，为了得到4250公斤面粉，至少需要______
公斤的小麦．
9
.满足
2x2x1
的x值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于_____
_．
23
10．在下图所示的每个小方格中都填入一个整数：
xyz
并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,则=__________.
xyz
答案与提示
一、选择题
1．D
2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D 9．A 10．D
提示：
故选D．
2．依同类项的定义，选B．
3．(x-1)-(1-x)+(x+1)
=x-1-1+x+x+1=3x-1，选C．
4．多项式x+x与-x+x之和为x+x是个次数低于10次的多项式，因此排除了A、B、C，选D．
5．由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1．于是由小到大的排列次序应是a＜-1＜
1＜-a，选A．
6．易见a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜
0，c=123.4-(-123.5)＞123.4＞a，所
以b＜a＜c，选B．
7．因
为a＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b
＜0．ab+a＜0，ab-b＜0．所以应有(a-b)(ab+a)＞0成立，选A．
=2a+5b-2a+2b=7b，选D．
9．因为a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互为相反数，选A．
10．前三个数之和=15×3，
后两个数之和=10×2．
所以五个有理数的平均数为
二、填空题
101022
提示：
1．前12个数，每四个一组，每组之和都是0．所以总和为14+15=29．
4．因为P-[Q-2P-(-P-Q)]
=P-Q+2P+(-P-Q)
=P-Q+2P-P-Q
=2P-2Q=2(P-Q)
以P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b代入，
原式=2(P-Q)=2[(a
2
+3ab+b
2
)-(a
2
-3ab+b
2
)]
=2(6ab)=12ab．
6．六个单项式的系数依次为：
2222
7．小华写四个有理数之和为
分别减去每
三数之和后可得这四个有理数依次为3，-12，6，8．所以，这四个有理数的
乘积=3×(-12)
×6×8=-1728．
8．设需要x公斤小麦，根据题意，得
解方程，得x=5000．
答：需要5000公斤小麦．
去分母，得3(2+x)≥2(2x-1)
去括号，得6+3x≥4x-2
移项，得3x-4x≥-2-6
合并同类项-x≥-8
于是x≤8．
其中绝对值不超过11的整数之和为(-9)+(-10)+(-11)=-30．
10．容易断定与x相邻的两个数分别为9与2，即
因为9+x+2=5，则x=
-6，依任意三个相邻格子中所填数之和都等于5，分别确定出每个格
子中所填之数如下：
断定y=-6，z=9．所以
希望杯第三届（1992年）初中一年级第2试试题
一、选择题（每题1分，共10分） <
br>1．若8.047
3
=521.077119823，则0.8047
3
等于 ( )
A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．
571077.119823．D．0.23．
2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是 ( )
A．正数．
B．负数．C．奇数． D．偶数．
3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是
( )
A．-b＞a＞-a＞b． B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a．
D．a＞b＞-a＞-b．
4．在1992个自然数：1，2，3，…，1991，1992的每一个
数前面任意添上“+”号或“-”
号，则其代数和一定是 ( )
D．非负整数．
A．奇数． B．偶数．C．负整数．
5．某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平
均数和原来的1991个有理数
混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了．如果这19
92个有理数的平均数恰为
1992．则原来的1991个有理数的平均数是 ( )
A．1991.5． B．1991．C．1992． D．1992.5．
6．四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是(
)
A．a+d＜b+c． B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c． D．不确定的．
x1992yp
7.已知p为偶数,q为奇数,方程组
的解是整数,
那么( )
1993x3yq
A.x是奇数，y是偶数．B．x是偶数，y是奇数．
C．x是偶数，y是偶数．D．x是奇数，y是奇数．
8．若x-y=2，x
2+y
2
=4，则x
1992
+y
1992
的值是 (
)
A．4． B．1992．C．2
21992
．
D．4
1992
．
9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
中的数，并且3x-2y=1，那么代数式
10x+y可以取到( )不同的值．
A．1个． B．2个．C．3个． D．多于3个的．
10．某中学科技楼窗户设计如图1
5所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数
码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数．这
四层组成四个三位数，它们是837，571，
206，439．则按照图15中所示的规律写出199
2应是图16中的( )
二、填空题（每题1分，共10分）
a1b1c1d1e1
1.a,b,c,d,e
,f是六个有理数,关且
,,,,,
则
b2c3d4e5f6
f<
br>=_____.
a
2．若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个
与最小的一个的平方差
等于______．
3．若x
3
+y
3=1000，且x
2
y-xy
2
=-496，则(x
3
-y
3
)+(4xy
2
-2x
2
y)-2(xy
2
-y
3
)=______．
4．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a
+b,a的形式,又可表示为0,
则a
1992
b
,b,
的形式,
a
+b
1993
=________.
5．海滩上有一堆
核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的
2
,又扔掉4个到大海中去,
5
第
二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的
个.
5
,那么这堆核桃至少剩
下____
8
6．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3．那么a的取值范围是_
_____．
7．a，b，c是三个不同的自然数，两两互质．已知它们任意两个之和都能被第三个整
除．则
a+b+c=______．
8．若a=1990，b=1991，c=1992，则
a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca=______．
9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到
17中10个格子
里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子
所填数字之和都等于p．则p的最大值是_____
_．
10．购买五种教学用具A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
的件数和用钱总数列
下表：
成
图
中
333
那么，购买每种教具各一件共需______元．
三、解答题（每题5分，共10分） 1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是
一
个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．
2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们
称
a是一个“希望数”．
(1)请你举例说明：“希望数”一定存在．
(2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．
答案与提示
一、选择题
1．A 2．B 3．A
4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D
提示：
所
以将8.047=512.077119823的小数点向前移三位得0.5，即为0.8047的
值，
选A．
2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a＜-a，
∴a
3
+a＜0，a(a
2
+1)＜0，
因为a+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B．
3．已知a＞0，b＜0，a＜|
b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的
距离，如图18所示．所以-b＞a＞-
a＞b，选A．
4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．
这个
性质对n个整数也是正确的．因此，
1，2，3…，1991，1992，的每一个数前
面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇
偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-…-1
991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选B．
5．原来1991个数的平均数为m，
则这个1991个数总和为m×1991．当m混入以后，那1992
个数之和为m×1991+m,其
平均数是1992，
∴m=1992，选C．
6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，
a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b
＞d，c＞d．
2
3
33
所以a+b＞b+c，成立，选B．
7．由方程组
以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数．
由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B．
8．由x-y=2 ①
平方得x
2
-2xy+y
2
=4 ②
又已知x+y=4
22
③
所以x，y中至少有一个为0，但x
2
+y
2
=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有
x
1992
+y
1992
=0
19
92
+(±2)
1992
=2
1992
，选C．
9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得
由于x，y取0—9的整
数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x
必为奇数，从而x必取
奇数1，3，5，7，9．
三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时
，a=10x+y可以取到三个不同的值11，
34和57，选C．
二、填空题
提示：
与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于
666-662=(666+662)(666-662)=1328×4=5312．
3．
由于x
3
+y
3
=1000，且x
2
y-xy
2<
br>=-496，因此要把(x
3
-y
3
)+(4xy
2
-2x
2
y)-2(xy
2
-y
3
)分组、凑
项表
示为含x
3
+y
3
及x
2
y-xy
2
的形
式，以便代入求值，为此有
(x
3
-y
3
)+(4xy
2
-2x
2
y)-2(xy
2
-y
3
)=x
3
+y
3
+2xy
2
-2x
2
y=(x
3
+y
3
)-2(x
2
y-xy
2
)=1000-2
(-496)=199
2．
4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，
22
下，只能是b=1．于是a=-1．
所以，a
1992
+b1993
=(-1)
1992
+(1)
1993
=1+1=2．
5．设这堆核桃共x个．依题意
我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即
目标是求m的最小正整数值．
可知，必须20|x即x=20，40，60，80，……
m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．
由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，
即9≤a＜12．
可被第三个整除，应有b|a+c．
∴b≥2，但b|2，只能是b=2．
于是c=1，a=3．因此a+b+c=3+2+1=27+8+1=36．
8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以
a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca
333333
9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格
子中，按田字格4个数之和均等于
p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y
均被加了两次，所以这3个田
字形所填数的总和为
2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y
于是得3p=65+x+y．
要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21．
所以3p=65+x+y≤65+21=86．
所以p取最大整数值应为28．
事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立．
所以p的最大值是28． <
br>10．设A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
的单价分别为x
1
，x
2
，x
3
，
x
4
，x
5
元．
则依题意列得关系式如下：
③×2-④式得
x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
=2×1992-2984=1000．
所以购买每种教具各一件共需1000元．
三、解答题
1．解①（逻辑推理解）
我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数
不
是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．
设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．
则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
由被11整除的判别法知
x-y=0，11，22，33或44．
但x+y与x-
y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33．
于是有
但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17．
987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，
所以必须调整数字，使奇位和增3，偶
位和减3才行。为此调整最后四位数码，排成987652413
即为所求．
解②（观察计算法）
987654321被11除余5．因此，9876543
16是被11整除而最接近987654321的九位数．但
987654316并不是由1，2，3，
4，5，6，7，8，9排成的，其中少数字2，多数字6．于是我们
由987654316开始，每次
减去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的
九位数为止．其过程是
987654316→987654305→987654294→987654283
→987654272→987654261→987654250→987654239
→987654228→987654217→987654206→987654195
→987654184→……→987652435→987652424
→987652413．
这其间要减去173次11，最后得出一个恰由九个数码组成的九位
数987652413，为所求，
其最大性是显见的，这个方法虽然操作173次，但算量不繁，尚属解
决本题的一种可行途径，
有一位参赛学生用到了此法，所以我们整理出来供大家参考．
2．(1)答：由于428571=3×142857，所以428571是一个“希望数”．
说明：一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，
我们称a是
一个“希望数”．这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅读理解定
义的能力，并能举例说明
被定义的对象存在．在一位数、二位数、三位数中找不到“希望数”．而
在四位数中很容易找到实例．
如：3105=3×1035，所以3105是个“希望数”；
或：7425=3×2475，所以7425是个“希望数”；
或：857142=3×285714，所以857142是个“希望数”；
以下我们再列举几个同学们举的例子供参考，如：
37124568=3×12374856
43721586=3×14573862
692307=3×230769
461538=3×153846
705213=3×235071
8579142=3×2859714
594712368=3×198237456
37421568=3×12473856
341172=3×113724．
可
见37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，59
4712368，37421568，
341172都是希望数，事实上用3105是希望数，可知31
053105也是“希望数”，只要这样排下
去，可以排出无穷多个“希望数”．因此，“希望数”有无
穷多个．
(2)由a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自然<
br>数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和．
由a=3p和a为3的倍数．
因此a被9整除．
于是a是27的倍数．
这样就证明了，“希望数”一定能被27整除．
现已知a，b都是“希望数”，所以a，b都是27的倍数．
即a=27n
1
，b=27n
2
（n
1
，n
2
为正整数）．
所以ab=(27n
1
)(27n
2
)
=(27×27)(n
1
×n
2
)
=729n
1
n
2
．
所以ab一定是729的倍数．
希望杯第四届（1993年）初中一年级第1试试题
一、选择题:（每题1分，共15分）
1．若a是有理数,则
m
12345
一定不是(
)
aaaaa
A．正整数． B．负整数．C．负分数． D．零．
2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于 ( )
A．-1995． B．1991．C．1995． D．1993．
3．若a＜b，则(a-b)|a-b|等于 ( )
A．(a-b)．
B．b-a．C．a-b． D．-(a-b)．
4.若n是正整数,并且有理数a,b满足a+n
1
2n
1
A.a+
=0; B.a+
b
b
222222
1
=0,则必有( )
b
3n2n
12n2n1
2n
1
2n+1
1
=0; C.a+
=0;
D.a+
b
b
=0.
