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山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学第3届“希望杯”第2试
试题
一、选择题（每题1分，共10分）
1．若8.047=521.077119823，则0.8047等于 [ ]
A． 0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0 .23．
2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是 [ ]
A．正数． B．负数．C．奇数． D．偶数．
3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是 [ ]
A．-b＞a＞-a＞b． B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a． D．a＞b＞-a＞-b．
4．在1992个自然数：1，2，3，…，1991，1992的每一个 数前面任意添上“+”号或“-”
号，则其代数和一定是 [ ]
A．奇数． B．偶数．C．负整数． D．非负整数．
33
5．某同学求出1991个有理数的平均数后 ，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数
混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均 数了．如果这1992个有理数的平均
数恰为1992．则原来的1991个有理数的平均数是
A．1991.5． B．1991．C．1992． D．1992.5．
6．四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是[ ]
A．a+d＜b+c． B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c． D．不确定的．
[ ]

x1992yp
7.已知p为偶数,q为奇数,方程组

的解是整数,那么[ ]
1993x3yq

A.x是奇数，y是偶数．B．x是偶数，y是奇数．
C．x是偶数，y是偶数．D．x是奇数，y是奇数．
8．若x-y=2，x
2+y
2
=4，则x
1992
+y
1992
的值是 [ ]
A．4． B．1992
2
．C．2
1992
． D．4
1992
．
9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的数，并且3x-2y=1，那么代数式
10x+y可以取到[ ]不同的值．
A．1个． B．2个．C．3个． D．多于3个的．
10．某中学科技楼窗户设计如图1 5所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数
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码，每横行三个符号自左至右看成一个三 位数．这四层组成四个三位数，它们是837，
571，206，439．则按照图15中所示的规律写 出1992应是图16中的[ ]

二、填空题（每题1分，共10分）
1 .a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且
a1b1c1d1e1
f
,,, ,,
则=_____.
b2c3d4e5f6
a
2．若三个连续偶数的 和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差
等于______．
3． 若x
3
+y
3
=1000，且x
2
y-xy
2=-496，则(x
3
-y
3
)+(4xy
2
-2x< br>2
y)-2(xy
2
-y
3
)=______．
4 ．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0,
则a
1992< br>b
,b, 的形式,
a
+b
1993
=________.
5．海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的
第二天吃掉的核桃数再加上3个就 是第一天所剩核桃数的
____个.
2
,又扔掉4个到大海中去,
5
5
,那么这堆核桃至少剩下
8
6．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2， 3．那么a的取值范围是______．
7．a，b，c是三个不同的自然数，两两互质．已知它们任 意两个之和都能被第三个整除．则
a
3
+b
3
+c
3
=______．
8．若a=1990，b=1991，c=1992，则a
2
+ b
2
+c
2
-ab-bc-ca=______．
9．将2，3， 4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图17中10个格子里，每个
格子中只填一 个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p．则p的最大值是
______．
< br>10．购买五种教学用具A
1
，A
2
，A
3
，A4
，A
5
的件数和用钱总数列成下表：
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那么，购买每种教具各一件共需______元．
三、解答题（每题5分，共10分）
1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8， 9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是
一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列 顺序，并简述推理过程．










2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果 a恰是b的3倍，我们
称a是一个“希望数”．
(1)请你举例说明：“希望数”一定存在．
(2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．






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答案与提示

一、选择题

提示：

所以将8.047
3
=512.077119823的小数点向前移三位得0.5，即为0.8047
3
的
值，选A．
2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a＜-a，
∴a
3
+a＜0，a(a
2
+1)＜0，
因为a+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B．
3．已知a＞0，b＜0，a＜| b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的
距离，如图18所示．所以-b＞a＞- a＞b，选A．
4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变． 这个
性质对n个整数也是正确的．因此，
1，2，3…，1991，1992，的每一个数前 面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇
偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-…-1 991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选B．
5．原来1991个数的平均数为m， 则这个1991个数总和为m×1991．当m混入以后，那1992
个数之和为m×1991+m,其 平均数是1992，
∴m=1992，选C．
6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中， a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b
＞d，c＞d．

2
3

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所以a+b＞b+c，成立，选B．
7．由方程组

以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数．
由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B．
8．由x-y=2 ①
平方得x
2
-2xy+y
2
=4
又已知x
2
+y
2
=4 ③

所以x，y中至少 有一个为0，但x
2
+y
2
=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为 2或-2．无
论哪种情况，都有
x
1992
②
+y
19 92
=0
1992
+(±2)
1992
=2
1992
，选C．
9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得

