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第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛 五年级第 2 试
一、填空题（每小题 5 分，共 60 分）
1、 计算：0.15÷2.1×56=___________。


2、 15+115+1115+……+1111111115=____________。


3、 一个自然数除以 3，得余数 2，用所得的商除以 4，得余数 3。
若用这个自然数除以 6，得余数____________。


4、 数一数，图 1 中共有____________个长方形。



5、 有一些自然数（0 除外）既是平方数（可写成两个相同的自然
数的乘积），又是立方数 （可写成三个相同的自然数的乘积）。如：
1=1×1=1×1×1，64=8×8=4×4×4。那么 在 1000 以内的自然数
中，这样的数有________个。

6、 有一个自然数，它的最小的两个约数的差是 4，最大的两个约
数的差是 308，则这个自然数是___________。


7、 如图 2，先将 4 黑1 白共 5 个棋子放在一个圆
圈上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的
两子之间放入一个黑子，再将原来的 5 个棋子拿掉。如
此不断操作下去，圆圈上的 5 个棋子中最多有_______个白子。


8、 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时相向而行，甲的速度是乙的
速度的 3 倍，经过 60 分钟，两人相遇。然后，甲的速度减为原速
的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行。那么，当甲到达 B地
后，再经过____分钟，乙到达_____A 地。


9、 如图 3，将一个棱长为 1 米的正方体木块分别沿长、宽、高三
个方向锯开 1，2，3 次，得到 24 个长方体木块。这 24 块长方
体木块的表面积的和是_____________平方米。(18)

10.如图4，小丽和小明的
桶中原来各装有 3 千克和
5 千克水。 根据图中的信息
可知，小丽的桶最多可以装___________千克水， 小明的桶最多可
以装____________千克水。



11.将 1～2011 的奇数排成一列，然后按每组 1，2，3，2，1，2，
3，2，1，……个数的规律分组如下（每个括号为一组） ：（1），
（3,5） ， （7,9,11）,（13,15），（17），（19,21） ， （23,25,27），
（29,31），（33）……则最后一个括号内的各数之和是_____。



12.当爷爷的年龄是爸爸年龄的 2倍时，小明 1 岁；当爸爸的年龄
是小明年龄的 8倍时，爷爷 61 岁。那么，爷爷比小明大
____________岁；当爷爷的年龄是小明年龄的 20 倍时，爸爸的
年龄是___________岁。(57，31)

二、解答题（每小题 15 分，共 60 ）每题都要写出推算过程。
1 3.如图，大、小两个正方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中
用阴影标出一个几何图形（不一定是 三角形，可以是任意的多边形） ，
使它的面积等于图甲中的阴影面积。 （直接作图，不用写解答过程。 ）


14.甲、乙、丙、丁 4 人去钓鱼，共钓到 25 条鱼，按数量从多到少的排名是
甲、乙、丙、丁。又知甲钓到的条数是乙和丙 钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条
数是丙和丁钓到鱼的条数的和。那么，甲、乙、丙、丁各钓到几条鱼？




15.A、B 两地间有一条公路，甲、乙两辆车分别从 A、B 两地同时相向出发，
甲车的速度是 60 千米时。经过 1 小时，两车第一次相遇。然后两车继续行
驶，各自到达 B、A 两地后都立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离
是 20 千米。求： （1）A、B两地的距离； （2）乙车的速度。

16.观察以下的运算： 若abc是三位数，因为abc= 100a＋10b
＋c=99a+9b+（a+b+c），所以，若abc能被 9整除，则abc能被 9
整除，这个结论可以推广到任意多位数。
运用以上的结论，解答以下问题：
（1）N是2011 位数，每位数字都是 2，求 N被 9除，得到的余
数。
（2）N是n位数，每位数字都是 7，n 是被9 除余 3 的数。求 N
被9 除，得到的余数。

第十届希望杯复赛五年级组二试
一、填空题：（每题5分，共60分）
1. 计算：3.6×（2.45－1.9）÷0.4＝_______。

2. 甲、乙两数的和 是231，已知甲数的末位数字是0，如果把甲数末
位的0去掉，正好等于一束，那么，甲数是____ _，乙数是_______。


3. 如图1，当n＝1时，图中有1个圆；当n ＝2时，图中有7个圆；
当n＝3时，图中有19个圆；······。按此规律，当n＝5时，图中有
_______个圆。