5.如果有理数a,b满足
11
=0,则下列说法中不正确的一个是(
)
ab
A．
a与b的和是0． B．a与b的差是正数．
C．a与b的积是负数． D．a除以b，得到的商是-1．
6.甲的6张卡片上分别写
有-4,-1,-2.5,-0.01,-3
3
,-15,乙的6张卡片上分别写有
4
-5,-1,0.1,-0.001,-8,-12
1a
,则乙的卡片上的最小数a与
甲的卡片上的最大数b的 比
2b
( )
D．(a-1993)+0.001是正数．
2
的值等于( )
A．1250． B．0．C．0.1． D．800．
7．a是有理数，则在下列说法中正确的一个是
22
A．-a是负数．
B．a是正数．C．-|a|是负数．
8.-
19191919
的值等于( )
93939393
A.-3;
B.-
191
; C.-1; .D.-.
313
9．在下列条件中，能使ab＜b成立的是( )
A．b＞0，a＞0．B．b＜0，a＜0．C．b＞0，a＜0．D．b＜0，a=0．
10.若a=
系是
3.14
2.14
1.14
3.122.12
,b=,c=
(1.12)
,则a,b,c的大小关
3.13
2.13
1.13
D．c＞b＞a．
( )
( ) A．a＞b＞c． B．a＞c＞b．C．b＞c＞a．
11．有理数a、b小于零，并且使(a-b)
3
＜0，则
A.
11
; B.-a<-b; C.丨a丨>丨b丨;
D.a
2
>b
4
.
ab
B．70．C．42． D．0．
12．M表示a与b的和的平方，N表示a与b的平方的和，则当a=7，b=-5时，M-N的值为
( )
A．-28．
13.有理数
111
,
,8恰是下列三个方程的根:
25
1
1
2x110x12x1
2
1
,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),
z(z1)
(
z1)
,
2
2
3124
3
xz则
的值为 ( )
yx
A.-
; B.-; C.; D..
8055<
br>40220
14．图22是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图．图中填入的所有数的总和等
于
( )
A．126． B．127．C．128．
D．129．
15．在自然数：1，2，3，4，5，…中，前15个质数之和的负倒数等于(
)
A.-
1111
; B.-; C.-; D.-.
328329337340
二、填空题（每题1分，共15分）
1．若a＞0，在-a与a之间恰有1993个整数，则a的取值范围是______．
2．如果相邻的两个正整数的平方差等于999，则这两个正整数的积等于______．
(
1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
3.=_________
.
(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)
4．一辆公
共汽车由起点站到终点站（这两站在内）共途经8个车站。已知前6个车站共
上车100人，除终点站外
前面各站共下车80人，则从前6站上车而在终点站下车的乘客共有
______．
5．(3
2
-2
2
)
2
+(4
2
-3
2<
br>)
2
+(5
2
-4
2
)
2
+(6<
br>2
-5
2
)
2
=______．
6．在多项式19
93uv+3xy+uv-4xy（其中m，n为正整数）中，恰有两项是同类项，
则m·n=____
__．
7．若a，b，c，d为整数，(a
2
+b
2
)(c
2
+d
2
)=1993，则a
2
+b
2
+c2
+d
2
=______．
8.方程
mnmn3m2nn-1
2m-4
1
11
1
x1
1
1
11993
的根是x=____________.
2
2
22
19
9393
=______.
931919<
br>
9.(-1)÷
10．甲、乙两个火车站相距189公里
，一列快车和一列慢车分别从甲、乙两个车站同时
出发，相向而行，经过1.
5小时，两车相遇，又相距21公里，若快车比慢车每小时多行12公
里，则慢车每小时行______
公里．
b
2
11．在等式y=kx+b中，当x=0时，y=2；当x=3时,y=
3,则=______.
k
12.满足不等式
2x2x1
的
所有非负整数的乘积等于_______.
23
13.有理数a,b,c,d使
ab
cd
abcd
=-1,则
a
a
b
b
<
br>c
c
d
d
的最大值是_______.
14．△ABC是等边三角形，表示其边长的代数式均已在
x
2
y
2
图23中标出,则
22
x2y
27
1
=_________.
40
15．有
人问一位老师：他教的班有多少学生．老师说：“一半学生在学数学，四分之一
的学生在学音乐，七分之
一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则这个
“特长班”共有学生______人．
答案与提示
一、选择题
1．D 2．C 3．D
4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 9．C 10．A 11．C 12．A 13．B
1 4．B 15．A
提示：
若a=1，m=3排除A，若a=-1，m=-3排除B．
=
=1993-1992+[1993-(-1)]=1+1994=1995，选C．
3．因a＜b所以a-b＜0，此时|a-b|=b-a．
所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)，选D．
2
的是B．
7．当a=0，显然A，B
，C，均不正确，应排除，所以选D．事确上，对任意有理数a，都
有(a-1993)
2≥0，所以(a-1993)
2
+0.001＞0是正数．
9．b=1＞0，a=2＞0，ab=2×1=2＞1=b，排除A；a＜0，b＜0，ab
＞0＞b，排除B；a=0，
b＜0，ab=0＞b排除D，因此选择C．
10．容易看出a，b，c均为负数，我们看|a|，
11．由(a-b)
3
＜0，得出a-b＜0．即a＜b．
∵a，b＜0，∴|a|＜|b|，选C．
12．M=(a+b)，N=a+b．
M-N=(a+b)
2
-(a+b
2
)=a
2
+2ab+b
2
-a-b
2
=a
2
+2ab-a．
22
14．第1行只有1=2
0
，第2行1+1=2=2
1
，
第3行1+2+1=4=2
2
，第4行1+3+3+1=8=2
3
，
第5行1+4+6+4+1=16=2
4
，
第6行1+5+10+10+5+1=32=2
第7行1+6+15+20+15+6+1=64=2
6
．
图中填入所有数之和为1+2+4+8+16+32+64=127，选B．
二、填空题
5
提示：
1．在-a与a之间的整数为2n+
1个．所以由2n+1=1993知，n=996，即996≤a＜997．
2．相邻的两个正整数设
为n与n+1，则由(n+1)
2
-n
2
=2n+1=999得n=499，
n+1=500．
相邻的两个正整数的积为499×500=249500．
4
．设第1站到第7站上车的乘客依次为a
1
，a
2
，a
3
，
a
4
，a
5
，a
6
，a
7
．第2站到第8
站下车的
乘客依次为b
2
，b
3
，b
4
，b
5
，b
6
，b
7
，b
8
显然应有a
1<
br>+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
+a<
br>6
+a
7
=b
2
+b
3
+b
4+b
5
+b
6
+b
7
+b
8
． 已知a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a<
br>5
+a
6
=100，b
2
+b
3
+b
4
+b
5
+b
6
+b
7
=80．
表明从前6站上车而在终点站下车的乘客共20人．
5．原式=5+7+9+11=276．
6．若1993uv与uv为同类项．只能m=0且n=0．与已知条件不合，所以只能3xy与
-4x
n-1
y
2m-4
为同类项．于是得m=n-1，n=2m-4．解
得m=5，n=6，所以mn=30．
7．由于1993是质数，a+b，c+d是1993的约数，
只能a+b=1，c+d=1993，或a+b=1993，
c
2
+d
2=1，所以a
2
+b
2
+c
2
+d
2
=1+1993=1994．
2222222222
mn3m2nmn
2222
所有非负整数解的积=0．
14．由2x-8=x+6，解得x=14．所以正三角形边长为14+6=20．
由3y+2=20，解得y=6，所以
15．设这个班共有学生x人．在操场踢足
球的学生共a人，依条件，x，a都是自然数，且
1≤a＜6．
根据题意列方程如下：
合并同类项，移项得
因为a，x均为自然数，(3，28)=1所以3|a．
但a只能取1，2，3，4，5这五个数，所以a=3．因此x=28．
答：这个班共有28名学生．
希望杯第四届（1993年）初中一年级第2试试题
一、
1.
选择题:（每题1分，共10分）
1111
的值是 (
)
0.10.010.0010.0001
A．-11110．
B．-11101．C．-11090． D．-11909．
2．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图24中标出的
数值，可以判定墨迹盖住的整数个数是(
)
A．285． B．286．C．287．
22
D．288．
222
3．a，b都是有理数，代数式a+b，a-b，(a-b)，
(a+b)<
br>2
，a
2
b
2
+1，a
3
b+1，a
2
+b
2
+0.1，2a
2
+3b
4
+1中，其
值为正的共有( )
A．3个． B．4个．C．5个． D．6个．
4．a，b，c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是 ( )
A.
a
1
11
(ac)
; B.
(ca)
;
C.(1-a)(c-b); (1-bc).
b
bc
5．19
93
+93
19
的末位数字是 ( )
A．2． B．4． C．6． D．8．
6．今天是4月18日，是星期日，从今天算起第1993天之后的那一天是
A．星期五．
B．星期六．C．星期日． D．星期一．
7．n为正整数，302被n(n+1)除所得商数q及余
数r都是正值．则r的最大值与最小值的和
是 ( ) A．148．
B．247．C．93． D．122．
8．绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于
A．0． B．-32．C．33． D．-33．
9．x是正数，
5共3个．那么<<19>+<93>
+<4>×<1>×<8>>的值是( )
A．12． B．11．C．10． D．9． <
br>10．如图26是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形对
边上
的平行四边形．则矩形中未涂阴影部分的面积为( )
-(a+b)c．B．ab-(a-b)c．
C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)．
二、填空题（每题1分，共10分） 1．在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数．在1993.4与它的相反数之间共有b个整数,( )
3
( )
在-
1
与它的绝对值之间共有c个整数,则a+b+c=_________. 1993.4
2．设a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d
=1÷2÷(3÷4)，则(b÷a)
÷(c÷d)=______．
3．两个同样的大小的正方体形状的积木．每个正方形上相对的两个面上写的数之和都v
等于
-1，现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图27所示，则看不见的七个
面上的数的和
等于______．
7
7
7
7
7
7
7
7
7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1<
br>
2
3
4
5
<
br>6
7
8
9
4．计算:
9
9
9
<
br>9
9
9
9
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
=__________.
5.
abcde
是
一个五位自然数,其中a,b,c,d，e为阿拉伯数码，且a＜b＜c＜d，则
|a-b|+|b-c
|+|c-d|+|d-e|的最大值是______．
6．连续的1993个自然数之和恰是一个完
全平方数．则这1993个连续自然数中最大的那
个数的最小值是______．
7．某次竞
赛满分为100分，有六个学生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他
们六个人的平均分为9
1分，第六名的得分是65分．则第三名的得分至少是______分．
19931992
2
8.计算:=________.
