他们说-认识实习

第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题及解答
六年级 第2试
2011年4月10日 上午9：00-11：00
一、填空题（5'×12=60'）
1、计算：
3.6250.451

4

_____ ___________.
11
2、对于任意两个数
x
和
y
，定义新运算◆和

，规则如下：
212
2xy
xy< br>1261
，
x

y
=；如 1◆2=，1

2=
1
，
2
5
122< br>x2y
xy3
5
1
3

1
由此计 算
0.36
◆
(41)
__________.
2
x
◆
y
=
3、用4根火柴，在桌面上可以拼成一个正方形；用13根火柴可以拼 成四
个正方形；„，如图1，拼成的图形中，若最下面一层有15个正方形，则需
火柴____ ______根。

4、若自然数
N
可以表示城3个连续自然数的和，也可 以表示成11个连续
自然数的和，还可以表示成12个连续自然数的和，则
N
的最小值 是_________。
（注：最小的自然数是0）
5、十进制计数法，是逢10进1，如< br>24
10
21041
，
2
365
10
31061051
；计算机使用的是二进制计数法，是逢2进1，如
32
，
7
10
12
2
121111112121 202011100
2
，如果一个自然数
210
可以写成
m
进制数
45
m
，也可以写成
n
进制数
54n
，那么最小的
m
=_______，
（注：
a
naa



a

a
）
n
=________。

n个a

- 1 - < /p>

6、我国除了用公历纪年外，还采用干支纪年，根据图2中的信息回答：公
历19 49年按干支纪年法是____________年。

7、盒子中装有很多相同的,但分红 、黄、蓝三种颜色的玻璃球,每次摸出两
个球，为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸球___ _______次。
8、根据图3中的信息回答，小狗和小猪同时读出的数是___________。



9、图4中的阴影部分的面积是__________平方厘米。
（

取3）




- 2 -

10、甲、乙两人合 买了
n
个篮球，每个篮球
n
元。付钱时，甲先乙后，10
元，10元 地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付。付完全款后，
为了使两人所付的钱数同样多，则 乙应给甲________元。

11、某代表队共有23人参加第16届广州亚运会，他们 按身高从高到低排
列，前5位队员的平均身高比前8位队员的平均身高多3厘米；后15位队员
的平均身高比后18位队员的平均身高少0.5厘米。那么前8位队员的平均身
高比后15位队员的平均 身高多_______厘米。

12、甲、乙、丙三人同时从
A
地出发到< br>B
地，他们的速度的比是
4:5:12
，其
中甲、乙两人步行，丙骑自 行车，丙可以带一人同行（速度保持不变）。为了
使三人在最短的时间内同时到达
B
地 ，则甲、乙两人步行的路程之比是
___________。

二、解答题（15'×4=60'）
13、一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高
2 0%
，可提前25分钟到达；若
以原速行驶100千米，再将车速提高
25%
，可提前10分钟到达，求甲乙两地
的距离。


14、如图5，在一个棱 长为20厘米的正方体密闭容
器的下底固定了一个实心圆柱体，容器内盛有
m
升水时，

- 3 -

水面恰好经过圆柱体的上底面。如果将容器倒置，圆柱 体有8厘米露出水面。
已知圆柱体的底面积是正方体底面积的，求实心圆柱体的体积。



15、有8个足球队进行循环赛，胜队得1分，负队得0分，平局的两队各
得0.5分。比赛结束后，将各队的得分按从高到低排名后发现：各队得分互不
相同，且第二名的得分 与最后四名所得的总分一样多。求这次比赛中，取得第
二名的队的得分。




16、将两个不同的自然数中较大的数换成他们的差，称为一次操作，如此
继续下去，直到这两个数相同为止。如对20和26进行这样的操作，过程如下：
（20，26）< br>
（20，6）