4. 54个小朋友排队做游戏，每 轮游戏有12个小朋友参加，游戏结
束后，这12个小朋友按原来的先后顺序排到队尾。如果游戏开始时 ，
小亮站在队首，那么，当小亮再次站在队首时，已经做了______轮游
戏。

5. 有一列数，第1个是1，从第2个数起，每个数比它前面相邻的
数大3，最后一个数是100，将这些数相乘，则在计算结果的末尾中
有_______个连续的零。


6. 公元纪年法中，每四年含有一个闰年，每个平年有365天，每个
闰年有366天，2012年是闰年，元旦是星期日，那么，下一个元旦
也是星期日的年份是_____ __年。



7. 在平面上有7个点，其中任意三个点都不在同一条直 线上，如果
连接这7个点中的每两个点，最多可以得到_______条线段；以这些
线段为边 ，最多能构成______个三角形。



8. 如图2，在一个圆周上 放了一枚黑色的围棋子和2012枚白色的围
棋子，若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚 ，则当取
到黑子时，圆周上还剩______枚白子。

9. 正方体木块被砍 掉一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部
分最多有_____个角，最少有______个角。


10. 如图3，两个形状和大小都相同的直角△ABC与△EDF的面积都是10cm²，每个直角三角形的直角顶点都恰好落在另一个直角三角形
的斜边上，这两个直角三角 形的重叠部分是一个长方形，那么四边形
ABEF的面积是_______cm².


11. 某次数学竞赛有52人参加，共考5道题，每道题做错的人数统
计如下：， 如果每人都至少做对
1道题，只做对1道题的有7人，5道题都做对的有6人，只做对2
道题和 只做对3道题的人数相同，那么做对4道题的有_______人。

12. 如图4，在长、宽、高分别为10cm、10cm、6c m的长方体容器中
盛有深4cm的水，若向容器中放入一个棱长为5cm的正方体铁块，则
水深 变为______。


二、解答题：（每题15分，共60分）
13. 将图5分割成两部分，使这两部分恰好能拼成一个正方形。
（1）若图中每个小正方形的边长是1，则拼成的正方形的边长是多
少？



（2）用粗线表示分割的线路。

14. 甲、乙、丙三辆车同时从A地去B地，甲车的速度是60千米
时，乙车 的速度是48千米时。于此同时，一辆卡车从B地去A地，
卡车在出发6小时、7小时、8小时的时刻分 别与甲、乙、丙三车相
遇。求：
（1）甲车与卡车相遇时，甲车与乙车的距离；
（2）卡车的速度；
（3）丙车的速度。





15. 某快递公司从A地发往B地的快件的运费收费标准是：快件重量
如果不超过 10千克，每千克收费8元；如果超过10千克，超出部分
按每千克5元收费。已知甲、乙二人向该公司 各投递一个快件，甲比
乙多交了34元，求甲、乙的快件的重量。（甲、乙的快件的重量都是
整 数千克）

16. 已知
规律：
各代表一个自然数。观察下面三个算式呈现的

求
















的值。

第十届希望杯五年级第二试答案解析
1. 答案：4.95
解析：原式＝3.6×0.55÷0.4＝3.6÷0.4×0.55＝9×0.55＝4.95
2. 答案：210,21
解析：由题意有甲数量是乙数量的10倍，所以231÷11＝2 1就是乙数，则甲
数为210.
3. 答案：61
解析：从第一个图开始，后一个 图都是在前一个图的基础上增加6的（n－1）
倍个圆，所以第5个图共有圆1＋6＋12＋18＋24 ＝61个
4. 答案：9
解析：54和12的最小公倍数为108，也就是说共移动了10 8人次，已经做了
108÷12＝9轮游戏。如图：
12
6＋1＋5
12
12
12
12
12
12
12
12
12
6
6
6
6＋1＋5
共4轮
第5轮
第9轮游戏
过后小亮再
次站在队首
5. 答案：9 解析：这一列数为1,4,7，···，100，要求他们相乘的积中0的个数，找到因
数2和5的 个数即可，又因为因数2的个数远多于5的个数，所以找到5的个数
即为积为0的个数，5的倍数有10 ,25,40,55,70,85,100共9个5，所以有9个
0.
6. 答案：2017
解析：因为366÷7＝52···2,365÷7＝52···1，所以从2013年开始，元旦一次是星期二、三、四、五、日，所以2017年的元旦为星期日。
7. 答案：21,35 < br>解析：每两个点确定一条线段，共有
C
7
2
＝7×6÷2＝21条线段 ；
每三个点确定一个三角形，共有
C
7
3
＝7 ×6×5÷3÷2＝35个三角形。