22
199
31991199319932
9．若a，b，c，d为非负整数．且(a+b)(c+d)=19
93．则a+b+c+d=______．
10．有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇．平均每个
采得蘑菇的个数约是一个十位
数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的
菇,则丁采蘑菇___
___ 个.
三、解答题（在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）
1．
如图28，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个
小正
方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．
2．你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c
)(b+c-a)=3388成立
2222
43
,乙采的数量是丙的倍,丁比甲多采了
3个蘑
52
吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由．
答案与提示
一、选择题
1．C 2．C 3．A
4．A 5．C 6．B 7．A 8．D 9．B 10．C
提示：
=10-100-1000-10000=-11090．选C．
2．在-109.2与-1
1.9之间最小整数是-109，最大整数是-12．共计包含(-12)-(-109)+1=98
个
整数．在10.5与199.5之间包含最小整数是11，最大整数是199．共计包含199-11+1=18
9
个整数．因此墨水共盖住98+189=287个整数．选C．
3．当a=b=0时，a<
br>2
+b
2
，a
2
-b
2
，(a-b)
2
，(a+b)
2
取值为0，而当a=-1，b=1时a
3
b+1
=0．因此
对任意有理数a，b其值为正的只有a
2
b
2
+1，a<
br>2
+b
2
+0.1，2a
2
+3b
4
+1，
共3个选A．
ac(1-bc)＜0，所以选A．
5．19=19<
br>93
934×23+1
，93=93
194×4+3
193
9310
所以19与19的末位数相同是9、93与93末位数字相同是7．因此19+93末位数字是
9+7=16的末位数字6，选C．
6．1993=(284×7+5)=(284×7)+
3×(287×7)×5+3(287×7)×5+125．
所以1993
3
被7除
的余数与125被7除的余数相同，125=7×7+6．所以1993
3
被7除余数为6．从
4月18日星期日数起，每到第十天就是星期六，如4月24日是星期六，因此1993-6恰是星期<
br>六，再往后数6天，1993
3
天是星期五．而1993
3
天之后的那
一天应是星期六，选B．
7．n(n+1)为偶数．设302被n(n+1)除商q余r，则302=
n(n+1)q+r知，r为偶数．显然B、C
均应排除．由除数n(n+1)只能取6，12，20，
30，42，56，72，90，110，132，156，182，
210，240，272这些值，
计算得相应的余数中最小的正值为2，最大正值为146．所以r的正的
最小值与最大值的和是148．
选A．
8．即求-100与100之间被3除余1的整数之和，在0到100之间被3除余1的整数是
1，4，7，…
91，94，97共计33个．在-100到0之间被3除余1的整数是-98，-95
，-92，-89，…-8，-5，
-2．共33个其总和为-33．选D．
9．<19>为
不超过19的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个．<93>为不超过93
的质数
，共24个，易知<1>=0．所以<<19>+<93>+<4>×<1>×
<8>>=<<19>+
<93>>=<8+24>=<32>=11，选B．
10．解①大矩形面积为ab，两个阴影平行四
边形面积分别为ac与bc．重叠部分面积为c
2
，
所以未涂阴影部分面积为ab-
ac-bc+c
2
=(a-c)(b-c)，选C．
3
33322
1
解②将阴影部分等积变形如图29
，两个阴影平行四边形面积及二者重叠部分面积(c)均
未改变．易见，未涂阴影部分面积为空白矩形的
面积，是(a-c)(b-c)，选C．
二、填空题
2
提示：
1994个整数，a=1994。在1993.4与它的相反数-1993.4之间有2×1
993+1=3987个整数，
3987=1=5982．
3．由于正方体上相对两个面上写的数之和都等于-1．所以每个正方体六个面上写的数之和等于-3．两个正方体共十二面上写的数之总和等于-6．而五个看得见的面上的数之和是
1+
2+3+4+5=15．因此，看不见的七个面上所写数的和等于
(-6)-15=-21．
5．若a＜b＜c＜d≤e时
|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|
=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a．当e=9，a=1时取最大值为8．
若a＜b＜c＜d，且d＞e时．
|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b
-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e．当d=9，a=1，e=0时，
取最大
值17．所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17．
6．设这连续的1993个自然数为
x-996，x-995，…，x-1，x，x+1，x
+2，…，x+995，x+996．显然．x-996≥1，即x≥
997．这1993个连续自然数
之和设为σ．
则σ=1993x，要求σ为完全平方数，而1993又是质数，x的最小值为1993
．此时，1993
个连续自然数中最大的那个数x+996=1993+996=2989，即当σ为完
全平方数时，1993个连续
自然数中最大的那个数的最小值是2989．
7．设六个人的成
绩依次为x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x<
br>5
，x
6
．则65=x
6
＜x
5
＜x
4
＜x
3
＜x
2
＜x
1
≤100．
∴x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
=546-65=481．
要使x
3
最小，必须x
1<
br>，x
2
尽可能大，x
4
，x
5
尽可能接近x
3
，所以当x
1
=100，x
2
=99，x
4
=x
3
-1，
x
5
=x
3
-2时，x
3
取最小值，即100+99+x
3
+(x
3
-1)+(x
3
-2)=481．
3x
3
=481-100-99+3=285．x
3
=95．
答：第三名的得分至少是95分．
9．因为1993是质数，a
2
+b
2
与c
2
+d
2
都是正整数，所以a
2+b
2
与c
2
+d
2
分别取值1与1993（参
见第一试填空第7题解答）．为确定起见；，不妨设a+b=1，c+d=1993．
(1)a2
+b
2
=1．推知a＝0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1．
(2)c+d=1993．
若c≤31，d≤31，则c+d≤2×31=2×961=19
22＜1993．所以c，d中至少有一个大于31．又
由于44
2
=1936＜19
93，故设c为c，d中较大的一个，则32≤c≤44．
我们依次取c=44，43，42，41，…，33，32试算如下：
222
22
2222
其中1933-c
2
的结果
中，只有144=12
2
为完全平方数，即43
2
+12
2
=1993，所以c=43，d=12
或c=12，d=43．因此，c+d=55．
所以a+b+c+d=1+55=66．
一个近似为首位的是3的两位整数．因此，由近似数的表示有
23.5…≤x≤31.5…
因x是整数，x只能从24，25，26，27，28，29，30，31中选取．
因此只能有x=30，即丙采30个蘑菇．
此时，乙采45个蘑菇，甲采36个蘑菇，因此丁采39个蘑菇．
舍五入，约为38是个十位数是3的两位
数．
三、解答题
1．如图30已
有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边
长依次填在每个正方形中
，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，
4x+4y-2x，及5x-2y+z．因矩形对边相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y
-3z=6x+5y+z
化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y．消去z得18x=49y．
因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．
以
x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为59
3
和422．此时得最小面积值是593×422=250246．
2．答：找不到满足条件的三个整数理由如下：
如果存在整数a，b，c，使(a+b+c)
(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立．
因为3388是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数．
不妨设a+b+c为偶数,则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数．
同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数．b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数．
因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16
整除，而3388不能被16整除，得出矛盾．
故不存在三个整数a，b，c满足关系式
(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388．
希望杯第五届（1994年）初中一年级第1试试题
一、选择题（每题3分，共30分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的．
1．-│-a│是 ( )
A．正数 B．负数. C．非正数 D．0.
2．在下面的数轴上(图1)，表示数(2)(5)的点是( )
A．M B．N.
C．P D．Q
3.
1994
1994
的值的负倒数是( )
A.4
13
3
; B.-
13
; C.1; D.-1. <
br>4.
31
41
51
4
5
5
6
6
7
6
7
1
8
7
8
1
9
8
9
1
10
=(
)
A．5.5 B．5.65. C．6.05 D．5.85
5．-4×3
2
-(-4×3)
2
=( )
A．0 B．72. C.180 D．108
6.
x的
4
5
与
1
3
的差是( )
A.
4
5
x
1
3
x
;
B.
4
5
x
1
3
;
C.
4
5
(x
15
3
)
;
D.
4
x3
.
7．n是整数，那么被3整除并且商恰为n的那个数是(
)
A.
n
3
; B.n+3; C.3n;
D.n
3
.
8．如果x∶y=3∶2并且x+3y=27，则x，y中较小的是(
)
A．3 B．6. C．9 D．12
9.
20
0
角的余角的
1
14
等于( )
0
A.
1
3
7
; B.
11
3
0
6
0
7
; C.
7
;
D.5
0
.
7
10.
1
7
(7)
1
7
7
=( )
A．1 B．49.
C．7 D．7
二、A组填空题（每题3分，共30分）
1．绝对值比2大并且比6小的整数共有______个．
2．在一次英语考试中，某八位同
学的成绩分别是93,99,89,91,87,81,100,95，则他们
的平均分数是_____
_．
3．| | |
|1992-1993|-1994|-1995|-1996|=______．
4．数：-1.1
,-1.01,-1.001,-1.0101,-1.00101中最大的一个数与最小的一个数的比值
是______．
5.
111111
=________.
1
a
2
b
2
6．在自然数中，从小到大地数，第15个质
数是N,N的数字和是a，数字积是b,则
N
的值是__________.
7．一
年定期储蓄存款，月利率是0.945%．现在存入100元，则明年的今日可取得本金与
利息共___
___元．
8．若方程19x-a=0的根为19-a，则a=______．
9.当丨x丨=x+2时,19x
94
+3x+27的值是__________.