（14，6）

（8，6）
（2，6）

（2，4）

（2，2）
（1）对45和80进行上述操作。
（2）若对两个四位数进行上述操作，最后得到的相同数 是17。求这两个
四位数的和的最大值。




- 4 -
1
8

答案详解：

2.625

0.09

2.71590
1． 分析：原式

3.625

0.45
-
1.36

2.625

（
1.45
-
1.36
）
 

295152910239


8 111181188

14
41.564

，而
0. 36
，所以原式2．分析：
(41)
211
40.54.53
4422
2
17
=
113

113

4412
25
2
113113
或 原式
3．分析：第二个图形比第一个图形多9根火柴，第三个图形比第二个图形
多13根火柴，经尝试， 第四个图形比第三个图形多17根火柴，而最下面
一层有15根火柴的是第8个图形，所以共需要火柴< br>4+(9+13+17+21+25+29+33)=151根。
4．分析：因为奇数个连续自 然数之和等于中间数乘以数的个数，所以
N
能
被3和11整除，也就是能被33整除； 因为偶数个连续自然数之和等于中间两
个数的平均值乘以数的个数，所以
N
等于一个整 数加上0.5再乘以12，也就
是被12除余6，最小为66。（66可以表示成0到11的和） 5．分析：4
m
+5=5
n
+4，也就是说4(
m
-1 )=5(
n
-1)，如果
m
-1=5，
n
-1=4，
则
m
=6，
n
=5，但此时
n
进制中不能出现数字5；如 果
m
-1=10，
n
-1=8，则
m
=11，
n< br>=9，符合题意。
6．分析：干支纪年法60年一循环，1949+60=2009，而200 9年是己丑年，
所以1949年是己丑年
7．分析：每次摸出的结果可能是两个球颜色相同， 有3种可能；或颜色不
同，也有3种可能，共6种可能。最不利情况是每种可能各出现4次，则再摸一次就保证有5次相同，6×4+1=25


- 5 -

< br>8．分析：相当于分别从1和1002处以2:5的速度比进行相遇问题，
(1002-1)÷7 ×2+1=287
9．分析：分别连接两个正方形的＼的对角线，发现它们平行，所以阴影
部 分的面积就等于一个扇形的面积，为15×15×3÷4=168.75
10．分析：总共价格为n
2
元，最后乙付说明
n
2
的十位数字为奇数，所以个
位为6，乙最后一次付了6元，应该给甲2元
11．分析：前5位队员的平均身高比前8位队员的平均 身高多3厘米，也
就是说，加入第6~8名后，平均身高减少了3厘米，因此第6~8名的平均身高比前5名的平均身高少3÷3×8=8厘米。
第9~23位队员的平均身高比第6~23位队员的 平均身高少0.5厘米，也就
是说，加入第6~8名后，平均身高增加了0.5厘米，因此第6~8名的 平均身高
比第9~23名的平均身高多0.5÷3×18=3厘米。因此，前8名的平均身高比第
9~23名的平均身高多8-3+3=8厘米
12．分析：根据对称性，丙先带谁没有区别。设先带 甲，返回接乙。设乙
步行的路程为
x
，丙骑车返回的路程为
y
，甲步 行的路程为
z
。乙比骑车从A
xzz
)，甲比骑车从A地到B地多用时间(- )，丙比骑
12412
2y
车从A地到B地多用时间。三人同时到达即这三个相等时，
12
xxzz2y
-=-=，求得
x
：
y
：
z
=10:7:7，所求路程比为7:10
51241212
65
13． 分析：车速提高20%，也就是变成原来的，则时间变成原来的，减
56
5
少25分钟 ，原定时间为25×6=150分钟；车速提高25%，也就是变成原来的，
4
4
则时 间变成原来的，减少10分钟，则这段路程的原定时间为10÷5=50分钟。
5
地到B地多用 时间(-
x
5
因此，原速行驶100千米需要150-50=100分钟，距离为15 0÷100×100=150
千米

- 6 -

14．分 析：两次的空白部分体积相等，而第二次的空白部分的横截面积为
第一次的
1
，所 以第一次的空白部分的高度为第二次的，即7厘米。正
方体的底面积为20×20=400平方厘米，所 以圆柱体的底面积为400÷8=50平
方厘米，高度为20-7=13厘米，体积为50×13=65 0立方厘米

15．分析：全胜的队得7分，而最后四队之间赛6场至少共得6分，所以第二名的队得分至少为6分。如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得6
分；如果第二名得6. 5分，则第二名6胜1负，第一名最好也只能是6胜1
负，与题目中得分互不相同不符。所以，第二名得 分为6分

16．分析：(45,80)→(45,35)→(10,35)→(10 ,25)→(10,15)→(10,5)→
(5,5)。这就是用辗转相除法求最大公约数的运算，所 以两个四位数的最大公
约数为17，9999÷17=588„„3，所以最大的四位数是9999-3 =9996，第二大
的四位数是9996-17=9979，和为19975

1
8
7
8
7
8

- 7 -