8. 答案：503
解析：从第1个白 子开始编号，则黑子为2013号，第一圈取走的一次为2、
4、6、···、2012号，剩下的是奇 数号1、3、5、···、2012，第2圈取走的依次为
1、5、9、···、2013号，这样的4 的倍数余1的号，剩下的是3、7、11、···、2011
号这样的4的倍数余3的号共有（2011 －3）÷4＋1＝503个。
9. 答案：10,7
解析：横截面如下图（1），剩余部分 最多有10个角；横截面如下图（2），剩
余部分最多有7个角。

10. 答案：20
解析：由题意得四边形ABEF为平行四边形，它的面积就是两倍的已知直角
三角 形的面积，为20cm²。
11. 答案：31
解析：由题意知所有人共做错79人次，只 做对2道，3道和4道题的共有
39人，只做对1道题的7人共错4×7＝28人次，则剩下的39人共 错了51人次。
如果都是错2道和3道的，并且各占一半，则错39÷2×5＝97.5人次，每有一< br>名错1题的，就少错1.5人次，所以共有（97.5－51）÷1.5＝31人错1题（对
4题 ）。
12. 答案：5.25
解析：本题要先考虑容器中的水是否溢出和容器中的水是否没过方块。
容器中空余部 分的体积是10×10×2＝200cm
3
，大于正方体铁块的体积5
3
＝< br>125cm
3
，可见容器中的水并没有溢出来；
如果容器中的水没有没过方块 ，则容器中水的高度为（10×10×4）÷（10×10
－5×5）≈5.3cm＞5cm，与题意矛 盾，所以容器中的水没过了方块，则水升高
125÷100＝1.25cm，则 水深度变为5.25cm。

13. 答案：（1）6
解析：（1）因为共有36个小正方形，所以拼成的正方形的边长为6cm。
（2）
14. 答案：（1）72，（2）24，（3）39
解析：（1）此时甲车与乙车 的距离就等于甲乙的速度差乘以6小时，即（60
－48）×6＝72千米。
（2）卡车与甲 车相遇后还需要1小时与乙车相遇，所以由（1）知卡车和乙车的
速度和为72÷1＝72千米时，则卡 车的速度为72－48＝24千米时。
（3）由（1）（2）得AB两地的距离为（60＋24）×6 ＝504千米，则丙的速度为
504÷8－24＝39千米时。
15. 答案：12，7 < br>解析：因为34不是5的倍数，可知乙的快件不超过10千克，又因为34＝3
×8＋2×5，所 以甲的快件的重量为10＋2＝12千克，乙的快件重量为10－3＝7
千克。
16. 答案：1,2
解析：将四个符号依次表示为a，b，c，d，则有：
a＋d－b＝6 ①
b－c＋a＝3 ②
d×a×b＝140 ③
求（d＋b）÷c
①和③都出现了a、b、d，由①知a、b、d中有1个或3个偶数，由③知140＝2
×2× 5×7，所以a、b、d中只有一个偶数，可以是4、5、7
则由①得a＝4或7，d＝7或4，由② 得c＝6或9，所以（d＋b）÷c＝（7＋5）
÷6＝2或（4＋5）÷9＝1

第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试试题
2013年4月14日 上午9:00-11:00
一、填空题（每题5分，共60分）
1. 请在横线上方填入一个数，使等式成立：5×4÷（ ）=0.8。

2. 两个自然数的和与差的积是37，则这两个自然数的积
是 。


3. 180的因数共有 个。


4. 数字1至9的排列如图所示，沿着图中的连接线将全部的数字
各取一遍（每 个数字只能经过一次）组成一个九位数，例如
123654789。按此取法取得的数中，最小的是 。最大的
是 。

5. 若32只兔子可换4只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头
牛。那么，5头牛可换 只兔子。



6. 包含数字0的四位自然数共有 个。



7. 养殖场将一批鸡蛋装入包装盒，每盒装30枚，恰好全 部装完。
后来重新包装，使每个包装盒中装入36枚鸡蛋，最后也恰好全部装
完，并节约了24 个包装盒。这批鸡蛋有 枚。




8. 一只蜘 蛛有8条腿，一只蜻蜓有6条腿。如果蜘蛛、蜻蜓共有
450条，蜘蛛的只数是蜻蜓只数的3倍，那么蜘 蛛有 只。

9. 甲、乙两个桶中共装有26升水。先将乙桶中一半倒入甲桶，再
将甲桶中的一半水倒入乙桶，然后从乙桶 取5升水倒入甲桶。整个过
程中无水溢出。这时，甲桶中的水比乙桶中的水多2升。最初甲桶中
有水 升。