10．下面有一个加法竖式，其中每个□盖着一个数码，则被□盖住的七个数码之和等于
___
___．
三、B组填空题（每题4分，共40分）
1．已知a,b是互为相反数，c,d是
互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，则
x+abcdx+a-bcd的值是______．
2．1992×19941994-1994×19931993=___．
3
按上表中的要求,填在空格中的十个数的乘积是_______．
4．在数码两两不等的所有的五位数中，最大的减去最小的，所得的差是______．
5．
已知N=1992×1993×1994+1993×1994×1995+1994×1995×1996+1
995×1996×
1997，则N的末位数字是______．
6．要将含盐15%的盐水20千克，变为含盐20%的盐水，需要加入纯盐______千克．
7．一次考试共需做20个小题,做对一个得8分，做错一个减5分，
不做的得0分．某学生共得13分．那么这个学生没有做的题目有______个．
8．如图2．将面积为a
2
的小正方形与面积为b
2
的大正
方形放在一起(a＞0,b＞0)．则三角形ABC的面积是_______．
9．在1到100这一百个自然数中任取其中的n个数．要使这几个数中至少有一个合数，则
n至少是______．
10．如图3，是某个公园ABCDEF，M为AB的中点，N为CD的中点，
P为DE的中点，Q为FA的中点，其中游览区APEQ与BNDM的面积和
是900平方米，中间的湖水面积为361平方米，其余的部分是草地，
则草地的总面积是______平方米．
答案·提示
一、选择题
提示
1．若a=0,则-│-a│=0,排除(A),(B)．
若a≠0,-│-a│≠0,排除(D)．
事实上对任意a，|-a|≥0,∴-|-a|≤0．即-|-a|为非正数．
2．(-2)-(-5)=-2+5=3．在数轴上对应的是点P．
5．原式=-4×9-(-4×3)×(-4×3)=-36
(-12)×(-12)=-36-144=-180．
7．被3整除的商恰好为n的数是3n．
8．由x∶y=3∶2得x=1.5y,代入x+3
y=27得4.5y=27,于是y=6,x=9,所以x,y中较小的那个
数是6．
二、A组填空题
提示：
1．绝对值比2大而比6小的整数共有-5,-4,-3,3,4,5共6个．
3．|1992-1993|=1,||1992-1993|-1994|=1993．
|||1992-1993|-1994|-1995|=|1993-1995|=2．
∴
||||1992-1993|-1994|-1995|-1996|=|2-1996|=1994．
4．数-1.1,-1.01,-1.001,-1.0101,-1.00101中最
6．在自然数列中,质数由小到大依次排列是
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,……,第15个质数
N=47,其数字和a=11,数字
积b=28,所以
7．本金100元,一年的利息是100×0.945%×12=11.34元
一年到期取的本金与利息之和是111.34元．
8．因为19-a是方程19x-a=0的
根,所以19-a满足方程19x-a=0,即19(19-a)=0,解得
a=18.05．
9．由|x|=x+2,显然|x|≠x,只能|x|=-x．
得-x=x+2,于是x=-1．
当x=-1时,
19x+3x+27|
x=1
=19(-1)+3(-1)+27=19-3+27=43．
10．显然，加数的百
位数码都是9，千位数码也都是9，个位数码之和是14，和的千位数
码是1，所以被□盖住的数字之和
等于1+9+9+9+9+14=51．
三、B组填空题
提示：
1．a,b互为
相反数,所以a+b=0,c、d互为负倒数,所以cd=-1．x的绝对值等于它的相反数
的2倍,可
得x=0．
∴x
3
+abcdx+a-bcd=0+0+a-b(cd)=a+b=0．
2．1992×19941994-1994×19931993
=1992×1994×10001-1994×1993×10001
=1994×10001×(1992-1993)
=1994×10001=-19941994
9494
所以按表中要求填入的十个数之积是五个-1相乘，其积为-1．
4．在五个数码两两彼此不等的五位数中，最大的一个是98765，最小的一个是10234，
它们的
差是98765-10234=88531．
5．1992×1993×1994的末位数字与2×3
×4的末位数字相同,等于4．容易看出其余三个
乘式中每一个都有因子2和因子5,所以1993×1
994×1995,1994×1995×1996,1995×1996×
1997的末位数字都是0
．所以N的末位数字是4．
6．20千克盐水中含纯盐20×15%千克,设加入x千克的纯盐后盐水浓度变为20%,则
20×15%+x=(20+x)×20%解得：x=1.25（千克）．
7．设该生做对x
个题,做错y个题,没做的是z个题,则
x+y+z=20,z=20-(x+y)=13+13y=1
3(1+y)
又8x-5y=13
∴8(x+y)=8x+8y=13+13y=13(1+y)
∵(13,8)=1,∴13|(x+y)．又0＜x+y≤20
∴x+y=13,z=20-13=7．
8．延长大、小正方形的边交成一个矩形（图4），
其面积为(a+b)×b，△ABC的面积等
于这个矩形面积减去外围三个直角三角形的面积，即
9．在1100这100个自然数中，容易数出来共有25个质数，不有1既不是质数也不是
合
数，所以，在最坏的情况下，拿到这26个非合数之后，只要拿一个数，必然会出现一个合数，
因此要保证多少取出一个合数，必须至少取27个数，所以n至少是27．
10．连接AD、AE、DB（图5）．
根据一个三角形的中线平分这个三角形的面积,可知：
△EQA面积=△EQF面积
△AEP面积=△ADP面积
△DBM面积=△DAM面积
△BND面积=△BNC面积
上述四个等式相加,可知:游览区APEQ与BNDM的面积之
和恰等于△EQF、△BNC，四边形
APDM的面积之和．因此，草地和湖水的面积之和恰为900平
方米，其中湖水面积为361平方米，
所以草地面积是900361=539平方米．
希望杯第
五
届（199
4
年）初中一年级第2试试题
一、选择题:（每题4分，共40分）
1．若a＜0,b＞0,且|a|＜|b|,则a+b= [ ]
A．|b|-|a|
B．-|a|-|b| C．|a|-|b| D．|a|+|b|
2.在数
22355268
,,3.1416,
中,最小的一个数是[
]
711385
A.
22355268
; B.; C.;
D.3.1416.
711385
1
,-a,c-b,c+a中,最大的一个是[
]
a
3．a,b,c在数轴上的位置如图6．则在-
A.-a;
B.c-b; C.c+a; D.-
1
.
a
4.若
34
56719931994199519961997
,则N=[ ]
5N
B．1993. C．1995 D．1997 A．1991
5．a,b在数轴上的位置如图7．
则在a+b,b-2a,|a-b|,|b|-|a|中负数的个数是 [ ]
A．1
B．2. C．3 D．4
6．如果等式1992+1994+1996+1998=5000-□成立,则□中应当填的数是
A．5. B．-980 C．-1990 D．-2980
[
]
7．据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2
859433
-1,这个质数的
末尾数字是
[ ]
A．1 B．3. C．7 D．9
8．在-0.1428中用数字3替换其中一个非0数码后,使所得的数最大,则替换的数字是
[ ]
A．1 B．4. C．2 D．8
9．当-1＜a＜0时,则有 [
]
A.
1
33232
>a; B.丨a丨>a; C.-a>a;
D.a<-a.
a
10．有如下三个结论：
甲：a,b,c中至少有两个互为相反数，则a+b+c=0．
乙：a,b,c中至少有两个
互为相反数，则(a+b)
2
+(b+c)
2
+(c-a)
2
=0．
丙：a,b,c中至少有两个互为相反数，则(a+b)(b+c)(c+a)=0．
其中正确结论的个数是 [ ]
A．0 .B．1.
C．2. D．3
二、填空题:（每题4分，共40分）
1．图8中,以点A,B,C,D,E,O为端点的线段有______条．
2．在1,2,
3…,N这前N个自然数中,共有p个质数,q个合数,m个奇数,n个偶数,则
(p-m)+(q-n
)=______．
4.一个六位数
2abcde
的3倍等于
abcde9
,则这个六位数是_______________.
5．某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子
、一件上衣所用的时间之比为1∶2∶3．他用十个
工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣．那么他
要做成14件衬衣、10条裤子和2件上
衣，共需______工时．
6．若p,q都是质数
,以x为未知数的方程px+5q=97的根是1,则p
2
-q=______．
7
．n是自然数,我们称n的非0数字的乘积为n的“指标数”，如1的指标数是1，27的指标
数是14
，40的指标数为4，则1～99这九十九个自然数的指标数的和是______．
8．在等式y=a
x
2
+bx+c中,当x=1时,y=-2,当x=-1时,y=20,则ab+bc+9b<
br>2
=______．
9．我们用
<6.7>-<10.1>>=______．
10．电子跳蚤落在数轴上的某点k
0
,第一步从k
0
向左跳1个单位到k
1
,第二步由k
1
向右跳2
个单位到k
2
,第三步
由k向左跳3个单位到k
3
,第四步由k
3
向右跳4个单位到k
4<
br>,…,按以
上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k
100
所表示的
数恰是19.94．则电子跳
蚤的初始位置k
0
点所表示的数是______．
三、解答题:（每题10分，满分20分）
1．在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图9所示．
试求图中阴影部分的总面积(写出分步求解的简明过程)
2．(1)现
有一个19°的“模板”（图10），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅
笔在纸上画出1°的角
来．
(2)现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1°的角来？
(3)用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？
对(2)、(3)两问，如果能，请你简述画法步骤，如果不能，请你说明理由．
答案·提示
一、选择题
提示：
1．依有理数加法法则知,选(A)．
3．由图6可见,-1＜a＜0,0＜b＜c＜1．
∴-1＜c+a＜1．又c-b＜1-0=1．
5．由图7可见,a＜0,b＞0,|a|＞|b|．
∴a+b＜0,b-2a＞0,|a-b|＞0,|b|-|a|＜0．选(B)．
6．设□的数是x,则1992+1994+1996+1998=5000-x,即
7980=5000-x
∴x=5000-7980=-2980．选(D)．
7．2n
的末位数字对指数以4为周期而变化,2
1
=2,2
2
=4,
2
3
=8,2
4
末位数是6．一般地2
4k+1
末位数字为
2,2
4k+2
末位数字为4,2
4k+3
末位数字为8,2
4k+
4
末位数字是6(其中k是非负
整数)．
859433=214858×4+1,2
859433
=2
4×214858+1
∴2
859433
末位数字为2．
∴2
859433
-1末位数字为1．选(A)．
8．实际上是比较-0.