由于x，y 取0—9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x
必为奇数 ，从而x必取奇数1，3，5，7，9．


三个奇数值，y相应地取1，4，7这 三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，
34和57，选C．
二、填空题


提示：
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与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于
666
2
- 662
2
=(666+662)(666-662)=1328×4=5312．
3 ．由于x
3
+y
3
=1000，且x
2
y-xy
2
=-496，因此要把(x
3
-y
3
)+(4xy
2
-2x
2
y)-2(xy
2
-y
3
)分组、凑
项 表示为含x
3
+y
3
及x
2
y-xy
2
的 形式，以便代入求值，为此有
(x
3
-y
3
)+(4xy
2
-2x
2
y)-2(xy
2
-y
3
)=x
3
+y
3
+2xy
2
-2x
2
y=(x
3
+y
3
)-2(x
2
y-xy
2
)=1000- 2(-496)=1992
．
4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，


下，只能是b=1．于是a=-1．
所以，a
1992
+b1993
=(-1)
1992
+(1)
1993
=1+1=2．
5．设这堆核桃共x个．依题意

我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即

目标是求m的最小正整数值．
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可知，必须20|x即x=20，40，60，80，……

m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．

由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，
即9≤a＜12．


可被第三个整除，应有b|a+c．

∴b≥2，但b|2，只能是b=2． 于是c=1，a=3．因此a
3
+b
3
+c
3
=33
+2
3
+1
3
=27+8+1=36．
8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以
a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于
p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3
个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y
于是得3p=65+x+y．
要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21．
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所以3p=65+x+y≤65+21=86．

所以p取最大整数值应为28．
事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立．
所以p的最大值是28．

10．设A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
的单价分别为x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
元．
则依题意列得关系式如下：


③×2-④式得
x
1
+x
2
+x< br>3
+x
4
+x
5
=2×1992-2984=1000．
所以购买每种教具各一件共需1000元．
三、解答题
1．解①（逻辑推理解）
我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数 不
是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．
设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．
则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
由被11整除的判别法知
x-y=0，11，22，33或44．
但x+y与x- y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33．
于是有

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但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17．
987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20， 所以必须调整数字，使奇位和增3，偶
位和减3才行。为此调整最后四位数码，排成987652413 即为所求．
解②（观察计算法）
987654321被11除余5．因此，9876543 16是被11整除而最接近987654321的九位数．但
987654316并不是由1，2，3， 4，5，6，7，8，9排成的，其中少数字2，多数字6．于是
我们由987654316开始，每次 减去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数
字组成的九位数为止．其过程是
987654316→987654305→987654294→987654283
→987654272→987654261→987654250→987654239
→987654228→987654217→987654206→987654195
→987654184→……→987652435→987652424
→987652413．
这其间要减去173次11，最后得出一个恰由九个数码组成的九位 数987652413，为
所求，其最大性是显见的，这个方法虽然操作173次，但算量不繁，尚属解 决本题的一
种可行途径，有一位参赛学生用到了此法，所以我们整理出来供大家参考．

2．(1)答：由于428571=3×142857，所以428571是一个“希望数”．
说明：一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3
倍，我们称a是 一个“希望数”．这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅
读理解定义的能力，并能举例说明 被定义的对象存在．在一位数、二位数、三位数中找
不到“希望数”．而在四位数中很容易找到实例．
如：3105=3×1035，所以3105是个“希望数”；
或：7425=3×2475，所以7425是个“希望数”；
或：857142=3×285714，所以857142是个“希望数”；
以下我们再列举几个同学们举的例子供参考，如：
37124568=3×12374856
43721586=3×14573862
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692307=3×230769
461538=3×153846
705213=3×235071
8579142=3×2859714
594712368=3×198237456
37421568=3×12473856
341172=3×113724．
可 见37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，59 4712368，37421568，
341172都是希望数，事实上用3105是希望数，可知31 053105也是“希望数”，只要这样
排下去，可以排出无穷多个“希望数”．因此，“希望数”有无 穷多个．
(2)由a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的
自然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和．
由a=3p和a为3的倍数．


因此a被9整除．


于是a是27的倍数．
这样就证明了，“希望数”一定能被27整除．
现已知a，b都是“希望数”，所以a，b都是27的倍数．
即a=27n
1
，b=27n
2
（n
1
，n
2
为正整数）．
所以ab=(27n
1
)(27n
2
)
=(27×27)(n
1
×n
2
)
=729n
1
n
2
．
所以ab一定是729的倍数．

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