10. 如图，若
 ABC
的面积是24，D、E、F分别是BC、AD、AB的
中点，则
BEF
的面积是 。



11. 数一数贝壳的个数。若4个4个 的数，则剩下1个；若5个5
个的数，则剩下2个；若6个6个的数，则剩下3个。由以上情况
可推知，这堆贝壳至少有 个。

12. 一个长方体形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长54厘米，
宽2 4厘米、高20厘米，缸内水深12厘米。将一块正方体形状的石
块放入玻璃缸中，水面升高至16厘米 。石块的体积是
立方厘米。




二、解答题
13. 小明绕操场跑一周用5分钟，妈妈绕操场跑一周用3分钟。
（1）如果小明和妈妈从同一起点同时同向出发，多少分钟后两人再
次同时到达起点？此时妈妈和小明各 跑了几圈？
（2）如果小明和妈妈同一起点同时同向出发，多少分钟后妈妈第一
次追上小明？
（3）如果小明和妈妈同一起点同时反向出发，多少分钟后两人第四
次相遇？

14. 有一批货物，用28 辆货车一次运走，货车有载量8吨和载量
5吨的两种。若所有货车都满载，且载重8吨的货车运送货物的 总重
量比载重5吨的货车运货物的总重量多3吨，则这些货物共多少吨？



15. 下图是一块宅基地的平面图，其中相邻的两条线段都互相垂
直。求：
（1）这块宅基地的周长；
（2）这块宅基地的面积。





16. 两个不同的三位自然数
xoy
和
yox
除以7都余3，求
xoy
和
yox
的
和。

第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试答案
1. 请在横线 上方填入一个数，使等式成立：
54

【答案】25【解析】
542 0
，
200.825
。
2. 两个自然数的和与差的积是37，则这两个自然数的积
是 。
【答案】342 【解析】（1）
37137
，两个数的和是37，差是1。
（2）较大数是：

371

219
，较小数是：< br>
371

218
。
（3）两个数的乘积是：
1918342

3. 180的因数共有 个。
【答案】18【解析】（1）180分解质因数：
1802
2
3< br>2
5

（2）180的因数个数是：

21
< br>

21



11

18
（个）。
4. 数字1至9的排列如图所示，沿着图中的连接线将全部的数字
各取 一遍（每个数字只能经过一次）组成一个九位数，例如
123654789。按此取法取得的数中，最小 的是 。最大的
是 。

0.8
。

【答案】123547896；987563214
1、 从最高位开始，每一位由小到大选择数字，即：123547896
2、 从最高位开始，每一位由大到小选择数字，即987563214

5. 若32只兔子可换4只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头
牛。那么，5头牛可换 只兔子。
【答案】480
【解析】（1）5头牛可以换猪：
82520
（头）。
（2）20头猪可换羊：
932060
（只）。
（3）60只羊可换兔子：
32460480
（只）
6. 包含数字0的四位自然数共有 个。
【答案】2439【解析】（1）四位 自然数共有：
91010109000
（个）；
（2）不含有0的四位自然数共有：
99996561
（个）；
（3）包含数字0的四位自然数共有：
900065612439
（个）。
7. 养殖场将一批鸡蛋装入包装盒，每盒装30枚，恰好全部装完。
后来重新包装，使每个 包装盒中装入36枚鸡蛋，最后也恰好全部装
完，并节约了24个包装盒。这批鸡蛋有 枚。
【答案】4320
【解析】24个包装盒可以装鸡蛋：
3624864
（个）。
包装盒一 共有：
864

3630

144
（个）；
这批鸡蛋的个数是：
144304320
（个）。
8. 一只蜘蛛有 8条腿，一只蜻蜓有6条腿。如果蜘蛛、蜻蜓共有
450条，蜘蛛的只数是蜻蜓只数的3倍，那么蜘蛛有 只。
【答案】45【解析】3只蜘蛛和1只蜻蜓为1组，每组腿数：
83630
（条）。这样的组的个数是：
4503015
（组）
蜘蛛的数量是：
31545
（只）

9. 甲、乙两个 桶中共装有26升水。先将乙桶中一半倒入甲桶，再
将甲桶中的一半水倒入乙桶，然后从乙桶取5升水倒 入甲桶。整个过
程中无水溢出。这时，甲桶中的水比乙桶中的水多2升。最初甲桶中
有水 升。
【答案】10
【解析】倒来倒去和不变，最后两桶水的和还是26升。根据和差公式，甲桶的水量是：