3428(3换1)、-01328(3换4)、-0.1438(3换2)、-0.1423(3换8)哪个<
br>最大，即比较0.3428、0.1328、0.1438、0.1423哪个最小．易知0.1328最
小．所以在-0.1428
中用数字3换4，所得之数最大．选(B)．
10．比如选a=5,b=-5,c=3,5,-5,3至少有两个互为相反数,但5+(-
5)+3=3≠0．知(甲)不
真．[5+(-5)]
2
+(-5+3)
2<
br>+(3-5)
2
=8≠0知(乙)不真．a,b,c三数中至少有两个互为相反数，比如至少a,b互为相反数，即a+b=0,则有(a+b)(b+c)(c+a)=0，(丙)真．所以(
甲)、(乙)、
(丙)中只有丙是真命题．选(B)．
二、填空题
提示：
1．共有13条不同的线段,AB,AC,BC,AE,EC,CD,BD,BO,OE,BE,AO,AD,
OD．
2．p+q=N-1,m+n=N．则(p-m)+(q-n)=p-m+q-n=(p+q)
-(m+n)=(N-1)-N=-1．
3．因为个位是23个3的和23×3=69的末位数是9，向十位进6．
十位是22个3之和22×3=66，再加上个位进上来的6，得72，所以十位数是2，向百位进7．
百位是21个3之和21×3=63，再加上十位进上来的7，得70，所以百位数是0，向千位进7．
千
位数是20×3=60，再加上百位进上来的7，得67，所以千位数字为7．
所得四位数是7029．
这个六位数是285713．
5．设缝纫师做一件衬衣的时间为x，则一条裤子的时间为2x，做一件上衣用时为3x．
由
于十个工时完成2件衬衣、3条裤子、4件上衣，即2x+3×(2x)+4×(3x)=10(工时)．
即20x=10(工时)，则完成2件上衣、10条裤子、14件衬衣共需：
2×(3x)+10×(2x)+14x=40x=20(工时)
6．因为1为方程px+5
q=97的根，所以p+5q=97．p与5q必有一个是奇数，另一个是偶数．
若p为奇数，5q为
偶数，只能q为偶质数2，此时p=97-5×2=87=3×29，与p为质数的条件
不符．所以只能
p为偶质数2，5q=95，q=19．
∴p
2
-q=4-19=-15．
7．1～9的指标数之和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
10～19的指标数之和为1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=46
20～29的指标数之和为2×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=2×46
30～39的指标数之和为3×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=3×46
40～49的指标数之和为4×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=4×46
50～59的指标数之和为5×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5×46
60～69的指标数之和为6×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=6×46
70～79的指标数之和为7×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=7×46
80～89的指标数之和为8×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=8×46
90～99的指标数之和为9×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=9×46
所
以1～99的指标数之和为45+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×46=45×47=2115
8．以x=1,y=-2代入y=a
2
+bx+c得a+b+c=-2 ①
以x=-1,y=20代入y=ax
2
+bx+c得a-b+c=20 ②
①-②,2b=-22，所以b=-11．因此a+c=9．于是
ab+bc+9b
2
=b(a+c)+9b
2
=(-11)×(9)+9×11
2
=9
90．
9．由定义知,<48>=15,<6.7>=3,<10.1>=4．
∴<<48>×<6.7>-<10.1>>=<15×3-4>=<41>=13．
10．设k
0
点所对应的数为x,则
(x-1)+2-3+4-5+6-，…，-99+100=19.94即x+50=19.94
∴x=-30.06．
三、解答题
1．解：设小长方形的长为x，宽为y，依图11可见，
x+3y=14 ①
x+y-2y=6,即x-y=6 ②
①-②得4y=8，y=2，代入②得x=8．
因此，大矩形ABCD的宽AD=6+2y=6+2×2=10．
矩形ABCD面积=14×10=140(平方厘米)．
阴影部分总面积=140-6×2×8=44(平方厘米)．
2．解：(1)在平面上取一点
O，过O点画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边与
OB射线重合，另一边落在射线OB
1
，仍以O为顶点，角一边重合于OB
1
，另一边落在射线
OB2
，…，这样做出19个19°的角，其总和为361°，∠BOB
19
就是1°
角．
(2)利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和n，使得17×m-180×n=1．
事实上17×53-180×5=901-900=1．所以做法如下：
在平面上任取一点O
，过O点画直线AOB，以OB为始边、O为顶点，反时针方向依次画53个
17°的角，设最后的终边
为OB
53
，而5×180°的终边在OA射线，这时∠AOB
53
即为1°
的
角．
(3)若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使得21°×m-180°×n=1°
希望杯第
六
届（1995年）初中一年级第1试试题
一、选择题:
1.有理数-
95
的值一定不是[ ]
a19
1
的根是[ ]
19
A．19．
B．-19．C．0． D．1．
2.方程1-19x=
A.0;
B.
1811
; C. D..
361361
19
D．a
3
=-│a
3
│．
[ ]
3．若a＜0，则下列结论中不成立的是 [ ]
A．a
2
=(-a)
2
．
B．a
3
=(-a)
3
．
C．a
2
=│a
2
│．
4．下面的数轴上(图1)，表示(-5)÷│-2│的值的点是
A．P．
B．Q． C．M． D．N．
5．如果由四舍五入得到的近似数是35，那么在下列各数中不可能是真值的数是[ ]
A．34.49． B．34.51．C．34.99． D．35.01．
[ ]
6．如果a、b均为有理数，且b＜0，则a，a-b，a+b的大小关系是
A．a＜a+b＜a-b
．B．a＜a-b＜a+b．C．a+b＜a＜a-b．D．a-b＜a+b＜a．
7．如图2，∠A
OB=180°，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设∠DOB=a，则与
a的余角
相等的角是 [ ]
A．∠COD． B．∠COE．C．∠DOA． D．∠COA．
8．在绝对值小于1000的整数中，完全平方数的个数是[ ]
A．62．
B．63． C．32． D．31．
12345678910
9.计算:=[ ]
0.10.20.30.40.50.60.70.80.9
A.
1111
; B.1; C.-; D.-1.
9999
10．
已知A=a
2
+b
2
-c
2
，B=-4a
2
+2b
2
+3c
2
，若A+B+C=0，则C= [ ]
A．5a
2
+3b
2
+2c
2
． B．5a
2
-3b
2
+4c
2
．C．3a
2
-3b
2
-2c
2
．
二、A组填空题
D．3a
2
+b
2
+4c
2
．
1．计算(-0.125)
7
·8
2
=_____．
2．计算(-11)-(-22)-(-33)-(-44)-(-55)-(-66)=_____．
3．由0.03096四舍五入精确到万分位得近似数的有效数字是_____．
4．a、b为有理数．则表中空格内应填的数是_____．
5．在下表所填的16个数中，最大的一个数是_____．
72
30
=_______.
6.
计算
:
13
13
7．若a被1995除，所得的余数是2，则-a被1995除，所得的余
数是_____．
8．a、b、c在数轴上的位置如图3所示．则在
____________.
9．
如图4，O为圆心，半径OA=OB=r，∠AOB=90°，点M在OB上，OM=2MB，用r的式子表示<
br>阴影部分的面积是_____．
10.如果a=-2,则在-3a,4a,
值最大的是________.
三、B组填空题
1．
在数轴上，点A、B分别表示有理数a、
b,原点O恰是AB的中点,则1995a×
22
111
,,
中,最大的是<
br>abcbac
24
2
,a,1这五个数中,
a
26
的值是_____.
3b
2．某次测验共20道选择题、答
对一题记5分，答错一题记-2分，不答记0分，某同学得
48分，那么他答对的题目最多是_____
个．
3.计算:
(2345)
1111
<
br>
=_______.
2345
4．A
BCD和EBFG都是正方形，尺寸如图5所示，则阴影部分的面积是_____(cm
2
)．
5．a与b是相邻的两个自然数，则a、b的最大公约数与最小公倍数之和等于_____．
x2y
6.若丨x-y+3丨与丨x+y-1995丨互为相反数,则的值是___________
__.
xy
7．120的所有是合数但不是奇数的正约数的和等于_____．
8．如图6给出的乘法竖式中，四个方块盖住的四个数字之和的最大值是_____.
答案·提示
一、选择题
提示：
5．由于34.51，34.
99，35.01四舍五入的近似值都可能是35，而只有34.49不可能是真
值，选(A)．
6．因为b＜0，所以a+b＜a＜a-b，选(C)．
7．∵∠AOC+∠COB=180°
,即
∠COE+∠BOD=90°∠COE=90°-∠BOD=90°-a
∴选(B)．
8．
在绝对值小于1000的整数中，共计1999个整数，其中-1999，-1998，…，-2，-1，
这999个负整数都不能写成整数的平方。因此可以写成整数的平方的数只能在0，1，2，…，
99
8，999这一千个整数中去找。0=0
2
，1=1
2
，4=2
2<
br>，…，961=31
2
。共计32个，选(C)．
10．∵A+B+C=0
∴C=-A-B=-(a
2
+b
2
-c
2
)-(-4a
2
+2b
2
+3c
2
)
=-a
2
-b
2
+c
2
+4a
2<
br>-2b
2
-3c
2
=3a
2
-3b
2
-2c
2
.选(C)．
二、A组填空题
提示：
1．(-0.125)
7
·8
8
=(-0.125
)
7
·8
7
·8=(-0.125×8)
7
·8=-8
2．(-11)-(-22)-(-33)-(-44)-(-55)-(-66)
=(-11)+22+33+44+55+66
=(-22)+(11+22+33+44+55+66)
=(-22)+11(1+2+3+4+5+6)
=(-22)+11×21==(-22)+231=209
3．0.03096四舍五入精确到万分位所得近似值是0.0310，有效数字是3、1、0．
4．由表可见，a+b=-49，a-b=-97
解得a=-73，b=24
5．表中所填的数都是负数，应该以绝对值最小的其值最大，可按行比较．
第一行最大者为-1.1，第二行最大者为-1.001，
第三行最大都为-1.01，第四行最大都为-1.0101．
在-1.1、-1.001、
-1.01、-1.0101中最大者为-1.001，所以全表16个数中最大者为-1.001
7．设a被1995除商q余2，则a=1995×q+2-a=1995×(-q)-2=1995×
(-q)-1995+1993
即 -a=1995×[(-q)-1]+1993
∴
-a被1995除的余数是1993．
8．由图3可见，0＞c＞b＞a．
于是a-b＜0，c-b＞0，a-c＜0．
所以a=-2时，所给五个单项式的值最大的是6．
三、B组填空题
提示：
1．在数轴上，有理数a与b对应的点A与B满足原点O是线段AB的中点。则a+b=0
2．设小明答对x题，答错y题，没答z题
则
x+y+z=20
5x-2y=48
①
②
②+2×①得7x+2z=88
4．从图5中观察易知，阴影的面积是正方形ABCD面积的一半，
5．a、b为两个相邻的自然数，它们的最大公约数为1，所以a、b的最小公倍数为ab．
因此，a、b这两个相邻自然数的最大公约数与最小公倍数之和等于ab+1．
7．120的正约数共有1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，3
0，40，60，120计
有16个，其中是合数但不是奇数的正约数有4，6，8，10，12，20
，24，30，40，60，
120共11个，它们的和是4+6+8+10+12+20+24+30
+40+60+120=334
8．设四个方块中所有数字为a，b，c，d,
即因乘积是两位数，所以断定a=1．
又由于乘数为5，所以d=0或5，即d的最大值是5，又b≤9，c≤d
∴a+b+c+d≤1+9+9+5=24
而事实上1+9+9+5=24，表明24是可达到的．
所以四个方块盖住的四个数字之和的最大值是24．
9．设步行所用时间为t小时，则乘汽车用1-t小时，依题意列方程如下：
36×(1-t)+4×t=28 解得 t=0.25
答
步行所用时间为0.25小时。
10．a，b，c均为整数，则a-b，c-a也为整数，│a-b│
19
，│c-a│
95
为两个非负整数，
其和为1
只能
│a-b│
19
=0，且│c-a│
95
=1 ①
或
│a-b│
19
=1且│c-a│
95
=0. ②
由①
于是
由②
于是
a=b且c=a±1
│b-c│=│c-a│=1
c=a且a=b±1
│b-c│=│a-b│=1
无论①或②，都有
│a-b│+│c-a│=1且│b-c│=1
∴
│c-a│+│a-b│+│b-c│=2
希望杯第
六
届（1995年）初中一年级第
2
试试题
一、选择题:
1．若y是正数，且x+y＜0，则在下列结论中，错误的一个是 [
]
A．x
3
y＞0． B．x+│y│＜0．C．│x│+y＞0．
D．x-y
2
＜0．
2．已知│a│=-a，则化简│a-1│-│a-2│所得的结果是 [ ]
A．-1． B．1．C．2a-3． D．3-2a．
3．已知a=1995x+1994
，b=1995x+1995，c=1995x+1996．那么(a-b)
2
+(b-c)<
br>2
+(c-a)
2
的
值等于[ ]
A．4． B．6． C．8． D．10．
4．用一副学生用的三角板的内角
(其中一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个
是30°,60°,90°)可以画出大于
0°且小于176°的不同角度的角共有_____种．
[ ]．
A．8．
B．9．C．10． D．11．
5．数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，
若在这个数轴上随意
画出一条长为1995厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点是[ ]个．
A．1994或1995． B．1994或1996．C．1995或1996．
D．1995或1997．
6．方程1995x+6y=420000的一组整数解(x、y)是[
]
A．(61，48723)． B．(62，48725)．C．(63，48726)．
D．(64，48720)．
7．某同学到集贸市场买苹果，买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半
，而其余的钱都
买了每公斤2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤_____元．
[ ]
A．2.6． B．2.5． C．2.4． D．2.3．
,
8．a、b、c的大小关系如图7所示
则
abbccaabac
的值是[ ]
abbccaabac
A．-1． B．1． C．2． D．3．
9.设P=-
[ ]
A．P＞Q＞R． B．Q＞P＞R．C．P＞R＞Q．
D．R＞Q＞P．
111
,Q=-,R=-,则P,Q,R,的大小关系是
1234
51234612344123461234412345
10．某项球类规则达标测验，规定满
分100分，60分及格，模拟考试与正式考试形式相
同，都是25道选择题
，第题答对记4分，答错或不答记0分．并规定正式考试中要有80
分的试题就是模拟考试中的原题．假
设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考试中
仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考
试中，至少要得 [ ]
A．80分．
二、填空题
1．计算：1
2
+2-3×4÷5+6
2
+7-8×9÷10=_____．
2．若a+b＜0，则化简│a+b-1│-│3-a-b│的结果是_____．
3．某市举行环城自行车比赛，跑的路线一圈
是6千米,甲车速是乙车速的,在出发后1
小时10分钟时,甲,乙二人恰在行进中第二次
相遇,则乙车比甲车每分钟多走_____千米． 4．如图8，两条线段AB、CD将大长方形分成四个小长方形，其中S
1
面积是8，S<
br>2
的面积
是6，S
3
的面积是5．则阴影三角形的面积是_____．
5.若n=
1
B．76分．C．75分． D．64分．
,则n的负倒数是______.