262

214
（升），乙桶的水 量是：
261412
（升）。
根据题目的条件，列表倒推如下：

最后
第二次倒后
第一次倒后
开始
甲桶水（升） 乙桶水（升）
14
9
18
10
12
17
8
16
如上表所示，最初甲桶中有水14升。

10. 如 图，若
ABC
的面积是24，D、E、F分别是BC、AD、AB的
中点，则
BEF
的面积是 。

【答案】3
【解析】
SBEF

1

1

1
S
ABC< br>
1
243

2228

11. 数一数 贝壳的个数。若4个4个的数，则剩下1个；若5个5
个的数，则剩下2个；若6个6个的数，则剩下3 个。由以上情况
可推知，这堆贝壳至少有 个。
【答案】57
【解析】如果再多3个贝壳，个数就能被4、5、6整除，最小是：
。

4 ,5,6

60
（个）
这堆贝壳至少有
60357
（ 个）。

12. 一个长方体形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长54厘米，
宽24厘米、高20厘米，缸内水深12厘米。将一块正方体形状的石
块放入玻璃缸中，水面升高至16 厘米。石块的体积是
立方厘米。
【答案】5832
【 解析】石块在水中的体积是：
5424

1612

518 4
（立方厘米）。
若石块棱长是16厘米，则体积为：
1616164096
（立方厘米）。比
5184小，所以石块有部分露出水面。
石块的底面积是：
518416324
（平方厘米），
3241818
，所以石块的
棱长是18厘米。
石块的体积是：
1818185832
（立方厘米）。

二、解答题
13.小明绕操场跑一周用5分钟，妈妈绕操场跑一周用3分钟。
（1）如果小明和妈妈从同 一起点同时同向出发，多少分钟后两人再
次同时到达起点？此时妈妈和小明各跑了几圈？（2）如果小明 和妈
妈同一起点同时同向出发，多少分钟后妈妈第一次追上小明？（3）
如果小明和妈妈同一起 点同时反向出发，多少分钟后两人第四次相
遇？
【答案】（1）15；3 （2）7.5 （3）7.5
【解析】（1）同到七点需要时间：小明跑了：（圈）；
1553

5,3

15
分钟；
妈妈跑了
1535
（ 圈）
（2）15分钟后妈妈比小明多跑了2圈，所以多跑1圈用时：
1527.5
（分钟）
（3）两人15分钟后共跑了8圈，共跑4圈的时候用时：（分
1527.5
钟）。
14. 有一批货物，用28辆货车一次运走，货车有载量8吨和载量
5吨 的两种。若所有货车都满载，且载重8吨的货车运送货物的总重
量比载重5吨的货车运送货物的总重量多 3吨，则这些货物共多少
吨？
【解析】173
（1）假设有8吨的货车有
x
辆，则5吨的货车有

28x

辆，可列方程：
8x1405x3

13x143

x11
< br>（2）这批货物有：
118

2811

5173
（吨）。

15. 下图是一块宅基地的平面图，其中相邻的两条线段都互相垂
直。求：
（1）这块宅基地的周长；
（2）这块宅基地的面积。

【答案】244；2036
【解析】将这块宅扩充为大长方形，如图1。长方形的长是：；宽是：
20101242
（米）；周长是

7442

2232
402020674
（米）
（米）。宅的周长还要增 加没算上的2段6米长的部分，宅的周长是：
。
23262244
（米）（2）将大长方形分割成四部分，如图2。其中长方形面积是：
；①的面积是：
282 61619424
（平方米）；②
74423180
（平方米）
的 面积是：
4407280
（平方米）；③的面积是：
202212636 8
（平
方米）；所以要求的④的面积是：
。
31804242803682036
（平方米）

16. 两个不同的三位自然数
xoy
和
yox
除 以7都余3，求
xoy
和
yox
的
和。
【答案】909
【解析】不妨设
x
＞
y
。
xoy
和
yox
除以7都余3，说明这两个数的差是
7的倍数，即
xoyyox
能被7整除 。
xoyyox100xy100yx99

xy

。因为99与7互质，所以
xy
是7
的倍数。因为都只能是一位数，所以
x8
或
x9
。
若
x8
，则
xoy801 ,80171143
，成立。若
x9
，则
xoy902,9027 1286
，
不成立。所以两个数的和是：
xoyyox801108909
。