32
6．一次数学小
测验共有十道选择题，每题答对得3分，答错或不答均扣1分，则这次小
测验的成绩至多有_____种
可能的分数．
7．已知p、q均为质数，并且存在两个正整数m,n,使得p=m+n,q=mn,<
br>p
p
q
q
则
n
的值为_____.
m<
br>mn
8．如图9，已知△ABC中，∠C=90°，AC=1.5BC,在AC上取点D,使得AD=0.5BC,量得BD=1cm,则△ABD的面积是________cm
2
.
9．若S=15+195+1995+19995+…+
1999
44个9
95
．则和数S的末四位数字的和是_____．
10．用分别写有数字的四张卡片，，，
可以排出不同的四位数，如1234，1342，4231，…
等等共24个，则其中可被22整除的四
位数的和等于_____．
三、解答题
1．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码
恰是1~19号，这些运动员随意地站成
一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码
数之和不小于32，请
你说明理由．
2．已知ax+by=7，ax
2
+b
y
2
=49，ax
3
+by
3
=133，ax
4<
br>+by
4
=406，试求1995(x+y)+6xy-
的值.
17
(a+b )
2
答案·提示
一、选择题
提示：
1．∵y＞0，若x≥0则x+y≥0，与x+y＜0矛盾．所以由y＞0，x+y＜0必有x＜0．
因此，x
3
＜0，x
3
y＜0，即(A)是错误的．
事实
上，y＞0，x+y＜0，即x+│y│＜0，(B)成立．│x│+y＞0，(C)成立．x＜0，y
2
＞
0，x-y
2
＜0，(D)成立．因此，选(A)．
2．∵│a│=-a，∴a≤0．
│a-1│-│a-2│=-(a-1)+(a-2)=-1，选(A)．
3．a-b=(1995x+1994)-(1995x+1995)=-1
b-c=(1995x+1995)-(1995x+1996)=-1
c-a=(1995x+1996)-(1995x+1994)=2
∴ (a-b)2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
=(-1)
2
+(-1)
2
+2
2
=6．选(B)．
4．由于15°=45°
-30°，所以15°可以画出．因为30°，45°，60°，90°都是15°
的倍数．0°~17
6°之间度数为15°的倍数的角都可画出．这些不同度数的角共计11种，
它们是：15°，30°,
45°,60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°．选
(D)．
5．若所画的长为1995厘米的线段的两个端点A与B均为整点时，此时线段AB盖住的整点
个数是1995+1=1996个．若A点不是整点，则B点也不是整点，此时线段AB盖住的整点个
数
为1995个，所以长为1995厘米的线段盖住的整点是1995个，所以长为1995厘米的线段
盖
住的整点是1995或1996个．选(C)．
6．设x，y均为整数，且满足1995x+6y=420000．
则5│1995x，5│420000，所以5│6y．
但(5，6)=1，因此5│y．所
以排除(A)，(C)．对(B)，若(62，48725)满足方程，则
事实上，1995×64+6×48720=420000成立．选(D)．
7．设该同学买了3元一公斤的苹果x公斤，2
了x+y公斤苹果，花去了3x+2y=6x元．所以所买的
8．从图9中可见，a＜b＜c且a＜0，b＜0，c＞0
所以a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，ab＞0，ac＜0
所以ab-ac＞0，
=(-1)-(-1)+1+1=2．选(C)．
9．因为12344＜12345＜12346
所以12344×12345＜12344×12346＜12345×12346
即R＜Q＜P．选(A)．
10．设在模拟考试中至少要得x分，则在模拟
解得x≥80．即某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中至少要得80分．选(A)．
二、填空题
提示：
1．原式=1+2-3×4÷5+36+7-8×9÷10=3
-12÷5+36+7-72÷10=3-2.4+43-7=36.4
2．∵a+b＜0,a+b-1＜0,3-a-b=3-(a+b)＞0
∴│a+b-1│-
│3-a-b│=-(a+b-1)-(3-a-b)=-a-b+1-3+a+b=-2
甲、乙二人在行进中第二次相遇，乙要追过甲两圈，所以
解得 x=36(千米／小时)，即乙车速36千米／
因此，乙车比甲车每分钟多走
4．如图8，设AB、CD交于O，阴影三角形面积为S，则矩形
6．设这次小测验答对x道题，则有10-x道题答错或没答，应得分数
w=3x-(10-x)=4x-10
因此，可能得到的分数为偶数，且不被4整除，又最高
得分为满分30分，最低得分为-10
分，在-10~30之间被2整除但不被4整除的数有-10，-
6，-2，2，6，10，14，18，22，
26，30共11种可能，容易验证，这11种分数值都
是可以取到的．
7．∵q是质数，q=m×n，
所以m，n只能一个为1，另一个为q．
此时p=m+n=1+q，而p又是质数，只能p=3，q=2．
即m，n一个是1，另一个是2．
即△BCD为等腰直角三角形(图10)，四个等腰
9．S=(20-5)+(200-5)+(2000-5)+(20000-5)+…+(-5)
=20+200+2000+20000+…+-5×45=-225
所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24
10．在由1，2，3，4组成的24个四
位数中，末位数字是1，3的不能被22整除，这样的数
共12个，而其余12个末位数字是偶数，有可
能被22整除，它们是
1234，1324，1432，1342，2134，2314，
3124，3412，3142，3214，4132，4312．
由奇位数字和减去偶位数
字和之差是11倍数者，原数为11的倍数，可知其中被11整除的
只有1342，2134，3124
，4312．即这四个数被22整除，它们的和是
1342+2134+3124+4312=10912
三、解答题
1．证：在圆
周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a
1
，a
2
，a
3
，…，a
18
，
a
19
(图11)，显然a
1=1，而a
2
，a
3
，…，a
18
，a
19<
br>就是2，3，4，5，6，…，18，19的一
个排列
令A
1
=a
2
+a
3
+a
4
A
2
=a
5
+a
6
+a
7
A
3
=a
8
+a
9
+a
10
A
4
=a
11
+a
12
+a
13
A
5
=a
14
+a
15
+a
16
A
7
=a
17
+a
18
+a
19
则A
1
+A
2
+A
3
+A
4
+A
5
+A
6
=a
2
+a
3
+a<
br>4
+…+a
17
+a
18
+a
19
=2+3+4+…+17+18+19
=189
如果A
1
，A<
br>2
，A
3
，A
4
，A
5
，A
6中每一个都≤31，则有A
1
+A
2
+A
3
+A
4
+A
5
+A
6
≤6×31=186，
与(*)式矛盾．
所以A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
，A
6
中至少有一个大于31．为确定起见，不妨
就是A
1
＞31，即a
2
+a
3
+a
4
＞31，但a
2
+a
3
+a
4
是整数，所以必有a
2
+a
3
+a
4
≥32成立．即一
定有顺次相邻的某三名
运动员，他们运动服号码数之和不小于32．
说明：本试题来源于一道常见的试题，“将1，2，3，
4，…，17，18，19这19个自然数
任意排成一圈，必定能找到相邻的3个自然数，它们之和不小
于30．”
其证法是，设这19个数在圆圈排列后依次逆时针顺序是a
1
，a
2
，…，a
18
，a
19
（图12），
则
A
1
=a
1
+a
2
+a
3
A
2
=a
2
+a
3
+a
4
A
3
=a
3
+a
4
+a
5
A
4
=a
4
+a
5
+a
6
……
A
17
=a
17
+a
18
+a19
A
18
=a
18
+a
19
+a
1
A
19
=a
19
+a
1
+a
2
相加得A
1
+A
2
+…+A
18
+A
19
=3(a
1
+a
2
+…+a
18
+a<
br>19
)
=3×(1+2+3+4+…+17+18+19)
=570 若A
1
，A
2
，…，A
18
，A
19
这19个自然数都小于30，则A
1
+A
2
+…+A
18
+
A
19
＜19×30=570与
(*)式矛盾．所以A
1
，A
2
，…，A
18
，A
19
中至少有一个不小于30．为确定起见，
不妨设
A
1
≥30，即a
1
+a
2
+a
3
≥30，即一定有顺相邻的3个数，其和不小于30．
但在写数排圈试验中不难发现，总会找
到相邻3个数之和大于30，这表明30这个限不是
最好的，我们可以改进到32．要达到这个结果，其
一，找三数组的个数减小，平均值可
能增大，原来找出19个数三数组，现在我们找出6个，且互不重复
，这样，其用到19个
中的18个数，显然有一个数没用在三数组中，这个数只有取a
1
=1时，才能使其余18个数
之和尽可能大．以上这些想法已经包含着非智力因素在内的对问题灵活处
理的综合能
力．克报困难意识强，遇事思维开阔的学生，处理本题的能力会表现突出一些．
2
．分析：已知ax+by=7，ax
2
+by
2
=49，ax
3+by
3
=133，ax
4
+by
4
=406．形式很
对称，很容
易诱使你将ax+by=7两边平方，再减去ax
2
+by
2=49，…想利用乘法公式算出xy，但一试
发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，
很多同学仍企图走此路，以致最
后陷入死胡同．
事实上，ax+b
y平方后必出现a
2
x
2
与b
2
y
2
，而
ax
2
+by
2
中，a，b都不是平方，这一特点已
经表明利用乘法
公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往一起
凑这个最基本的方式去做．
解：显然
ax
2
=49-by
2
，
by
2
=49-ax
2
ax
3
=49x-bxy
2
，
by
3
=49y-ax
2
y
相加得
133=ax
3
+by
3
=49(x+y)-xy(ax+by)
即
49(x+y)-7xy=133
7(x+y)-xy=19
同理
①
ax
3
=133-by
3
，by
3
=
133-ax
3
ax
4
=133x-bxy
3
，
by
4
=133y-ax
3
y
相加得
406=ax4
+by
4
=133(x+y)-xy(ax
2
+by
2
)
即 133(x+y)-49xy=406
19(x+y)-7xy=58
②
由①、②联立，设x+y=u，xy=v
得 7u-v=19
19u-7v=58,解得 u=2.5，v=-1.5
即
x+y=2.5，xy=-1.5
由 ax=7-by，by=7-ax
得
ax
2
=7x-bxy，by
2
=7y-axy
相加得49=ax
2
+by
2
=7(x+y)-xy(a+b)
所以 1.5(a+b)=49-7×2.5
∴ a+b=21
此时即可求得
=4987.5-9-178.5=4800
说明：本题虽然所用知识单元块均在
初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力与
观察综合能力，并且计算也
要很细心，因此本题属于对学生数学素质综合检查的题目．本
题改编自下面的问题“已知ax+by=8
，ax
2
+by
2
=22，ax
3
+by
3
=62，ax
4
+by
4
=178，试求
1995(x+y)+6
xy之值”．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想，满足题
设条件的a与b两数之
和a+b等于多少？你能独立地求出a+b之值吗？(答a+b=3)
希望杯第七届（1996年）初中一年级第1试试题
一、 选择题:
1．（－1）－（－9）－（－9）－（－6）的值是 ( )
A．－25.
B．7. C．5 . D．23
( ) 2．方程19x－96=96－19x的解是
A.0; B.
4819296
; C.; D..
19
1919
3．如果a＜0，则a与它的相反数的差的绝对值是( )
A．0 B．a. C．－2a D．2a
4．如果一个方程的解都能满足另一个方程，那么，这两个方程 ( )
A．是同解方程.B．不是同解方程.C．是同一个方程.D．可能不是同解方程
5．a、b为有理数，在数轴上如图1所示，则( )
A.
11111111
<1<; B. <<1; C. <<1; D.1<<.
ababbaba
6．如果x＜－2，那么|1－|1＋x||等于 ( )
A．－2－x.
B．2＋x. C．x. D．－x
7．线段AB=1996厘米，P、Q是线段AB上的两个点
，线段AQ=1200厘米，线段BP=1050厘米，
则线段PQ= ( )
A．254厘米 B．150厘米. C．127厘米 D．871厘米
8.
,
都是钝角,甲,乙,丙,丁计算
1
(
<
br>
)
的结果依次为50
0
,26
0
,72
0
,90
0
,其中确有
6
正确的结果,那么算得结果正确者是(
)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如果a＞b，且c＜0，那么在下面不等式中:
(1)a+c>b+c;(2)ac>bc;(3)
ab
;(
4)ac
2
>
.成立的个数是
cc
( )
A．1. B．2. C．3 . D．4
10.如果
a
53
2
a
,2+c>2,那么( )
7
A．a－c＞a＋c B．c－a＞c＋a. C．ac＞－ac D．3a＞2a
二、A组填空题
1．（－1）
2
＋（－2）
3
＋（－3）
4
＋（－4）
5
=______．
2．
多项式3x＋5x－2与另一个多项式的和是x－2x＋4，那么，这“另一个多项式”是
______
．
3．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则（a＋b）
1996
22
＋（cd）______．
323
4．如图2△ABC的面积是1平方厘米，DC=2BD，AE=3ED，
则△ACE的面积是______平方厘米．
5．设自然数中两两不等的三个合数之和的最小值是m，
则m的负倒数等于______．
6.一个角
与50
0
角之和的
1
等于65
0
角的余角,则
=______.
7
7.不等式
2(
x1)4x1
1
的解是______________.
515
2x3y8
8.x,y,z满足方程组
3y2z0
,则xyz=________.
xz2
9.已知关于
x的方程3a-x=
x
+3的解是4,则(-a)
2
-2a=_______
__.
2
10．用一队卡车运一批货物，若每辆卡车装7吨货物，则尚余10吨货物装不完；
若每辆
卡车装8吨货物，则最后一辆卡车只装3吨货物就装完了这批货物，那么，这批货物共有____
__
吨．
二、 B组填空题
1.计算:
40
1
1109
344
1(0.5)[(2)<
br>2
2
2
]
=_____.
2
4144
433
2.方程
7x110.2x5x1
<
br>的根是______.
0.0240.0180.012
3．一个四位数能被9整除，
去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，则这样的四位
数中最大的一个的末位数字是______．
4．在－44，－43，－42，…，1995，1996这一串连续的整数中，前100个连续整数的
和
等于______．
5．如图3，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、
BD分为四个部分，△AOB的面积是1平方千米，△BOC的面
积是2平方千米，△COD的面积是3平方千米，公园陆地的
总面积是6.92平方千米，那么人工湖的面积是______平方千米．
答案·提示
一、选择题
提示：
1．（－1）－（－9）－（－9）－（－6）=23，选D．
2．解，移项得19x＋19
x=96＋96,合并，得2×19x=2×96,
3．a的相反数为－a，所以a与它的相反数的差的
绝对值是
|a－（－a）|=|－2a|=－2a（其中a＜0），选C．
4．当另一个方
程的解也都满足第一个方程时，这两个方程才是同解方程，因此排除B．但
另一个方程的解不都满足第一
个方程时，它们不是同解方程，所以排除A、C，因此选D．
6．∵x＜－2
∴|1－|1＋x||=|1＋1＋x|=－2－x，选A．
7．由图4可见:PQ=AQ＋PB－AB=1200＋1050－1996=254（厘米），选A．
8．90°＜α＜180°，90°＜β＜180°,∴180°＜α＋β＜360°
9．已知a＞b，c＜0，a＋c＞b＋c，显然成立．
由2+c＞2知c＞0，所以-c＜c，两边加a
得a－c＜a＋c，所以排除A．
由a＜0，c＞0知ac＜0，－ac＞0，
显然ac＜－ac排除C．
3a＜2a排除D，
因此应选B．
事实上，因为a＜0，所以－a＞0．
因此 －a＞a,两边同加上c,即可得c－a＞c＋a．
二、A组填空题
提示：
1．(－1)＋(－2)＋(－3)＋(－4)=1＋（－8）＋81＋（－1024）=－950
2．(x－2x＋4)－(3x＋5x－2)=－2x－7x＋6
3．因为a、b互为相反数，所以a＋b=0，c、d互为负倒数，所以cd=－1．
因此
(a＋b)
1996
＋(cd)
323
=0＋(－1)=－1
4．由于S
△ABC
=1，DC=2BD．
又因为 AE=3ED
5．三个两两不等的合数之和的最小值应是三
222
2345
解得a=125°．
7．原不等式可为
去分母得－6（x－1）－（－4x－1）＞15,－2x＞8，∴x＜－4．
8．由2x－3y=8及3y＋2z=0，相加得2x＋2z=8，即x＋z=4与x－z=－2联立．
解得 x=1，z=3．代入第二个方程求得y=－2，所以 xyz=1·（－2）·3=－6
7x＋10=8（x－1）＋3,解得
x=15（辆）所以，这批货物共有7×15＋10=115（吨）
三、B组填空题
提示：
4．这前100个连续整数是
－
44，－43，…，－1，0，1，2，…43，44，45，46，…54，55，其中前89个整数之和
（－44）＋（－43）＋…＋0＋…＋43＋44=0
后11个数之和是45＋46＋47＋48＋49＋50＋51＋52＋53＋54＋55=550
所以，所给一串连续整数中，前100个连续整数的和等于550．
5．由△AOB，△BOC的底边AO、OC共线，由B到AC的距离是这两个三角形的共同的高线．
因此 S
四边形ABCD
=1＋2＋3＋1.5=7.5（平方千米）
由于公园陆地面积是6.92平方千米，所以人工湖面积是
7.5－6.92=0.58（平方千米）
希望杯第七届（1996年）初中一年级第2试试题
一、选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的．）
1．当a=－0.01时，在－（－a），－|－a|，－a，－（－a）中，其值为正数的是(
)
A．－（－a）
2.如果
2
222
B．－|－a|.
C．－a D．－（－a）
22
a
=0,那么有理数a,b( )
b
A．都是零 B．互为相反数. C．互为倒数 D．不都是零
3．五个有理数a，b，c，d，e在数轴上的位置如图5所示：则a＋b－d×c÷e等于(
)
A．－8.5 B．－4. C．5 D．8.5
4．若a＜0，ab＜0，那么|b－a＋1|－|a－b－5|等于 ( )
A．4. B．－4. C．－2a＋2b＋6. D．1996
5．A、B两
地相距s千米．甲、乙的速度分别是a千米小时，b千米小时（a＞b）．甲、
乙都从A到B去开会，如
果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B地的小时数是
A.
( )
s<
br>
s
s
ss
s
s
s
1
;
B.
1
;
C.
1
;
D.
1
.
a
b
<
br>b
a
a
b
b
<
br>a
6．若|x|=a，则|x－a|= ( )
A．2x或2a
B．x－a. C．a－x D．零
7．设关于x的方程a（x－a）＋b（x＋b）=0有无穷多个解，则 ( )
A.a+b=0; B.a-b=0; =0; D.
a
=0.
b
8.从
111111
中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰等于1,那
么
24681012
11111111
,; B. ,; C. ,; D.
,.
46412610108
删去的两个加数是( )
A.
9.如果关于x的方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程
么( )
A.a>2; B.a<2; C.a<
(4a1)xa(3x4)
的解,那
43
77
; D.a>.
1818
10.在某浓度的
盐水中加入一杯水后,得到新盐水,它的浓度为20%,又在新盐水中加入与
前述一杯水的重量相等的纯盐合,盐水浓度变为33
A.23%; B.25%;
C.30%; D.32%.
二、填空题
1
%,那么原来盐水的浓度是(
)
3
11．若（x－1996）＋（7＋y）=0，则x＋y=______．
223
m
2
n
2
12.自然数m,n是两个不同的质数,m+n
+mn的最小值是p,则=_____.
p
2
13.角
,
,
中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算
1
(<
br>
)
的值
15
时,全班得
23.5
0
,24.5
0
,25.5
0
这样三个不同结果,
其中确有正确答案,那么
=______. <
br>14．已知有理数a、b的和a＋b及差a－b在数轴上如图6所示,则化简|2a＋b|－2|a|－|
b
－7|，得到的值是______．
15.在长方形ABCD中,M是CD边的中点,DN
是以A为圆心的一段圆弧,
KN
是以B为圆心
的一段圆弧,AN=a
,BN=b,则图7中阴影部分的面积是_______.
16．快慢
两列火车的长分别是150米和200米，相向行驶在平行轨道上．若坐在慢车上的
人见快车驶过窗口的
时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是______
秒．
17．若一
个三角形的底边a增加3厘米，该底边上的高h
a
减少3厘米后面积保持不变，那
么h
a
－a=______厘米．
18．一次数学测验满分是100分，全班38名学生
平均分是67分．如果去掉A、B、C、D、E
五人的成绩，其余人的平均分是62分，那么在这次测验
中，C的成绩是______分．
19．从3点15分开始到时针与分针第一次成30°角，需要的时间是______分钟．
20．甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇，
已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短
距离是
______米．
三、解答题
21．（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和．
（2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？
（3）一个四位偶自然数的千位数字
是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也都
是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？
22．（1）用1×1，
2×2，3×3三种型号的正方形地板砖铺设23×23的正方形地面，请
你设计一种辅设方案，使得1
×1的地板砖只用一块．
（2）请你证明：只用2×2，3×3两种型号的地板砖，无论如何铺设都不
能铺满23×23
的正方形地面而不留空隙．
答案·提示
一、选择题
提示：
1．当＜0时，（－a）
2
＞0，|－a|＞0，a
2
＞0
所以－（－a）
2
＜0，－|－a|＜0，－a
2
＜0，因此排除A、B、
C，选D．
事实上，a＜0时，a
2
＞0，－（－a
2
）＞0．当
然a=－0.01时更是如此．
3．a=－3，b=－6，c=－1，d=2，e=4，
a＋b－d×c÷e=（－3）＋（－6）－2×（－1）÷4=－8.5，选A．
4．由a＜0，ab＜0 可知b＞0，于是b－a＞0，
b－a＋1＞0,a－b＜0,a－b－5＜0．
因此|b－a＋1|－|a－b－5|=b－a＋1＋a－b－5=－4，选B．
6．因|x|=a，所以a≥0，下面对x分情况讨论．
当x＜0时x－a＜0|x－a|=－（x－a）=a－x．
当x≥0时，x=a，x－a=0=a－x，∴|x－a|=a－x．
综上,对任意x，都有|x－a|=a－x成立，选C．
7．整理原方程得
（a＋b）x=a－b．
要使该方程有无穷多解，只当a＋b=0且a－b=0，当a＋b=0时a=－ba－b=0．
所以当a＋b=0时,原方程有无穷多个解，选A．
2222
22
9．关于x的方程3（x＋4）=2a＋5的解为
10．设原盐水溶液为a克，其中含纯盐m克，后加入“一杯水”为x克，依题意得
由①a＋x=5m ③
由②a＋2x=3m＋3x 即a－x=3m ④
③＋④得2a=8m,∴a=4m．
二、填空题
提示：
11
．由（x－1996）
2
＋（7＋y）
2
=0得x=1996，y=－7．
∴x＋y
3
=1996＋（－7）
3
=1996－343=1653
．
12．m、n都是质数，要m＋n＋mn取最小值，
只能m、n取2与3，所以p=2＋3＋2×3=11．
13．由α、β、γ中有两个锐角一个钝角,易知
90°＜α＋β＋γ＜360°
∴α＋β＋γ=352.5°．
14．由图6中可见，0＜a－b＜1，a＋b＜－1
所以
2a＜0，因此a＜0，若b≥0
则a－b＜0与a－b＞0不等,所以b＜0．
此时
2a＋b＜0，b－7＜0．
所以 |2a＋b|－2|a|－|6－7|
=－(2a＋b)－2(－a)－[－(b－7)]
=－2a－b＋2a＋b－7=－7．
15．矩形面积为a(a＋b)
设阴影面积为S．则
16．设快车速为x米秒，慢车速为y米秒，
17．由题意得
即 ah
a
=ah
a
＋3h
a
－3a－9,∴3（h
a
－a）=9．h
a
－a=3．
18．设A、B、C、D、E分别得分为a、b、c、d、e．
因此
a＋b＋c＋d＋e=500
由于最高满分为100分，因此a=b=c=d=e=100，即C得100分．
作为追及问题，由于3点15分时分钟与时针成角小于30°，所以分针必须追上时针并超
出
20．解法1（方程法）：设乙每秒行x米，则甲每秒行（x＋0.1）米，依题意有
8×60（x＋x＋0.1）=400×3,解得x=1.2
则在8分钟内，乙共行1.2×60×8=576（米）
去掉乙走过了一整圈400米，还余
176米，由于不足200米，故是相遇地点沿跑道距A点的
最短距离． <
br>解法2（算述法）：在8分钟内，甲比乙共多行0.1×60×8=48米，这时一共有了三圈，
每圈甲比乙多行16米，即相遇地是越过此出发地始终端的400米跑道的中点16÷2=8（米）．三
圈累计，越过8×3=24（米）．所以第三次相遇点距A沿跑道的距离是176米或224米，较小值
176米是所求的最短距离．
三、解答题
21．
（1）不超过30的质数和为
2＋3＋5＋7＋11＋13＋17＋19＋23＋29=129．
（2）千位数是1的四位
自然数中最小为1000最大为1999．共连续1000个自然数．其中有
500个是偶数．所以千位
数是1的四位偶自然数共有500个．
（3）设满足题设性质的自然数为x，则x的千位数字是1，个位数字是偶数码．
又设质数p
1
＜p
2
＜p
3
＜p
4
，则依题意有x=
kp
1
p
2
p
3
p
4
＋1
①,其中k为自然数．
若p
1
=2，则kp
1
p
2
p
3
p
4
＋1为奇数，与x为偶数不符．所以p
1
，p<
br>2
，p
3
，p
4
均为奇质数．
设p
1=3，p
2
=5，p
3
=7，p
4
=11，有3×5×
7×11=1155，所以k=1．
而p
1
=3，p
2
=5，p<
br>3
=11，p
4
=13时3×5×11×13=2145＞1999．
所以p
1
=3，p
2
=5，p
3
=7是①中p
1
，p
2
，p
3
的唯一取值法．这样一来，只须再对p
4讨论：
当p
4
=11时，x
1
=3×5×7×11＋1=1156．
当p
4
=13时，x
2
=3×5×7×13＋1=1366．
当p
4
=17时，x
3
=3×5×7×17＋1=1786．
当p
4
=19时，x
4
=3×5×7×19＋1=1996． 而当p
4
=23时，x
5
=3×5×7×23＋1＞2000不合要求．
所以，满足题设条件的自然数共四个，它们是1156，1366，1786，1996．
其中最大的一个是1996．
22．（1）如图8，用12块3×3地板砖与6块2×2地板砖能铺成12×11的长方形地面． <
br>如图9的铺设方案．用4个12×11的图8所示的板块，恰用1块1×1地板砖，可以铺满23
×23的正方形地面．
（2）我们将23×23的大正方形分成23行23列共计529个1×1的小
方格，再将第1行，第4
行，第7行，第10行，第13行，第16行，第19行，第22行这八行染红
色，其余的15行都染白
色，如图10所示．
任意2×2或3×3的小正方块无论怎样放置（
边线与大正方形格线重合），每块2×2或3
×3的正方块都将盖住偶数块1×1的白色小方格． 假设用2×2及3×3的正方形地板砖可以铺满23×23后正方形地面，则它们盖住的白色1
×1
的小方格总数为偶数个．然而23×23地面染色后共有23×15（奇数）个1×1的白色小方
格，矛盾．
所以，只用2×2，3×3两种型号地板砖无论如何铺设，都不能铺满
23×23的正方形地面
而不留空隙．
希望杯第八届（1997年）初中一年级第1试试题
一、 选择题:
1.
a
8
是( )
1997
A．正数 B．负数. C．非正数. D．零.
2．下面说法中，不正确的是 ［ ］
A．小于－1的有理数比它的倒数小.B．非负数的相反数不一定比它本身小
C．小于0的有理数的二次幂大于原数.D．小于0的有理数的立方小于原数
3.
1(9)97
1997
的值的负倒数是( )
A.
83242972
72
; B.
29
;
C.
24
; D.
83
.
4．在图1的数轴上，标出了有理数a、b、c的位置，则［ ］
A．a－c＜b－a＜b－c. B．a－b＜b－c＜a－c
C．b－c＜a－c＜a－b. D．a－c＜b－c＜b－a
5．下面判断中正确的是
［ ］
A．方程2x－3＝1与方程x（2x－3）＝x同解
B．方程2x－3＝1与方程x（2x－3）＝x没有相同的解
C．方程x（2x－3）＝x的解都是方程2x－3＝1的解
D．方程2x－3＝1的解都是方程x（2x－3）＝x的解
6．（3x＋9）（2x－5）等于 ［ ］
A．5x
2
＋3x－45. B．6x
2
－3x＋45.
C．5x
2
＋33x＋45. D．6x
2
＋3x－45
7.若a
=
19951995
19961996
,b=
19961996
19
971997
,c=
19971997
19981998
,则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a. C．c＜b＜a D．a＜c＜b
8．有理数a、b满足a＝1997b，则［ ］
A．a≥b B．｜a｜≤b.
C．a≥｜b｜ D．｜a｜≥｜b｜
9．有理数a、b满足｜a＋b｜＜｜a－b｜，则［
］
A．a＋b≥0 B．a＋b＜0. C．ab＜0 D．ab≥0
10．有
理数b满足｜b｜＜3，并且有理数a使得a＜b恒能成立，则a的取值范围是［
A．小于或等于3的有
理数.B．小于3的有理数
C．小于或等于－3的有理数.D．小于－3的有理数
二、
A组填空题:
］
11.
1
1132417
7
7
1
=_____.
3610710
718
8
11
3
2n1
1997
n7
x
与
x
是同类项,则(n-17)
3
=______
.
19974
12．图2中，三角形的个数是______．
13.已知
14.
19951996199619981997200019982002
12243648510612714
=_______.
15．数学晚
会上，小明抽到一个题签如下：若ab＜0，（a－b）
2
与（a＋b）
2
的
大小关系
是（ ）
A．（a－b）＜（a＋b）. B．（a－b）＝（a＋b）
C．（a－b）＞（a＋b）. D．不能确定的
小明答对了，获了奖，那么小明选择答案的英文字母代号是______．
16．如图3，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，
ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC＝80°，那么∠MON的大小等于______．
17．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，则（a－c）（b－d）÷（a－d）＝______．
18．10位评委为某体操运动员打分如下：
10，9.7，9.85，9.93，9.6，
9.8，9.9，9.95，9.87，9.6去掉一个最高分和一个最低
分，其余8个分数的平均数记
为该运动员的得分，则这个运动员的得分是______．
19．如图4，长方形ABCD中，△AB
P的面积为20平方厘米，△CDQ的面积为35平方厘米，
则阴影四边形的面积等于______平方
厘米．
22
2222
20.
在左边的算式中乘数不是1,且每个小方纸片都盖
5991
住了一个数字,这五个被盖住的数字的和等于______．
三、B组填空题:
21．初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面．男同学
的盾牌前面写的是
一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌如下所示．
(
5)
2
(1)
8
83
(30),,a0.1,,,8,
2,,4(2),51,
3
(25)19971997
(
3)
30
则盾牌后面的同学中有女同学______人；男同学______人．
2
2．甲、乙两商店共有练习本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲乙两店所
剩的练习本
数相等，由甲店原有练习本______本；乙店原有练习本______本．
23．一个有理数恰等
于它的相反数，则这个有理数是______；一个有理数恰等于它的倒
数，那么这个有理数是____
__．